Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Επίσημο περίγραμμα μαθήματος του ΤΜΗΥΠ (Πανεπιστήμιο Πατρών), όπως δημοσιεύεται στη σελίδα του μαθήματος και στο συνημμένο αρχείο «Περίγραμμα Μαθήματος». Το κείμενο παρατίθεται αυτούσιο, χωρίς τα πρότυπα οδηγιών του εντύπου.

Στόχοι

• Με την ολοκλήρωση της διδασκαλίας του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι ικανοί:
• Να βρίσκουν την ακτίνα και το διάστημα σύγκλισης μιας δυναμοσειράς και να γνωρίζουν πως να αθροίζουν, παραγωγίζουν και ολοκληρώνουν δυναμοσειρές.
• Να βρίσκουν το όριο και να μπορούν να ελέγχουν την συνέχεια απλών συναρτήσεων δύο ή τριών μεταβλητών.
• Να βρίσκουν τις μερικές παραγώγους, την κατά κατεύθυνση παράγωγο, την παράγωγο και την κλίση απλών συναρτήσεων δύο ή τριών μεταβλητών.
• Να γνωρίζουν το θεώρημα του Taylor, και να βρίσκουν τα ακρότατα συναρτήσεων, καθώς και τα ακρότατα υπό συνθήκη με τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange.
• Να μπορούν να υπολογίζουν διπλά και τριπλά ολοκληρώματα, αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης και σύστημα.
• Να βρίσκουν την απόκλιση και το στροβιλισμό διανυσματικού πεδίου.
• Να μπορούν να υπολογίζουν επικαμπύλια ολοκληρώματα 1ου και 2ου είδους.
• Να γνωρίζουν πως να περιγράφουν μια απλή επιφάνεια, πως να υπολογίζουν το εμβαδό της και πως να υπολογίζουν ολοκληρώματα βαθμωτών συναρτήσεων σε επιφάνειες.
• Να γνωρίζουν τη μιγαδική παράγωγο απλών συναρτήσεων.
• Να μπορούν να υπολογίζουν επικαμπύλια ολοκληρώματα μιγαδικών συναρτήσεων και να γνωρίζουν τον τύπο του Cauchy για αναλυτικές συναρτήσεις σε απλά συνεκτικά χωρία.
• Να μπορούν να βρίσκουν ειδικές και γενικές λύσεις καθώς και το χώρο λύσεων, απλών γραμμικών εξισώσεων 2ης τάξης.
• Να μπορούν να δώσουν τη λύση σε απλά γραμμικά κυρίως συστήματα διαφορικών εξισώσεων.
• Να μπορούν να περιγράψουν το επίπεδο φάσεων σε πολύ απλές χαρακτηριστικές περιπτώσεις.

Περιεχόμενο (ύλη)

1. Απειροστικός Λογισμός.
2. Δυναμοσειρές, ακτίνα σύγκλισης και διάστημα σύγκλισης.
3. Όρια και συνέχεια συναρτήσεων περισσοτέρων μεταβλητών.
4. Μερικές παράγωγοι, η παράγωγος και ιδιότητες της παραγώγου.
5. Κλίση και κατά κατεύθυνση παράγωγος.
6. Το θεώρημα του Taylor, ακρότατα και ακρότατα υπό συνθήκη, πολλαπλασιαστές Lagrange.
7. Πολικές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες.
8. Το διπλό ολοκλήρωμα, αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης, Ιακωβιανή και αλλαγή μεταβλητών.
9. Το τριπλό ολοκλήρωμα, αλλαγή μεταβλητών.
10. Διανυσματικά πεδία, απόκλιση και στροβιλισμός.
11. Επικαμπύλια ολοκληρώματα 1ου και 2ου είδους.
12. Επιφάνειες και εμβαδόν επιφανείας.
13. Ολοκληρώματα βαθμωτών συναρτήσεων σε επιφάνειες.
14. Μιγαδικές συναρτήσεις.
15. Συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής.
16. Η μιγαδική παράγωγος και αναλυτικές συναρτήσεις.
17. Μιγαδική ολοκλήρωση, Το θεώρημα του Cauchy, Ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy.
18. Διαφορικές εξισώσεις ΙΙ.
19. Γραμμικές εξισώσεις 2ης τάξης.
20. Χώροι λύσεων, ειδικές και γενικές λύσεις.
21. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων.
22. Το επίπεδο φάσεων.
23. Εφαρμογές.

Αξιολόγηση

Γλώσσα αξιολόγησης: Ελληνική (Αγγλικά αν χρειαστεί)

Μέθοδοι Αξιολόγησης: Γραπτή τελική εξέταση (100% της συνολικής βαθμολογίας) η οποία περιλαμβάνει Θεωρία και Ασκήσεις-Προβλήματα, ή Γραπτή τελική εξέταση (σε τμήμα της ύλης) + Πρόοδος. Ο τρόπος της εξέτασης προσδιορίζεται και εμφανίζεται στη σελίδα του μαθήματος στην αρχή του εξαμήνου.

Βαθμολογική κλίμακα 0-10. Προβιβάσιμος βαθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 5.

Βιβλιογραφία

• I. S. Sokolnikoff, R. M. Redheffer, Μαθηματικά για Φυσικούς και Μηχανικούς, (μετάφραση) Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΕΜΠ 2001.
• J. Rogawski, C. Adams, R. Franzosa, Ανάλυση, Β’ τόμος, (μετάφραση), Gutenberg, 2023.
• J. Marsden, A. Tromba, Διανυσματικός λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2020.
• Δ. Γεωργίου, Θ. Καρακασίδης, Α. Μεγαρίτης, Διαφορικός & Ολοκληρωτικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών, Εκδόσεις Τζιόλα, 2022.
• R. L. Finney, M. D. Weir, F. R. Giordano, Thomas Απειροστικός Λογισμός (σε ένα τόμο) (μετάφραση της 10ης Έκδοσης), Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2015.
• W. Briggs, L. Cochran, B. Gillett, Απειροστικός Λογισμός, Κριτική, 2018.