Γραμμική Άλγεβρα — Φεβρουάριος 2025 (ΕΓΕΣ)¶
Αυτόματη εξαγωγή κειμένου από επίσημο PDF με θέματα και λύσεις μαζί (partial).
LA_A1_January_solutions.pdf¶
ΕΣτ/ΤΜΗΥ&Π Πανεπιστηµιο Πατρων – Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΓΕΣ 6 Φεβρουαρίου 2025 Συµπληρώστε τα στοιχεία σας και κυκλώστε το έτος εισαγωγής σας στο τµήµα. επωνυµο: ονοµα: αρ. µητρωου: ετος εισαγωγης: αιθουσα: στηλη: µοναδεσ: Οδηγίες/Επεξηγήσεις Στο διαγώνισµα υπάρχουν ερωτήσεις • του τύπου ‘‘Σωστό/Λάθος’’ ή πολλαπλής επιλογής και καλείσθε, µετά από ένα σύντοµο έλεγχο να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. • µε την ένδειξη ■στα οποία πρέπει να δώσετε, δίχως αιτιολόγηση, την τελική απάντηση ή λύση, µετά από σχετική προεργασία στο πρόχειρο. • δίχως κάποια ένδειξη στα οποία καλείσθε να δώσετε µια πλήρη αλλά ‘‘οικονοµική απόδειξη- λύση’’ για το Ϲητούµενο στο χώρο που παρέχεται. τα οποία απαρτίζουν οκτώ προβλήµατα. Σε όλες τις περιπτώσεις συστήνεται και σε κάποιες επι- ϐάλλεται να ‘‘δουλέψετε’’ κάθε ερώτηµα ή υποερώτηµα στο πρόχειρο ώστε η απάντησή σας να µην είναι τυχαία. Η διάρκεια της εξέτασης είναι 2 ώρες και 15 λεπτά. Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1 ώρα µετά από την έναρξη της εξέτασης. Καλή Επιτυχία! Λύσεις και Σχόλια
ΕΣτ/ΤΜΗΥ&Π Θ1. ∆ίνεται το υποσύνολο του R2 U = x y
: 2x + 3y = 0
. Τι πληροφορία έχουµε. Αν x y
∈U, τότε 2x + 3y = 0 ⇔y = −2 3x οπότε U = x y
: 2x + 3y = 0
=
x −2x/3
: x ∈R
= span
1 −2/3
(αʹ) Το U είναι υπόχωρος του R2. Σ Λ σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση. ∆ιαφορετικά (µε τον ορισµό) αν u1, u2 είναι διανύσµατα του U, λ, µ είναι πραγµατικές σταθερές και v = λu1 + µu2, όπου v = x y
, uj = xj yj
, j = 1, 2 τότε 2x + 3y = 2(λx1 + µx2) + 3(λy1 + µy2) = λ(2x1 + 3y1) + µ(2x2 + 3y2) = 0 αφού 2x1 + 3y1 = 2x2 + 3y2 = 0, εποµένως v ∈U, ισοδύναµα το U είναι υπόχωρος του R2. (ϐʹ) Να ϐρεθεί το ορθογώνιο συµπλήρωµα U⊥του U. Αν s t
∈U⊥, τότε
1 −2/3
· s t
= 0 ⇔s −2 3t = 0 ⇔s = 2 3t εποµένως U⊥= 2t/3 t
: t ∈R
= span 2/3 1
(γʹ) Να ϐρεθεί µια ϐάση για τον υπόχωρο U⊥. Μια ϐάση για το U⊥είναι η B = 2/3 1
αφού, από το (ϐ΄) κάθε διάνυσµα στο U⊥είναι πολλαπλάσιο του µη µηδενικού διανύσµατος 2/3 1
. Σηµειώνουµε ότι οι U και U⊥είναι δύο ευθείες στο επίπεδο οπου κάθε µια περιέχει το 0, άρα είναι υπόχωροι του R2, οι οπίες είναι κάθετες µεταξύ τους. Επιπλέον R2 = U ⊕U⊥.
ΕΣτ/ΤΜΗΥ&Π Θ2. Εάν
a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
= 3, να ϐρεθεί/βρεθούν η/οι τιµή/τιµές του µ ώστε
a1 a2 a3 −µc1 −µc2 −µc3 µb1 µb2 µb3
= 6 Με την προφανή αντιστοιχία για οικονοµία χώρου, από τις ιδιότητες της ορίζουσας (γραµµικότητα & µετάθεση γραµµών) υπολογίζουµε 6 =
a −µc µb
= −µ
a c µb
= −µ2
a c b
= µ2
a b c
= 3µ2 ⇒µ = ± √ 2. Θ3. ΄Ενα 3 × 3 µητρώο A έχει ιδιοτιµές λ1 = 0, λ2 = −1 και λ3 = −1 µε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα τα x1 = 1 −1 0 , x2 = 0 1 0 , x3 = −1 0 1 . (αʹ) Το µητρώο A είναι αντιστρέψιµο. Σ Λ αφού το 0 είναι ιδιοτιµή του µητρώου, ισοδύναµα det A = 0. (ϐʹ) ■trace A = λ1 + λ2 + λ3 = −2. (γʹ) Το µητρώο A είναι διαγωνοποιήσιµο. Σ Λ αφού έχει τρία γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα. Σηµειώνουµε ότι A = x1 x2 x3
0 0 0 0 −1 0 0 0 −1 x1 x2 x3 −1 Θ4. ∆ίνονται τα διανύσµατα a = 1 −1 1 , b = 1 2 2 και έστω L να είναι η ευθεία που περιέχει το a. (αʹ) Να ϐρεθεί η προβολή του b επί της ευθείας L. Το µοναδιαίο διάνυσµα που παράγει την ευθεία L είναι το ˜a = 1 ∥a∥a = 1 √ 3a, οπότε η προβολή του b επί της L είναι πολλαπλάσιο του ˜a µε συντελεστή το εσωτερικό γινόµενο των δύο projL b = ⟨˜a, b⟩˜a = 1 ∥a∥2 ⟨a, b⟩a = 1 3(1 −2 + 2) 1 −1 1 = 1 3 1 −1 1 .
ΕΣτ/ΤΜΗΥ&Π (ϐʹ) Να ϐρεθεί το µητρώο προβολής P επί της ευθείας L. Το µητρώο προβολής επί του υποχώρου L παράγεται από το διάνυσµα a και δίνεται από τη σχέση P = 1 aTa(aaT) = 1 a · a(aaT) = 1 ∥a∥2 aaT = 1 3 1 −1 1 1 −1 1
= 1 3 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 ϐλέπε σχέση (2) σελ. 6 ∆ιάλεξη 10, ή (1) στην Ανασκόπηση, Ασκήσεις 10. (γʹ) Να ϐρεθεί ο µηδενόχωρος null P του P . Ο µηδενόχωρος του P αποτελείται απ΄ όλα τα διανύσµατα που είναι κάθετα στο a, έτσι αν x y z ∈a⊥, τότε ϑα είναι x y z · 1 −1 1 = 0 ⇒x −y + z = 0, ισοδύναµα x y z = x x + z z = x x 0 + 0 z z = x 1 1 0 + y 0 1 1 , έτσι ο µηδενόχωρος του P είναι το επίπεδο null P = a⊥= span 1 1 0 , 0 1 1
. (δʹ) ■rank P = 1 αφού το P προβάλλει επί της ευθείας L, δηλαδή επί υπόχωρου διάστασης ένα. Θ5. Αν u και v είναι δύο ορθοκανονικά διανύσµατα του R3 και w είναι ένα διάνυσµα του R3 να ϐρεθούν οι σταθερές a και b για τις οποίες η απόσταση ∥w −au −bv∥είναι η ελάχιστη δυνατή. Αν ˜w είναι η προβολή του w επί του επιπέδου H που παράγουν τα διανύσµατα u και v, ισοδύναµα H = span{u, v}, τότε ∥w −˜w∥< ∥w −x∥ για κάθε x του H διάφορο του ˜w, ϐλέπε σελ. 15, ∆ιάλεξη 10. Επιπλέον ˜w = ⟨w, u⟩u + ⟨w, v⟩v, ϐλέπε σχέση (4) σελ. 14 και Παρατήρηση 2 σελ. 17, ∆ιάλεξη 10, κατά συνέπεια το ελάχιστο συµβαίνει αν και µόνο αν a = ⟨w, u⟩και b = ⟨w, v⟩.
ΕΣτ/ΤΜΗΥ&Π Θ6. ∆ίνεται το 7 × 7 µητρώο J = 1 ... 1 , όπου τα υπόλοιπα στοιχεία του είναι µηδενικά. Ας ϑεωρήσουµε τα J2 = 0 1 1 0
, & J3 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 , όπου µπορούµε να ϑεωρήσουµε το καθένα, προσθέτοντας µηδενικά δεξιά και αριστερά, ως το κεντρικό µέρος του Jn για n άρτιο το πρώτο και για n περιττό το δεύτερο. Παρατηρήστε ότι στη περίπτωση n = 2k (άρτιο) trace J = 0, ενώ στην περίπτωση n = 2k + 1 (περιττό) trace J = 1. Παρατηρήστε ότι στην περίπτωση n = 2 µία µετάθεση γραµµών (n/2) µετατρέπει το J2 στο I2, εποµένως det J2 = −det I2 = −1, και στην περίπτωση n = 3 µία µετάθεση γραµµών ((n −1)/2 η µεσαία γραµµή παραµένει) µετατρέπει το J3 στο I3, εποµένως det J3 = −det I3 = −1, Στη γενική περίπτωση n = 2k (άρτιο) k = n/2 µεταθέσεις µετασχηµατίζουν το Jn στο In, εποµένως det Jn = (−1)n/2 det In, ενώ στην περίπτωση n = 2k + 1 (περιττό) k = (n −1)/2 µεταθέσεις µετασχηµατίζουν το Jn στο In, εποµένως det Jn = (−1)(n−1)/2 det In. (αʹ) ■rank J = 7, οι στήλες του J αποτελούν τη συνήθη ϐάση του R7, άρα είναι γραµµικά ανεξάρτητες. (ϐʹ) ■range J = span{e1, e2, . . . , e7} = R7. (γʹ) ■trace J = 1, αφού n = 7 = περιττό, σύµφωνα µε την εισαγωγή. (δʹ) Υπολογίστε την ορίζουσα του J. Η µεσαία γραµµή του J, η 4η, είναι η ίδια µε την τέταρτη γραµµή του ταυτοτικού 7 × 7 µητρώου I7. Μεταθέτοντας τις συµµετρικές, ως προς την 4η γραµµή, γραµµές µεταξύ τους, δηλαδή την 1η µε την 7η, την 2η µε την 6η, και την 3η µε την 5η (3 δηλαδή µεταθέσεις) καταλήγουµε στο ταυτικό I7 µητρώο, έτσι det J = (−1)3 det I7 = −1. Θ7. ∆ίνεται το µητρώο M = 1 2 1 1 −2 3 2 0 4 .
ΕΣτ/ΤΜΗΥ&Π (αʹ) Να ϐρείτε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του M. Με τη διαδικασία της απαλοιφής ϐρίσκουµε M → 1 2 1 0 −4 2 0 −4 2 → 1 2 1 0 −4 2 0 0 0 → 1 2 1 0 1 −1/2 0 0 0 → 1 0 2 0 1 −1/2 0 0 0 = R (ϐʹ) Να ϐρείτε µια ϐάση για την εικόνα (range M) του M. Οι γραµµικά ανεξάρτητες στήλες του R είναι η 1η και η 2η, έτσι µια ϐάση για την εικόνα ή χώρο στηλών του M αποτελείται από τιω δύο πρώτες στήλες του M, εποµένως µια ϐάση είναι η BC(M) = 1 1 2 , 2 −2 0
. (γʹ) Να ϐρείτε µια ϐάση για το µηδενόχωρο (null M) του M. ΄Ενα διάνυσµα x ανήκει στο µηδενόχωρο του M αν και µόνο αν είναι λύση του συστήµατος Mx = 0, ισοδύναµα Rx = 0, ισοδύναµα x1 + 2x3 = 0 x2 −1 2x3 = 0 ⇔ x1 = −2x3 x2 = 1 2x3 ⇔x = −2t t/2 t , όπου t ∈R, έτσι µια ϐάση του µηδενόχωρου είναι η Bnull M = −2 1/2 1
(δʹ) Το σύστηµα Mx = 0 έχει µη µηδενικές λύσεις. Σ Λ αφού κάθε στοιχείο του µη τετριµένου µηδενόχωρου είναι λύση του συστήµατος. Θ8. ΄Εστω U = {u1, u2, u3} και έστω V = {v1, v2, v3} δύο ϐάσεις για τον R3, και έστω F : R3 →R3 ένας γραµµικός µετασχηµατισµός τέτοιος ώστε F(u1) = v3, F(u2) = v1 −v3, F(u3) = v2. (αʹ) ■Το µητρώο αναπαράστασης A του F ως προς τις ϐάσεις U και V είναι το A = 0 1 0 0 0 1 1 −1 0 . Η j−στήλη του A αποτελείται από τους συντελεστές του F(uj) εκφρασµένο στη ϐάση V. Οι τρεις στήλες του A είναι γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα του R3, κατά συνέπεια απο- τελούν µια ϐάση για τον R3. Επίσης αν x ∈R3, τότε x = au1 + bu2 + cu3, οπότε F(x) = aF(u1) + bF(u2) + cF(u3) = av3 + b(v1 −v3) + cv2 = bv1 + cv2 + (a −b)v3, εποµένως Image(F) = span V = R3, έτσι
ΕΣτ/ΤΜΗΥ&Π (ϐʹ) ■Image(A) = R3. (γʹ) ■Μια ϐάση για την εικόνα Image(A) είναι η B = {v1, v2, v3}. (δʹ) Υπάρχει b ∈R3 ώστε το σύστηµα Ax = b δεν έχει λύση. Σ Λ αφού κάθε b ∈R3 είναι γραµµικός συνδυασµός των στηλών του A που αποτελούν µια ϐάση του R3.
Λύσεις (🟢 official)
Κατάσταση: 🟢 official Πηγή: επίσημο PDF του Τμήματος με θέματα και λύσεις μαζί (LA_A1_January_solutions.pdf)
Προσοχή
Οι λύσεις είναι ενσωματωμένες στο PDF και δεν έχουν χωριστεί από τα θέματα· το κείμενο της συνεδρίας είναι ελλιπές εξαγωγή. Δες το πρωτότυπο PDF.
Λύσεις — Γραμμική Άλγεβρα — Φεβρουάριος 2025¶
Οι επίσημες λύσεις βρίσκονται ενσωματωμένες, δίπλα σε κάθε θέμα, στο πρωτότυπο PDF LA_A1_January_solutions.pdf (διαθέσιμο στο πλήρες πακέτο) και στην εξαγωγή κειμένου του στο αρχείο της συνεδρίας 2025-02.