Γενικά Μαθηματικά ΙΙ — Εξέταση Φεβρουαρίου 2026¶
Θέμα 1¶
1) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης
2) Έστω \(a,b\ge 0\). Να αποδείξετε ότι αν \(a+b>2\), τότε:
ενώ αν \(a+b\le 2\), τότε το προηγούμενο όριο δεν υπάρχει.
3) Να υπολογίσετε το διπλό ολοκλήρωμα
με \(R=[0,1]\times[0,1]\)
Θέμα 2¶
1) Θεωρήστε την συνάρτηση \(f(x,y)=\dfrac{x^3y}{x^6+2y^2}\)
α) Να αποδείξετε ότι καθώς \((x,y)\to(0,0)\) κατά μήκος της ευθείας \(y=mx\), το όριο της συνάρτησης είναι ίσο με το \(0\).
β) Να αποδείξετε ότι καθώς \((x,y)\to(0,0)\) κατά μήκος της καμπύλης \(y=x^3\), το όριο της συνάρτησης δεν είναι ίσο με το \(0\), επομένως το όριο \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)\) δεν υπάρχει.
2) Να υπολογίσετε την κατευθυνόμενη παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο \(P=(1,2)\), στην κατεύθυνση του διανύσματος \(v=\langle 4,3\rangle\).
3) Να προσδιορίσετε μια συνάρτηση δυναμικού για το διανυσματικό πεδίο
ή να καταλήξετε στο συμπέρασμα ότι δεν είναι συντηρητικό.
Θέμα 3¶
1) Να προσδιορίσετε την κατεύθυνση κατά μήκος της οποίας η συνάρτηση
έχει μέγιστο ρυθμό αύξησης με αφετηρία το σημείο \(P=(2,0)\). Υπολογίστε επίσης το μέτρο αυτού του ρυθμού μεταβολής στη συγκεκριμένη κατεύθυνση.
2) Έστω η συνάρτηση:
Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι \(f_x(0,0)\), \(f_y(0,0)\) και να εξεταστεί αν η \(f_x\) είναι συνεχής στο \((0,0)\).
3) Προσδιορίστε τις ακρότατες τιμές της συνάρτησης
που υπόκεινται στην περιοριστική συνθήκη \(g(x,y)=4x-6y=25\)
Θέμα 4¶
1) Να υπολογίσετε για το διανυσματικό πεδίο \(F=\langle x^2,y^2,z^2\rangle\) Την απόκλιση \(\operatorname{div}(F)\) και τον στροβιλισμό \(\operatorname{curl}(F)\)
2) Να αποδείξετε ότι αν η \(f(x,y)\) είναι διαφορίσιμη στο \((a,b)\), τότε και η συνάρτηση μιας μεταβλητής \(f(x,b)\) θα είναι παραγωγίσιμη στο \(x=a\). Χρησιμοποιήστε το συμπέρασμα αυτό για να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
δεν είναι διαφορίσιμη στο \((0,0)\).
3) Να υπολογίσετε το διπλό ολοκλήρωμα
[Λείπει από τις πηγές: το 5ο θέμα — οι φωτογραφίες περιέχουν μόνο τα Θέματα 1–4 (βλ.
notes).]
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: migrated from previous_exams.md (Antigravity, 2026-10)
Προσοχή
Θέμα 1.2, περίπτωση a+b<2: η λύση γράφει «κατά μήκος των αξόνων είναι μηδέν». Αυτό ισχύει μόνο για a,b>0· αν a=0 (ή b=0) η τιμή πάνω στον άξονα y (ή x) είναι y^(b-2) → ∞ (και για a=b=0 η συνάρτηση 1/(x²+y²) απειρίζεται προς κάθε κατεύθυνση). Το συμπέρασμα (δεν υπάρχει πεπερασμένο όριο) είναι σωστό, αλλά το επιχείρημα είναι ελλιπές στις οριακές περιπτώσεις· ομοίως για a+b=2 με a=0 ή b=0 (π.χ. x²/(x²+y²)) το «0 πάνω στους άξονες» δεν ισχύει, αρκεί όμως η σύγκριση τιμών (π.χ. 1 στον άξονα x, 1/2 στη διχοτόμο). Θέμα 2.2: η εκφώνηση δεν επαναλαμβάνει τη συνάρτηση («την κατευθυνόμενη παράγωγο της συνάρτησης»)· η λύση υποθέτει ότι πρόκειται για την f(x,y)=x³y/(x⁶+2y²) του 2.1. Η υπόθεση είναι εύλογη αλλά δεν επιβεβαιώνεται από το κείμενο.
Λύσεις — Γενικά Μαθηματικά ΙΙ — Εξέταση Φεβρουαρίου 2026¶
Status:
ai-unverified. Λύσεις γραμμένες από AI και μεταφερμένες αυτούσιες από το παλιόprevious_exams.md(Antigravity, 2026-10)· δεν έχουν ελεγχθεί από διδάσκοντα ή φοιτητή. Κατά τη μεταφορά επανυπολογίστηκαν ανεξάρτητα όλα τα τελικά αποτελέσματα και συμφωνούν με τα παρακάτω (βλ.warningsμόνο για δύο παρατηρήσεις). Οι εκφωνήσεις του παλιού αρχείου, που ήταν παραφρασμένες, παραλείφθηκαν· η εκφώνηση είναι αποκλειστικά αυτή του 2026-02.md. Στη λύση του 1.2 διορθώθηκε μια χαλασμένη εντολή LaTeX (\theta).
Θέμα 1¶
1)¶
-
Πεδίο Ορισμού (\(D_f\)): Η υπόρριζη ποσότητα πρέπει να είναι μη αρνητική: $\(36 - 9x^2 - 9y^2 \ge 0 \iff 9(x^2 + y^2) \le 36 \iff x^2 + y^2 \le 4 = 2^2\)$ Επομένως: $\(D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 4\}\)$ Γεωμετρικά, είναι ο κλειστός κυκλικός δίσκος με κέντρο την αρχή των αξόνων \((0, 0)\) και ακτίνα \(R = 2\).
-
Σύνολο Τιμών (\(R_f\)): Για κάθε \((x, y) \in D_f\) ισχύει \(0 \le x^2 + y^2 \le 4\):
- Για \(x^2 + y^2 = 0 \implies (x, y) = (0, 0)\), λαμβάνεται η μέγιστη τιμή: \(f(0, 0) = \sqrt{36} = 6\).
- Για \(x^2 + y^2 = 4\) (σύνορο του δίσκου), λαμβάνεται η ελάχιστη τιμή: \(f(x, y) = \sqrt{36 - 36} = 0\). Επειδή ο δίσκος είναι συνεχές και συνεκτικό σύνολο και η \(f\) είναι συνεχής, λαμβάνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές. Άρα: $\(R_f = [0, 6]\)$
2)¶
-
Απόδειξη με Πολικές Συντεταγμένες: Θέτουμε \(x = r \cos \theta, \; y = r \sin \theta\), με \(r > 0\) και \(\theta \in [0, 2\pi)\). Τότε \(x^2 + y^2 = r^2\). Η έκφραση γίνεται: $\(\frac{x^a y^b}{x^2 + y^2} = \frac{(r \cos \theta)^a (r \sin \theta)^b}{r^2} = r^{a + b - 2} \cos^a \theta \sin^b \theta\)$
-
Περίπτωση \(a + b > 2\): Τότε ο εκθέτης είναι αυστηρά θετικός: \(a + b - 2 > 0\). Επειδή \(|\cos \theta| \le 1\) και \(|\sin \theta| \le 1\), έχουμε: $\(0 \le \left| \frac{x^a y^b}{x^2 + y^2} \right| \le r^{a + b - 2}\)$ Καθώς \((x, y) \to (0, 0)\), έχουμε \(r \to 0^+\). Εφόσον \(a + b - 2 > 0\), ισχύει \(\lim_{r \to 0^+} r^{a + b - 2} = 0\). Από το Κριτήριο Παρεμβολής (Squeeze Theorem): $\(\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^a y^b}{x^2 + y^2} = 0\)$
-
Περίπτωση \(a + b \le 2\):
- Αν \(a + b = 2\): Τότε \(r^{a + b - 2} = r^0 = 1\), οπότε: $\(\frac{x^a y^b}{x^2 + y^2} = \cos^a \theta \sin^b \theta\)$ Η τιμή εξαρτάται από την κατεύθυνση προσέγγισης \(\theta\). Π.χ. κατά μήκος των αξόνων (αν \(a, b > 0\)), η τιμή είναι \(0\). Κατά μήκος της διχοτόμου \(y = x\) (όπου \(\theta = \pi/4\)), η τιμή είναι \((1/\sqrt{2})^2 = 1/2 \neq 0\). Εφόσον διαφορετικές κατευθύνσεις δίνουν διαφορετικά όρια, το όριο δεν υπάρχει.
- Αν \(a + b < 2\): Τότε \(a + b - 2 = -\delta < 0\) (\(\delta > 0\)). Κατά μήκος της ευθείας \(y = x\) (\(\theta = \pi/4\)), η συνάρτηση απειρίζεται: $\(r^{-\delta} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{a+b} \xrightarrow{r \to 0^+} +\infty\)$ ενώ κατά μήκος των αξόνων είναι μηδέν. Άρα το όριο δεν υπάρχει.
3)¶
- Υπολογισμός: Επιλέγουμε να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς \(x\), διότι \(\frac{\partial}{\partial x}(1 + xy) = y\): $\(I = \int_0^1 \left( \int_0^1 y \sqrt{1 + xy} \, dx \right) dy\)$ Για το εσωτερικό ολοκλήρωμα, θέτουμε \(u = 1 + xy \implies du = y \, dx\):
- Για \(x = 0 \implies u = 1\)
- Για \(x = 1 \implies u = 1 + y\) $\(\int_0^1 y \sqrt{1 + xy} \, dx = \int_1^{1+y} u^{1/2} \, du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{1+y} = \frac{2}{3} \left( (1 + y)^{3/2} - 1 \right)\)$ Τώρα ολοκληρώνουμε ως προς \(y\): $\(I = \frac{2}{3} \int_0^1 \left( (1 + y)^{3/2} - 1 \right) dy = \frac{2}{3} \left[ \frac{2}{5} (1 + y)^{5/2} - y \right]_0^1\)$
- Για \(y = 1\): \(\frac{2}{5}(2)^{5/2} - 1 = \frac{2}{5}(4\sqrt{2}) - 1 = \frac{8\sqrt{2}}{5} - 1\)
- Για \(y = 0\): \(\frac{2}{5}(1)^{5/2} - 0 = \frac{2}{5}\) Διαφορά: $\(\left( \frac{8\sqrt{2}}{5} - 1 \right) - \frac{2}{5} = \frac{8\sqrt{2} - 7}{5}\)$ Τελικό αποτέλεσμα: $\(I = \frac{2}{3} \cdot \frac{8\sqrt{2} - 7}{5} = \mathbf{\frac{16\sqrt{2} - 14}{15}}\)$
Θέμα 2¶
1)¶
- (α) Κατά μήκος της ευθείας \(y = mx\): $\(f(x, mx) = \frac{x^3 (mx)}{x^6 + 2(mx)^2} = \frac{m x^4}{x^6 + 2m^2 x^2} = \frac{m x^2}{x^4 + 2m^2} \quad (x \neq 0)\)$ Καθώς \(x \to 0\):
- Αν \(m \neq 0\): \(\lim_{x \to 0} \frac{m x^2}{x^4 + 2m^2} = \frac{0}{0 + 2m^2} = 0\).
- Αν \(m = 0\) (\(y = 0\), άξονας \(x\)): \(f(x, 0) = \frac{0}{x^6} = 0 \to 0\).
-
Αν \(x = 0\) (άξονας \(y\)): \(f(0, y) = \frac{0}{2y^2} = 0 \to 0\). Επομένως, κατά μήκος κάθε ευθείας που διέρχεται από το \((0, 0)\), το όριο είναι 0.
-
(β) Κατά μήκος της παραβολικής καμπύλης \(y = x^3\): $\(f(x, x^3) = \frac{x^3 (x^3)}{x^6 + 2(x^3)^2} = \frac{x^6}{x^6 + 2x^6} = \frac{x^6}{3x^6} = \frac{1}{3}\)$ Καθώς \(x \to 0\): $\(\lim_{x \to 0} f(x, x^3) = \frac{1}{3} \neq 0\)$ Επειδή το όριο κατά μήκος της διαδρομής \(y = x^3\) είναι \(1/3\), ενώ κατά μήκος των ευθειών είναι \(0\), το όριο: $\(\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) \quad \textbf{ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ!}\)$
2)¶
Σημείωση μεταφοράς: η εκφώνηση δεν ονομάζει τη συνάρτηση· η λύση υποθέτει \(f(x, y) = \frac{x^3 y}{x^6 + 2y^2}\) (του 2.1), στο σημείο \(P = (1, 2)\), κατεύθυνση \(\mathbf{v} = \langle 4, 3 \rangle\).
- Υπολογισμός μερικών παραγώγων στο \((1, 2)\): $\(f_x(x, y) = \frac{3x^2 y (x^6 + 2y^2) - x^3 y (6x^5)}{(x^6 + 2y^2)^2} = \frac{3x^2 y (2y^2 - x^6)}{(x^6 + 2y^2)^2}\)$ Για \(x = 1, y = 2\): $\(x^6 = 1, \quad 2y^2 = 8, \quad x^6 + 2y^2 = 9\)$ $\(f_x(1, 2) = \frac{3(1)(2)(8 - 1)}{9^2} = \frac{42}{81} = \frac{14}{27}\)$ $\(f_y(x, y) = \frac{x^3 (x^6 + 2y^2) - x^3 y (4y)}{(x^6 + 2y^2)^2} = \frac{x^3 (x^6 - 2y^2)}{(x^6 + 2y^2)^2}\)$ $\(f_y(1, 2) = \frac{1 \cdot (1 - 8)}{81} = -\frac{7}{81}\)$ Άρα η βαθμίδα είναι: $\(\nabla f(1, 2) = \left\langle \frac{42}{81}, -\frac{7}{81} \right\rangle\)$
- Μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του \(\mathbf{v} = \langle 4, 3 \rangle\): $\(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \implies \mathbf{u} = \left\langle \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right\rangle\)$
- Κατευθυνόμενη παράγωγος: $\(D_{\mathbf{u}} f(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{u} = \frac{42}{81} \cdot \frac{4}{5} + \left(-\frac{7}{81}\right) \cdot \frac{3}{5} = \frac{168 - 21}{405} = \frac{147}{405} = \mathbf{\frac{49}{135}}\)$
3)¶
- Έλεγχος αν το πεδίο είναι συντηρητικό: Υπολογίζουμε τον στροβιλισμό \(\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}\): $\(\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ e^x(z+1) & -\cos y & e^x \end{vmatrix}\)$
- Συνιστώσα \(\mathbf{i}\): \(\frac{\partial}{\partial y}(e^x) - \frac{\partial}{\partial z}(-\cos y) = 0 - 0 = 0\)
- Συνιστώσα \(\mathbf{j}\): \(-\left( \frac{\partial}{\partial x}(e^x) - \frac{\partial}{\partial z}(e^x(z+1)) \right) = -(e^x - e^x) = 0\)
-
Συνιστώσα \(\mathbf{k}\): \(\frac{\partial}{\partial x}(-\cos y) - \frac{\partial}{\partial y}(e^x(z+1)) = 0 - 0 = 0\) Εφόσον \(\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \mathbf{0}\) σε ολόκληρο το \(\mathbb{R}^3\), το πεδίο είναι συντηρητικό.
-
Εύρεση Συνάρτησης Δυναμικού \(\phi(x, y, z)\) ώστε \(\nabla \phi = \mathbf{F}\):
- \(\frac{\partial \phi}{\partial x} = e^x(z + 1) \implies \phi(x, y, z) = e^x(z + 1) + g(y, z)\)
- \(\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial y} = -\cos y \implies g(y, z) = -\sin y + h(z)\)
- \(\frac{\partial \phi}{\partial z} = e^x + h'(z) = e^x \implies h'(z) = 0 \implies h(z) = C\) Συνεπώς: $\(\mathbf{\phi(x, y, z) = e^x(z + 1) - \sin y + C}\)$
Θέμα 3¶
1)¶
- Υπολογίζουμε τη βαθμίδα: $\(\nabla f(x, y) = \langle f_x, f_y \rangle = \langle e^{-y}, -x e^{-y} \rangle\)$
- Στο σημείο \(P = (2, 0)\): $\(\nabla f(2, 0) = \langle e^0, -2 e^0 \rangle = \langle 1, -2 \rangle\)$
- Κατεύθυνση μέγιστου ρυθμού αύξησης: Είναι η κατεύθυνση της βαθμίδας: $\(\mathbf{u} = \frac{\nabla f(2, 0)}{\|\nabla f(2, 0)\|} = \frac{\langle 1, -2 \rangle}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \mathbf{\left\langle \frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right\rangle}\)$
- Μέτρο του μέγιστου ρυθμού μεταβολής: $\(\|\nabla f(2, 0)\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \mathbf{\sqrt{5}}\)$
2)¶
-
Μερική παράγωγος \(f_x(0, 0)\) από τον ορισμό: $\(f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^3}{h^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \mathbf{1}\)$
-
Μερική παράγωγος \(f_y(0, 0)\) από τον ορισμό: $\(f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\frac{2k^3}{k^2} - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{2k}{k} = \mathbf{2}\)$
-
Έλεγχος συνέχειας της \(f_x\) στο \((0, 0)\): Για \((x, y) \neq (0, 0)\), υπολογίζουμε την \(f_x(x, y)\): $\(f_x(x, y) = \frac{3x^2(x^2 + y^2) - (x^3 + 2y^3)(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^4 + 3x^2y^2 - 4xy^3}{(x^2 + y^2)^2}\)$ Εξετάζουμε αν \(\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f_x(x, y) = f_x(0, 0) = 1\). Πλησιάζοντας κατά μήκος των ευθειών \(y = mx\): $\(f_x(x, mx) = \frac{x^4 + 3m^2 x^4 - 4m^3 x^4}{(x^2 + m^2 x^2)^2} = \frac{1 + 3m^2 - 4m^3}{(1 + m^2)^2}\)$
- Για \(m = 0\) (άξονας \(x\)): \(\frac{1}{1} = 1\).
- Για \(m = 1\) (ευθεία \(y = x\)): \(\frac{1 + 3 - 4}{(1 + 1)^2} = 0 \neq 1\). Το όριο εξαρτάται από το \(m\), επομένως το \(\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f_x(x, y)\) δεν υπάρχει. Άρα η \(f_x\) ΔΕΝ είναι συνεχής στο \((0, 0)\).
3)¶
- Μέθοδος Πολλαπλασιαστών Lagrange: \(\nabla f = \lambda \nabla g \implies \langle 2x, 4y \rangle = \lambda \langle 4, -6 \rangle\)
- \(2x = 4\lambda \implies x = 2\lambda\)
- \(4y = -6\lambda \implies y = -\frac{3}{2}\lambda\)
- \(4x - 6y = 25\) Αντικατάσταση στον περιορισμό: $\(4(2\lambda) - 6\left(-\frac{3}{2}\lambda\right) = 25 \implies 8\lambda + 9\lambda = 25 \implies 17\lambda = 25 \implies \lambda = \frac{25}{17}\)$ Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του κρίσιμου σημείου: $\(x = 2 \cdot \frac{25}{17} = \frac{50}{17}, \quad y = -\frac{3}{2} \cdot \frac{25}{17} = -\frac{75}{34}\)$
- Τιμή συνάρτησης στο κρίσιμο σημείο (Ελάχιστη τιμή): $\(f_{\min} = \left(\frac{50}{17}\right)^2 + 2\left(-\frac{75}{34}\right)^2 = \frac{2500}{289} + 2 \cdot \frac{5625}{1156} = \frac{2500}{289} + \frac{5625}{578} = \frac{5000 + 5625}{578} = \mathbf{\frac{625}{34}}\)$ (Η \(f\) δεν έχει μέγιστη τιμή υπό τον γραμμικό περιορισμό, καθώς \(x, y \to \pm \infty \implies f \to +\infty\)).
Θέμα 4¶
1)¶
- Απόκλιση (Divergence): $\(\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = \mathbf{2(x + y + z)}\)$
- Στροβιλισμός (Curl): $\(\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 - 0) = \mathbf{0}\)$
2)¶
-
(α) Απόδειξη: Αν η \(f(x, y)\) είναι διαφορίσιμη στο \((a, b)\), τότε εξ ορισμού: $\(f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a, b) = f_x(a, b) \Delta x + f_y(a, b) \Delta y + \epsilon_1 \Delta x + \epsilon_2 \Delta y\)$ όπου \(\lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \epsilon_1 = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)} \epsilon_2 = 0\). Θέτοντας \(\Delta y = 0\) και \(\Delta x = h\): $\(f(a + h, b) - f(a, b) = f_x(a, b) h + \epsilon_1 h\)$ Διαιρώντας με \(h \neq 0\): $\(\frac{f(a + h, b) - f(a, b)}{h} = f_x(a, b) + \epsilon_1\)$ Παίρνοντας το όριο καθώς \(h \to 0\): $\(g'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a, b)}{h} = f_x(a, b)\)$ Άρα η μονοδιάστατη συνάρτηση \(g(x) = f(x, b)\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x = a\) με \(g'(a) = f_x(a, b)\).
-
(β) Εφαρμογή στη συνάρτηση \(f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}\) στο \((0, 0)\): Θεωρούμε τη συνάρτηση \(g(x) = f(x, 0) = \sqrt{x^2 + 0} = |x|\). Η παράγωγος της \(g(x) = |x|\) στο \(x = 0\) δεν υπάρχει, καθώς: $\(\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1, \quad \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1\)$ Επειδή η \(g(x) = f(x, 0)\) δεν είναι παραγωγίσιμη στο \(x = 0\), από την αντιθετοαναστροφή του προηγούμενου συμπεράσματος έπεται άμεσα ότι η \(f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}\) ΔΕΝ είναι διαφορίσιμη στο \((0, 0)\)!
3)¶
- Υπολογισμός: Ολοκληρώνουμε πρώτα ως προς \(x\). Θέτουμε \(u = x^2 + y \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}\): $\(\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{x^2 + y}} \, dx = \int_{1+y}^{4+y} \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du = \left[ \sqrt{u} \right]_{1+y}^{4+y} = \sqrt{4 + y} - \sqrt{1 + y}\)$ Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε ως προς \(y\) από \(1\) έως \(8\): $\(I = \int_1^8 \left( \sqrt{4 + y} - \sqrt{1 + y} \right) dy = \left[ \frac{2}{3} (4 + y)^{3/2} - \frac{2}{3} (1 + y)^{3/2} \right]_1^8\)$
- Για \(y = 8\): $\(\frac{2}{3}(12)^{3/2} - \frac{2}{3}(9)^{3/2} = \frac{2}{3}(24\sqrt{3}) - \frac{2}{3}(27) = 16\sqrt{3} - 18\)$
- Για \(y = 1\): $\(\frac{2}{3}(5)^{3/2} - \frac{2}{3}(2)^{3/2} = \frac{10\sqrt{5} - 4\sqrt{2}}{3}\)$
- Τελικό αποτέλεσμα: $\(I = 16\sqrt{3} - 18 - \frac{10\sqrt{5} - 4\sqrt{2}}{3} = \mathbf{\frac{48\sqrt{3} - 54 - 10\sqrt{5} + 4\sqrt{2}}{3}}\)$