Γραμμική Άλγεβρα — Φεβρουάριος 2026 (ΕΓΕΚΕΣ)¶

Αυτόματη εξαγωγή κειμένου από επίσημο PDF με θέματα και λύσεις μαζί (partial).

LA_Aa_January_26_solutions.pdf¶

Πανεπιστηµιο Πατρων – Πολυτεχνικη Σχολη¶

Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ¶

ΕΓΕΚΕΣ¶

6 Φεβρουαρίου 2026

Συµπληρώστε τα στοιχεία σας.

επωνυµο: ονοµα:
αρ. µητρωου: ετος εισαγωγης:
αιθουσα: ΑΦΕ στηλη: µοναδεσ:
Οδηγίες/Επεξηγήσεις
Στο διαγώνισµα υπάρχουν ερωτήσεις
• του τύπου Σωστό/Λάθος ή πολλαπλής επιλογής και καλείσθε, µετά από ένα σύντοµο έλεγχο
να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση
• µε την ένδειξη ■ στα οποία πρέπει να δώσετε, δίχως αιτιολόγηση, την τελική απάντηση ή
λύση, µετά από σχετική προεργασία στο πρόχειρο
• δίχως κάποια ένδειξη στα οποία καλείσθε να δώσετε µια πλήρη αλλά ‘‘οικονοµική απόδειξη-
λύση’’ για το Ϲητούµενο στο χώρο που παρέχεται.
Σε όλες τις περιπτώσεις συστήνεται και σε κάποιες επιβάλλεται να ‘‘δουλέψετε’’ κάθε ερώτηµα ή
υποερώτηµα στο πρόχειρο ώστε η απάντησή σας να µην είναι τυχαία.
Η διάρκεια της εξέτασης είναι 2 ώρες και 15 λεπτά . Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1
ώρα µετά από την έναρξη της εξέτασης.
Καλή Επιτυχία!
Λύσεις και Σχόλια
σε µια από τις διαφορετικές παραλλαγές
του διαγωνίσµατος
ΕΣτ/ΤΜΗΥ&Π

Σχόλιο. Στην πρώτη σελίδα που συµπληρώνετε τα στοιχεία σας, στο ΕΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ συµπληϱώνουν µερικοί/µερικές 1ο. ∆ηλαδή οι ϕοιτητές αυτοί ή οι ϕοιτήτριες εισήχθησαν στο CEID την ίδια χρονιά που στο ανατολικό άκρο της Μεσογείου, σύµφωνα µε ϑρησκευτικές πηγές, ο Ιησούς ερχόταν στο κόσµο. Τι να ευχηθούµε στο CEID που Ϲει και µεγαλουργεί 2.000 plus χρόνια ! Να τα 10⁶ ήσεις CEID.

Θ1. ■ Εάν

να ϐρεθεί η διάσταση των D, E, G, H ώστε η αντίστοιχη πράξη να ορίζεται

Η διάσταση του D είναι 3 × n Η διάσταση του E είναι 1 × 2 Η διάσταση του G είναι n × 3 Η διάσταση του H είναι 3 × 3 µητρώο το PQ ορίζεται αν και ΄Ετσι για παράδειγµα στο 1 × 2.

(δʹ) A^T HB

(δʹ) Να ϐρεθεί µια ϐάση για τον υπόχωρο U^⊥ . Επειδή

µ από την 1η γραµµή, µ από την 2η και − 1 από την 3η

εποµένως

3 µ² = 12 ⇒ µ = ± 2 .

Θ4. ΄Ενα 3 × 3 µητρώο A έχει ιδιοτιµές λ 1 = − 2, λ 2 = 1 και λ 3 = 1 µε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα τα

(αʹ) Να ϐρείτε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του M .

x 1 =  − 1 x 2 = 1 x 3 =  − 1 0 0 1   ,   ,   . (αʹ) ■ trace A = λ 1 + λ 2 + λ 3 = − 2 + 1 + 1 = 0 (ϐʹ) Το µητρώο A είναι αντιστρέψιµο. Σ Λ αφού το 0 δεν είναι ιδιοτιµή του (γʹ) ■ rank A = 3 αφού det A = λ 1 λ 2 λ 3 = − 2 ̸ = 0 (δʹ) Το µητρώο A είναι διαγωνοποιήσιµο. Σ Λ αφού τα ιδιοδιανύσµατα του A είναι γραµµικά ανεξάρτητα Τα (ϐ΄) και (γ΄) είναι ισοδύναµα. Σε µια παραλλαγή τα ιδιοδιανύσµατα ∆ΕΝ ήταν γραµµικά ανεξάρτητα. Θ5. Αν u και v είναι δύο ορθοκανονικά διανύσµατα στο R³ και w είναι ένα διάνυσµα στο R³ να ϐρεθούν οι σταθερές a και b για τις οποίες η απόσταση ∥ w − a u − b v ∥ είναι η ελάχιστη δυνατή. Αν ˜w είναι η προβολή του w επί του επιπέδου που παράγεται από τα διανύσµατα u και v και αν x είναι οποιοδήποτε άλλο διάνυσµα αυτού του επιπέδου (εποµένως γραµµικός συνδυασµός των u και v ), τότε ∥ w − ˜w ∥ < ∥ w − x ∥. Επειδή ˜w = ⟨ w , u ⟩ u + ⟨ w , v ⟩ v , η δοσµένη νόρµα ελαχιστοποιείται αν a = ⟨ w , u ⟩, και b = ⟨ w , v ⟩. Θ6. ∆ίνεται το µητρώο M = 21 13 − 12

(ϐʹ) Να ϐρείτε µια ϐάση για την εικόνα (range M ) του M .
Μια ϐάση του range M (που είναι υπόχωρος του R³ ) αποτελείται από τα διανύσµατα-στήλες ΤΟΥ M που περιέχουν τους οδηγούς, έτσι µια ϐάση αποτελούν οι δύο πρώτες στήλες ΤΟΥ M , ισοδύναµα
(γʹ) Να ϐρείτε µια ϐάση για το µηδενόχωρο (null M ) του M . ΄Ενα διάνυσµα x ανήκει στο µηδενόχωρο του M αν και µόνο αν είναι λύση του συστήµατος M x = 0 , ισοδύναµα του R 0 x = 0 . ΄Ετσι, από την ανηγµένη µορφή, έχουµε x 1 + x 3 = 0 x 1 = −x 3 −x 3 − 1 ⇔ ⇔ x =  x 3   1 
x 2 − x 3 = 0 x 2 = x 3
� � � �  x 3  = x 3  1 
όπου x 3 ∈ R, έτσι µια ϐάση του µηδενόχωρου είναι η B^′ = − 11 . �^ � 1

(δʹ) Το σύστηµα M x = 0 έχει µη µηδενικές λύσεις. Σ Λ από το (ϐ΄).
(εʹ) κυκλωστε το σωστο. Αν το M είναι όπως πριν και ορίσουµε N = M − 02 00 00 4 7 0

και αν b είναι ένα διάνυσµα στο R³ , το σύστηµα N x = b έχει i. Καµία λύση ii. Μοναδική λύση iii. ΄Απειρες λύσεις iv. ΄Αλλοτε έχει λύση, άλλοτε δεν έχει
Υπολογίζουµε N = 10 31 − 12 0 0 − 5

και το µητρώο είναι άνω τριγωνικό µε µη µηδενικά στοιχεία στη διαγώνιο, άρα είναι αντιστρέψιµο, κατά συνέπεια το σύστηµα N x = b έχει µοναδική λύση, την x = N^_−_1 b . Είναι απορίας άξιο πως κάποιοι/κάποιες από εσάς επιλέγουν την απάντηση στο (ε΄) ∆ΙΧΩΣ να υπολογίσουν το µητρώο N . Παιδιά, µαθηµατικά γράφουµε δεν ϱίχνουµε Ϲάρια ούτε

παίζουµε κουλοχέρη.¶

Τα προβλήµατα 1, 2, 3 και 5 είναι ϐασικά και δεν νοείται κάποιος/κάποια που εξετάζεται στη Γραµµική ΄Αλγεβρα να µη ξέρει πως λύνονται. Είναι σαν να ϑέλεις να παίξεις σκάκι και δεν γνωρίζεις πως κινείται το άλογο, ο πύργος, ο αξιωµατικός, ή η ϐασίλισσα !

Θ7. ΄Εστω U = { u 1 , u 2 , u 3 } και έστω V = { v 1 , v 2 , v 3 } δύο ϐάσεις για τον R³ , και έστω F : R³ → R³ ένας γραµµικός µετασχηµατισµός τέτοιος ώστε

(αʹ) ■ Το µητρώο αναπαράστασης A του F ως προς τις ϐάσεις U και V είναι το

(ϐʹ) Υπάρχει µη µηδενικό διάνυσµα v ∈ R³ ώστε P v = 0 . Σ Λ αν v ∈ W^⊥ , τότε v ∈ R³ και P v = 0 .
(γʹ) P^T = P . Σ Λ
Το µητρώο P είναι µητρώο ορθογώνιας προβολής αν και µόνο αν P² = P και P^T = T .
(δʹ) Το µητρώο P είναι ορθογώνιο. Σ Λ Το P προβάλλει επί του διδιάστατου υπόχωρου W , εποµένως έχει δύο γραµµικά ανεξάρτητες στήλες, C ( P ) = W , ενώ οι στήλες ορθογώνιου µητρώου αποτελούν ορθοκανονικό σύνολο άρα είναι γραµµικά ανεξάρτητες.

0 1 − 1 Οι ΣΤΗΛΕΣ του A αποτελούνται από τους συντελεστές, αντίστοιχα, των διανυσµάτων F ( u 1), F ( u 2), F ( u 3) εκφρασµένων στη ϐάση V = { v 1 , v 2 , v 3 } . (ϐʹ) Αν x = α u 1 + β u 2 + γ u 3 εκφράστε το F ( x ) ως γραµµικό συνδυασµό των v 1 , v 2 , v 3. Από τη γραµµικότητα του F υπολογίζουµε F ( x ) = F ( α u 1 + β u 2 + γ u 3) = αF ( u 1) + βF ( u 2) + γF ( u 3) = α v 2 + β ( v 1 − v 2 + v 3) + γ ( v 2 − v 3) = β v 1 + ( γ − β ) v 2 + ( β − γ ) v 3 . (γʹ) ■ Image( T ) = span { v 1 , v 2 , v 3 } = R³ , αφού από το (ϐ΄) κάθε F ( x ) εκφράζεται ως γραµµικός συνδυασµός και των τριών στοιχείων της ϐάσης V του R³ . Η εικόνα (Image) όπως ϕανερώνει η λέξη είναι σύνολο και µάλιστα υπόχωρος και όχι αριθµός όπως εµφανίστηκε σε ουκ ολίγα γραπτά. (δʹ) ■ Μια ϐάση για την εικόνα Image( T ) είναι η B = V = { v 1 , v 2 , v 3 } από το (γ΄). Υπάρχουν προφανώς και άλλες ϐάσεις αλλά η παραπάνω είναι η προφανής επιλογή που προκύπτει από τα δεδοµένα του προβλήµατος. (εʹ) Υπάρχει b ∈ R³ ώστε το σύστηµα A x = b δεν έχει λύση. Σ Λ αφού range A = Image( T ) = R³ . Θ8. ΄Εστω ότι το P ∈ R³^_×3 είναι το µητρώο ορθογώνιας προβολής επί ενός διδιάστατου υπόχωρου W του R³ . Επιλέξτε κυκλώνοντας το σωστό χαρακτηρισµό για τον ισχυρισµό. (αʹ) Το αντίστροφο µητρώο P−_1 υπάρχει. Σ Λ αφού rank P = 2 = dim W . (ϐʹ) Υπάρχει µη µηδενικό διάνυσµα v ∈ R³ ώστε P v = 0 . Σ Λ

(εʹ) Αν P^′ είναι το µητρώο της ορθογώνιας προβολής του R³ επί του R³ , τότε το P^′ είναι το ταυτοτικό µητρώο. Σ Λ
Το P προβάλλει επί του R³ κατά συνέπεια έχει τρεις γραµµικά ανεξάρτητες στήλες, που είναι η ϐάση του χώρου στηλών του P , εποµένως υπάρχει το αντίστροφο µητρώο, έτσι έχουµε

P² = P ⇒ P^_−1 P² = P−_1 P ⇒ P = I.

(ϛʹ) ■ σκεψου γεωµετρικα. Αν P^˜ είναι το µητρώο ορθογώνιας προβολής του R³ επί του x -άξονα (υπόχωρου του R³ ) ποιος είναι ο µηδενόχωρος του P^˜ ; Επειδή x x
P ˜  y  0 z 0
 =   ,
έπεται ότι x
P ˜  y  z
 = 0 ⇔ x = 0
κατά συνέπεια null P^˜ = y 0 = yz -επίπεδο . �^ � z
 : y, z ∈ R
∆ιαφορετικά από την εξήγηση στο (ϐ΄) αν x ∈ X^⊥ , όπου X είναι ο x -άξονας, τότε P^˜ x = 0 και αντιστρόφως, κατά συνέπεια null P^˜ = X^⊥ = yz -επίπεδο.
Αγαπητά µου παιδιά, λέγεται ότι τα µαθηµατικά είναι η γλώσσα του σύµπαντος µε την έννοια ότι
οι νόµοι της ϕύσης εκφράζονται µε µαθηµατικές σχέσεις. Σε αντίθεση όµως µε τις άλλες γλώσσες όπου προκειµένου να εκφραστείς µπορείς να ¨γεµίζεις¨ τα κενά µε χειρονοµίες, ή Ϲωγραφιές η αυστηϱότητα των µαθηµατικών δεν επιτρέπει κάτι ανάλογο. Φροντίστε να κατανοήσετε τις νέες έννοιες που συναντήσατε στο µάθηµα, που έτσι κι αλλιώς ϑα σας συντροφεύουν στο υπόλοιπο των σπουδών σας και όχι µόνο. Ειδικά τη Γραµµική ΄Αλγεβρα ϑα τη ϐρίσκετε είτε όπως την είδατε είτε µεταµφιεσµένη σε πολλά άλλα αντικείµενα των σπουδών σας, ή ακόµα και στην υπόλοιπη Ϲωή σας αν αποφασίσετε να ακολουθήσετε µια σχετική πορεία. Τώρα είναι η ώρα να πάρετε το proficiency ή έστω το lower.

Λύσεις (🟢 official)

Κατάσταση: 🟢 official Πηγή: επίσημο PDF του Τμήματος με θέματα και λύσεις μαζί (LA_Aa_January_26_solutions.pdf)

Προσοχή

Οι λύσεις είναι ενσωματωμένες στο PDF και δεν έχουν χωριστεί από τα θέματα· το κείμενο της συνεδρίας είναι ελλιπές εξαγωγή. Δες το πρωτότυπο PDF.

Λύσεις — Γραμμική Άλγεβρα — Φεβρουάριος 2026¶

Οι επίσημες λύσεις βρίσκονται ενσωματωμένες, δίπλα σε κάθε θέμα, στο πρωτότυπο PDF LA_Aa_January_26_solutions.pdf (διαθέσιμο στο πλήρες πακέτο) και στην εξαγωγή κειμένου του στο αρχείο της συνεδρίας 2026-02.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή