Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης

Επίσημο περίγραμμα μαθήματος του ΤΜΗΥΠ (Πανεπιστήμιο Πατρών), όπως δημοσιεύεται στη σελίδα του μαθήματος και στο συνημμένο αρχείο «Περίγραμμα Μαθήματος». Το κείμενο παρατίθεται αυτούσιο, χωρίς τα πρότυπα οδηγιών του εντύπου.

Στόχοι

• Με την ολοκλήρωση της διδασκαλίας του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι ικανοί:
• Να γνωρίζουν τις βασικές αρχές της αριθμητικής κινητής υποδιαστολής, τις διαφορές της από την κλασική αριθμητική και να κατανοούν ότι η μαθηματική ισοδυναμία δεν συνεπάγεται υπολογιστική ισοδυναμία και τις επιπτώσεις που συνεπάγεται αυτό στην αριθμητική επίλυση προβλημάτων. Να γνωρίζουν τις βασικές κατηγορίες αριθμητικών προβλημάτων (άμεσα, αντίστροφα, ταυτοποίησης) και να τα ιεραρχούν ως προς τη δυσκολία τους.
• Να γνωρίζουν τους βασικούς τύπους σφαλμάτων που αφορούν στους αριθμητικούς υπολογισμούς και στην αριθμητική επίλυση προβλημάτων και τις βασικές αρχές διάδοσης και μελέτης των σφαλμάτων στρογγύλευσης. Να γνωρίζουν τις έννοιες των καλώς και κακώς τοποθετημένων προβλημάτων καθώς και την έννοια της κατάστασης προβλήματος και αλγορίθμου και σχετικές μετρικές. Να γνωρίζουν την έννοια του πίσω και εμπρός σφάλματος.
• Να γνωρίζουν την παραγοντοποίηση ιδιαζουσών τιμών (SVD), το ψευδοαντίστροφο μήτρας, τις βασικές νόρμες μητρών και ορισμένες ειδικές μήτρες.
• Να γνωρίζουν τη διαφορά μεταξύ άμεσων και επαναληπτικών μεθόδων για την επίλυση γραμμικών συστημάτων εξισώσεων. Να γνωρίζουν τις βασικές παραγοντοποιήσεις μητρώων και την εφαρμογή τους στην επίλυση γραμμικών συστημάτων και προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων.
• Να γνωρίζουν τις βασικές αρχές λειτουργίας επαναληπτικών μεθόδων επίλυσης γραμμικών συστημάτων και συνθήκες σύγκλισης αυτών.
• Να γνωρίζουν απλές επαναληπτικές μεθόδους υπολογισμού ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων βασισμένες σε παραλλαγές της μεθόδου δύναμης, συνθήκες ορθής λειτουργίας τους, καθώς και τη βασική ιδέα του αλγορίθμου QR.
• Να γνωρίζουν γιατί τα πολυώνυμα αποτελούν βασικό εργαλείο στην προσέγγιση και παρεμβολή συναρτήσεων και να γνωρίζουν βασικές μεθόδους πολυωνυμικής παρεμβολής, παθογένειες και τρόπους αντιμετώπισής τους. Να γνωρίζουν τι είναι τα τμηματικά πολυώνυμα και τις αρχές της τμηματικής παρεμβολής και των splines.
• Να γνωρίζουν βασικές μεθόδους επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων.
• Να γνωρίζουν πως να προσεγγίζουν παραγώγους με πεπερασμένες διαφορές και την τεχνική της παρεκβολής.
• Να γνωρίζουν απλές και σύνθετες μεθόδους αριθμητικής ολοκλήρωσης συνάρτησης (μέσου σημείου, τραπεζίου, Simpson)..
• Να γνωρίζουν απλές μεθόδους αριθμητικής προσέγγισης και επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών, τα χαρακτηριστικά των άμεσων και έμμεσων (πεπλεγμένων) μονοβηματικών μεθόδων με παραδείγματα από τις μεθόδους Runge-Kutta.

Στο τέλος του μαθήματος αναμένεται ότι οι φοιτητές θα έχουν αποκτήσει τις ακόλουθες δεξιότητες: 1. Θα είναι σε θέση να αναπτύξουν αλγορίθμους και να χρησιμοποιήσουν το περιβάλλον MATLAB και να επιλέξουν αριθμητική μέθοδο για την επίλυση υπολογιστικών προβλημάτων σε αυτά τα περιβάλλοντα. Θα γνωρίζουν τις αρχές στις οποίες βασίζονται αυτές οι μέθοδοι. 2. Θα είναι σε θέση να γράψουν απλούς αριθμητικούς υπολογισμούς με τρόπο που μειώνει το σφάλμα στρογγυλοποίησης. 3. Θα είναι σε θέση να περιγράψουν και να χρησιμοποιήσουν την παραγοντοποίηση LU με οδήγηση, τις παραγοντοποιήσεις Cholesky και QR για την επίλυση γραμμικών συστημάτων και προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων και θα είναι σε θέση να εφαρμόσουν απλές εκδόσεις τους. Θα γνωρίζουν να χρησιμοποιούν τις σχετικές συναρτήσεις MATLAB. 4. Θα είναι σε θέση να χρησιμοποιούν νόρμες μήτρας, να κατανοούν τη χρήση του SVD και να υπολογίζουν νόρμες μήτρας και το ψευδοαντίστροφο χρησιμοποιώντας εργαλεία MATLAB. 5. Θα είναι σε θέση να περιγράφουν και να εφαρμόζουν απλές επαναληπτικές μεθόδους (Jacobi, Gauss-Seidel, Richardson, block Jacobi, SOR) και να σχολιάζουν τη σύγκλισή τους. Θα γνωρίζουν να χρησιμοποιούν τις μεθόδους απότομης καθόδου και συζυγών κλίσεων Θα γνωρίζουν να χρησιμοποιούν και τις σχετικές συναρτήσεις MATLAB. 6. Θα είναι σε θέση να περιγράψουν και να εφαρμόσουν τη μέθοδο δύναμηςτ και τις παραλλαγές της για τον υπολογισμό επιλεγμένων ιδιοζευγών καθώς και τη μέθοδο QR για τον υπολογισμό όλων των ιδιοτιμών. 7. Θα είναι σε θέση να υπολογίζουν πολυώνυμα παρεμβολής σε διάφορες αναπαραστάσεις, να κατασκευάζουν τμηματικά παρεμβολές και απλά κυβικά splines και να σχολιάζουν τα καταλληλότερα ανάλογα με τις προδιαγραφές του προβλήματος. 8. Θα είναι σε θέση να κατασκευάσουν απλές εκδόσεις ενός μη γραμμικού επιλυτή για βαθμωτές εξισώσεις χρησιμοποιώντας διχοτόμηση, Newton ή secant, καθώς και μη γραμμικούς επιλυτές συστημάτων με βάση τη Newton. Θα γνωρίζουν να χρησιμοποιούν τις σχετικές συναρτήσεις MATLAB. 9. Να είναι σε θέση να γράφουν απλές προσεγγίσεις παραγώγων πρώτης και δεύτερης τάξης. 10. Θα είναι σε θέση να προσεγγίσουν συγκεκριμένα ολοκληρώματα επιλέγοντας από μεθόδους όπως ορθογώνιο, τραπεζοειδές, Simpson και τις σύνθετες εκδόσεις τους. Θα γνωρίζουν να χρησιμοποιούν τις σχετικές συναρτήσεις MATLAB. 11. Θα είναι σε θέση να διατυπώσουν τη λύση απλών προβλημάτων αρχικής τιμής ως αριθμητικές διαδικασίες, να διακρίνουν ρητές από σιωπηρές μεθόδους και να κατανοήσουν τα χαρακτηριστικά τους. Θα γνωρίζουν να χρησιμοποιούν τις σχετικές συναρτήσεις MATLAB.

Περιεχόμενο (ύλη)

1. Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση.
2. Εισαγωγή και βασικά στοιχεία του περιβάλλοντος MATLAB.
3. Αναπαράσταση αριθμών με πεπερασμένη ακρίβεια και το μοντέλο αριθμητικής κινητής υποδιαστολής.
4. Τοποθέτηση προβλήματος. Εμπρός και πίσω ευστάθεια αλγορίθμου. Δείκτης κατάστασης προβλήματος. Καταστροφική απαλοιφή. Σχετικές συναρτήσεις MATLAB.
5. Υπενθυμίσεις και επιπρόσθετα απαραίτητα στοιχεία της γραμμικής άλγεβρας: Ιδιάζουσες τιμές και το SVD, ψευδοαντίστροφο, νόρμες μητρών.
6. Αριθμητική γραμμική άλγεβρα. Παραγοντοποιήσεις μητρών και άμεσες μέθοδοι (LU, Cholesky και παραλλαγές τους). Σχετικές συναρτήσεις MATLAB. Σχετικές συναρτήσεις MATLAB.
7. Επαναληπτικές μέθοδοι για επίλυση συστημάτων: Jacobi, Gauss-Seidel, Richardson, block Jacobi, SOR.
8. Σύντομη εισαγωγή στις μεθόδους προβολής για συμμετρικά θετικά ορισμένες μήτρες (απότομης καθόδου, συζυγών κατευθύνσεων και συζυγών κλίσεων). Σχετικές συναρτήσεις MATLAB.
9. Προσέγγιση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων: Μέθοδος δύναμης, αντίστροφης δύναμης, μετατοπισμένης αντίστροφης δύναμης. Σύντομη περιγραφή της ιδέας του αλγορίθμου QR για υπολογισμό ιδιοτιμών. Σχετικές συναρτήσεις MATLAB.
10. Πολυωνυμική παρεμβολή και αναπαραστάσεις της (Newton, Lagrange, βαρυκεντρική, Hermite), τμηματικά πολυώνυμα και splines. Σχετικές συναρτήσεις MATLAB. Στοιχεία του πακέτου Chebfun..
11. Προσέγγιση συναρτήσεων και δεδομένων. Προσέγγιση ελαχίστων τετραγώνων και επίλυση γραμμικών προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων. Παραγοντοποίηση QR με ανακλάσεις Householder. Σχετικές συναρτήσεις MATLAB.
12. Μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων (bisection, Newton, τέμνουσας) και συστημάτων (Newton). Σχετικές συναρτήσεις MATLAB.
13. Αριθμητική ολοκλήρωση με απλές μεθόδους (ορθογωνίου, τραπεζίου, Simpson). Σχετικές συναρτήσεις MATLAB.
14. Στοιχεία αριθμητικής παραγώγισης και εισαγωγή στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Βασικές μονοβηματικές μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών. Άμεσες και έμμεσες μέθοδοι. Εμπρός Euler, πίσω Euler και μέθοδοι Runge-Kutta.
15. Περιβάλλοντα και εργαλεία αριθμητικής ανάλυσης και υπολογιστικών μαθηματικών. Σχετικές συναρτήσεις MATLAB.
16. Ο ρόλος της Αριθμητικής Ανάλυσης στη σύγχρονη Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπολογιστών και παραδείγματα εφαρμογών.

Αξιολόγηση

• Γλώσσα αξιολόγησης: Ελληνική (Αγγλικά αν χρειαστεί) Η βαθμολόγηση βασίζεται εξ ολοκλήρου στην τελική εξέταση (100% της συνολικής βαθμολογίας).
• Η γραπτή εξέταση μπορεί να περιλαμβάνει ερωτήσεις Δοκιμασίας Πολλαπλής Επιλογής, Ερωτήσεις Σύντομης Απάντησης, Ερωτήματα «μικρού εργαστηρίου», Προβλήματα-Ασκήσεις
• Κατά τη διάρκεια του εξαμήνου ανατίθενται εργασίες (πρακτικές και θεωρητικές). Οι εργασίες αποσκοπούν στην εξοικείωση και απόκτηση εμπειρίας στη χρήση περιβαλλόντων όπως το MATLAB, στην εξάσκηση χρήσης των υπολογιστικών εργαλείων και βιβλιοθηκών που παρέχουν και που αφορούν στις μεθόδους που διδάσκονται στο μάθημα. Επίσης στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων και τα σφάλματα που εμπεριέχουν.
• Τα κριτήρια αξιολόγησης αναρτώνται στην ιστοσελίδα του μαθήματος (e-class) από την αρχή του εξαμήνου.

Βιβλιογραφία

ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - U. Ascher και C. Greif, A first course in numerical methods, Κλειδάριθμος, 2022. Στο μάθημα ακολουθούμε αρκετά πιστά το εν λόγω σύγγραμμα. - Β. Δουγαλής και Γ. Ακρίβης, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, 4η έκδοση, ΠΕΚ, 2021 - Alfio Quarteroni, Fausto Saleri and Paola Gervasio, "Scientific Computing with MATLAB and Octave", Springer, 2014. Διαθέσιμο μέσω Ευδόξου - Cleve Moler, Αριθμητικές Μέθοδοι με MATLAB, Κλειδάριθμος, 2010. Επίσης διαθέσιμο (στα Αγγλικά) online από την ιστοσελίδα της Mathworks. ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΗΓΕΣ - L.N. Trefethen, Numerical Analysis, Princeton Companion to Mathematics, 2008. - https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/NAessay.pdf - Online υλικό σχετικά με το περιβάλλον MATLAB. - Εργασίες και παρουσιάσεις (διαθέσιμα online.)