Γενικά Μαθηματικά Ι

Επίσημο περίγραμμα μαθήματος του ΤΜΗΥΠ (Πανεπιστήμιο Πατρών), όπως δημοσιεύεται στη σελίδα του μαθήματος και στο συνημμένο αρχείο «Περίγραμμα Μαθήματος». Το κείμενο παρατίθεται αυτούσιο, χωρίς τα πρότυπα οδηγιών του εντύπου.

Στόχοι

• Με την ολοκλήρωση της διδασκαλίας του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι ικανοί:
• Να γνωρίζουν τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών που αφορούν στην άλγεβρα και στη διάταξη και να μπορούν να τις χρησιμοποιήσουν σε σχετικά προβλήματα, όπως επίλυση εξισώσεων ή ανισοτήτων, εύρεση supremum και infimum.
• Να γνωρίζουν την άλγεβρα και τη γεωμετρία των μιγαδικών αριθμών, ειδικά να επιλύουν ή να περιγράφουν σαν γεωμετρικούς τόπους εξισώσεις και ανισότητες, και να βρίσκουν ρίζες μιγαδικών αριθμών.
• Να αναγνωρίζουν τις δομές της ομάδας και του δακτυλίου και να ελέγχουν αν υφίσταται μια τέτοια δομή σε σύνολο εφοδιασμένο με πράξη ή πράξεις.
• Να μπορούν να εξετάζουν αν μια ακολουθία είναι μονότονη, ή φραγμένη, ή συγκλίνουσα και να είναι σε θέση να υπολογίζουν το όριο αυτής εφόσον υπάρχει.
• Να γνωρίζουν την έννοια της σειράς πραγματικών αριθμών και τα βασικά κριτήρια σύγκλισης και να είναι σε θέση να υπολογίζουν το όριο γεωμετρικής, ή τηλεσκοπικής σειράς.
• Να γνωρίζουν τις βασικές έννοιες και τα θεωρήματα του Λογισμού που αφορούν στα όρια και στη συνέχεια συναρτήσεων. Να μπορούν να εφαρμόσουν το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής για τον εντοπισμό ριζών εξισώσεων.
• Να γνωρίζουν την έννοια και τη σημασία γεωμετρική/φυσική της παραγώγου και τα θεωρήματα Rolle, Μέσης Τιμής και Taylor.
• Να γνωρίζουν την έννοια και τις ιδιότητες του ορισμένου και αορίστου ολοκληρώματος και να μπορούν εφαρμόζοντας απλές τεχνικές να υπολογίζουν απλά ολοκληρώματα.
• Να κατανοούν τη διαφορά μεταξύ ορισμένου και γενικευμένου ολοκληρώματος και να μπορούν να υπολογίζουν τυπικά γενικευμένα ολοκληρώματα πρώτου και δεύτερου είδους.
• Να κατανοούν γεωμετρικά μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, και να μπορούν, σε απλές περιπτώσεις, μέσω του πεδίου διευθύνσεων να βλέπουν τη συμπεριφορά των λύσεων. Να μπορούν να υπολογίζουν προσεγγιστικές λύσεις ή αναλυτικές λύσεις σε απλές περιπτώσεις. Να μπορούν να περιγράφουν γνωστά και απλά φαινόμενα που αφορούν εξέλιξη ως μοντέλα διαφορικών εξισώσεων.

Περιεχόμενο (ύλη)

• Το σώμα των πραγματικών αριθμών, Διάταξη, Απόλυτη τιμή, Τοπολογία της ευθείας των πραγματικών αριθμών.
• Το σώμα των μιγαδικών αριθμών, Απόλυτη τιμή, Συζυγής, Τοπολογία του μιγαδικού επιπέδου, Δυνάμεις, Τριγωνομετρική και εκθετική μορφή, Τύπος του de Moivre, Ρίζες της μονάδας, Ρίζες μιγαδικών αριθμών, Λογάριθμοι, Απεικονίσεις στο μιγαδικό επίπεδο (δυνάμεις, ρίζες, εκθετικά).
• Ομάδες και Δακτύλιοι: Ορισμός και απλά παραδείγματα, αριθμητική modulo m.
• Ακολουθίες: Το δεκαδικό ανάπτυγμα αριθμού ως ακολουθία, Φράγμα, Μονοτονία, Σύγκλιση.
• Σειρές: Το δεκαδικό ανάπτυγμα αριθμού ως σειρά, Γεωμετρική σειρά, Τηλεσκοπικές σειρές, Εκθετική σειρά, Εναλλάσσουσες σειρές, κριτήρια σύγκλισης.
• Όρια συναρτήσεων, Συνέχεια συνάρτησης και το θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής.
• Παράγωγος: Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου, γραμμική προσέγγιση, διαφορικά, Ο κανόνας της αλυσίδας και πεπλεγμένη παραγώγιση, η παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης. Το θεώρημα της μέσης τιμής και το θεώρημα μέσης τιμής Taylor, Προσέγγιση με πολυώνυμα Taylor, Σφάλμα και σειρές Taylor – Maclaurin (εισαγωγή).
• Ολοκλήρωμα: Εμβαδόν και ολοκλήρωμα, Το άθροισμα Riemann, Ο κανόνας του τραπεζίου, Μέση τιμή, Το θεμελιώδες θεώρημα, Ολοκληρώματα στοιχειωδών συναρτήσεων.
• Τεχνικές ολοκλήρωσης: μέθοδος αντικατάστασης, κατά παράγοντες, Ανάλυση σε απλά κλάσματα.
• Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις και υπολογισμός ολοκληρώματος με τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις.
• Γενικευμένα ολοκληρώματα.
• Μήκος καμπύλης, Η αρχή του Cavalieri, Όγκοι εκ περιστροφής.
• Διαφορικές Εξισώσεις 1ης τάξης: Μοντελοποίηση (μέσω απλών παραδειγμάτων), Πεδία διευθύνσεων και μέθοδος του Euler, Εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών, γραμμικές εξισώσεις, εξισώσεις Bernoulli και Riccati, Εφαρμογές διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης.

Αξιολόγηση

Γλώσσα αξιολόγησης: Ελληνική (Αγγλικά αν χρειαστεί)

Μέθοδοι Αξιολόγησης: Γραπτή τελική εξέταση (100% της συνολικής βαθμολογίας) η οποία περιλαμβάνει Θεωρία και Ασκήσεις-Προβλήματα, ή Γραπτή τελική εξέταση (σε τμήμα της ύλης) + Πρόοδος. Ο τρόπος της εξέτασης προσδιορίζεται και εμφανίζεται στη σελίδα του μαθήματος στην αρχή του εξαμήνου.

Βαθμολογική κλίμακα 0-10. Προβιβάσιμος βαθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 5.

Βιβλιογραφία

• R.L. Finney, M.D. Weir, F.R. Giordano, Thomas Απειροστικός Λογισμός (σε ένα τόμο) (μετάφραση της 10ης Έκδοσης), Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2015.
• J. Rogawski, C. Adams, R. Franzosa, Ανάλυση, Α’ τόμος (μετάφραση), Gutenberg, 2023.
• W. Briggs, L. Cochran, B. Gillett, Απειροστικός Λογισμός, Κριτική, 2018
• M. Spivak, Διαφορικός & Ολοκληρωτικός Λογισμός 2η Έκδοση (μετάφραση της 4ης Έκδοσης), Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2015.