Γραμμική Άλγεβρα¶

Επίσημο περίγραμμα μαθήματος του ΤΜΗΥΠ (Πανεπιστήμιο Πατρών), όπως δημοσιεύεται στη σελίδα του μαθήματος και στο συνημμένο αρχείο «Περίγραμμα Μαθήματος». Το κείμενο παρατίθεται αυτούσιο, χωρίς τα πρότυπα οδηγιών του εντύπου.

Στόχοι¶

Σήμερα, πολλά προβλήματα στην Επιστήμη και στις Τεχνολογίες των Υπολογιστών και της Πληροφορικής διατυπώνονται και επιλύονται με θεωρητικά εργαλεία και αλγορίθμους της Γραμμικής Άλγεβρας. Το μάθημα έχει για στόχο να εξοικειώσει τους φοιτητές με το αντικείμενο με έμφαση στη χρήση και εφαρμογή του στην Επιστήμη του Μηχανικού Η/Υ και Πληροφορικής και να θεμελιώσει τις βάσεις που είναι απαραίτητες για επόμενα μαθήματα που εξαρτώνται άμεσα από τη γνώση του εν λόγω αντικειμένου.

Με την ολοκλήρωση της διδασκαλίας του μαθήματος οι φοιτητές θα είναι ικανοί να:

Να ερμηνεύουν την επίλυση γραμμικών συστημάτων εξισώσεων ως γεωμετρικού προβλήματος.
Να γνωρίζουν την ερμηνεία του πολλαπλασιασμού μητρώου με διάνυσμα ή μητρώο μέσω γραμμικών συνδυασμών ή μέσω εσωτερικών γινομένων.
Να γνωρίζουν τους κανόνες που διέπουν την αριθμητική μητρώων και να μπορούν να κάνουν υπολογισμούς με αυτούς ή να αναγνωρίζουν αν αυτό δεν είναι εφικτό.
Να επιλύουν συστήματα γραμμικών εξισώσεων με την απαλοιφή Gauss και με την παραγοντοποίηση LU και να μπορούν να υπολογίσουν το αντίστροφο, εφόσον υπάρχει, με τις εν λόγω μεθόδους.
Να γνωρίζουν τις έννοιες της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας.
Να γνωρίζουν την έννοια του υπόχωρου ενός διανυσματικού χώρου και του υπόχωρου παραγόμενου από διανύσματα.
Να κατανοούν τις έννοιες της βάσης και διάστασης διανυσματικού χώρου.
Να γνωρίζουν τους τέσσερεις βασικούς υποχώρους ενός μητρώου και πως να τους υπολογίζουν ¨με το χέρι¨ για περιπτώσεις μητρώων μικρών διαστάσεων.
Να είναι σε θέση να αναγνωρίζουν και να αντιστρέφουν ορθογώνια μητρώα.
Να γνωρίζουν τι είναι μητρώο ορθογώνιας προβολής και πώς να το υπολογίζουν.
Να είναι σε θέση να επιλύουν γραμμικά προβλήματα ελαχίστων τετραγώνων χρησιμοποιώντας κανονικές εξισώσεις και να γνωρίζουν τα χαρακτηριστικά της βέλτιστης λύσης του προβλήματος και τη γεωμετρική της ερμηνεία.
Να είναι σε θέση να υπολογίζουν ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα μικρών τετραγωνικών μητρώων και να γνωρίζουν τη διαδικασία διαγωνοποίησης.
Να γνωρίζουν τι είναι η παραγοντοποίηση ιδιαζουσών τιμών και το ψευδοαντίστροφο μητρώου καθώς και τη σημασία τους στην κατασκευή των υποχώρων του μητρώου και στην διαστατική μείωση.
Να γνωρίζουν πότε μια απεικόνιση είναι γραμμική και να είναι σε θέση να βρουν το μητρώο της απεικόνισης.
Να είναι σε θέση να βρίσκουν το μητρώο αλλαγής βάσης.

Περιεχόμενο (ύλη)¶

Διανύσματα και πράξεις διανυσμάτων στο επίπεδο και στο χώρο. Γεωμετρική ερμηνεία επίλυσης συστημάτων. Πράξεις μητρώων. Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι. Γραμμική ανεξαρτησία. Γραμμικά συστήματα και μητρώα. Επίλυση γραμμικών συστημάτων, η έννοια της απαλοιφής. Βάση και διάσταση διανυσματικού χώρου. Οι 4 βασικοί υπόχωροι μητρώου. Τάξη μητρώου. Χώροι εσωτερικού γινομένου. Ορθογωνιότητα. Μητρώο προβολής. Ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt. Το γραμμικό πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων. Ίχνος και ορίζουσα μητρώου. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο μητρώου, ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα, και ιδιόχωροι. Μορφή Jordan. Παραγοντοποίηση ιδιαζουσών τιμών. Ψευδοαντίστροφο μητρώου. Γραμμικές απεικονίσεις, το μητρώο γραμμικής απεικόνισης.

Αξιολόγηση¶

Γλώσσα αξιολόγησης: Ελληνική (Αγγλικά αν χρειαστεί.)

Μέθοδοι Αξιολόγησης: Γραπτή τελική εξέταση (100% της συνολικής βαθμολογίας) η οποία περιλαμβάνει Θεωρία και Ασκήσεις-Προβλήματα.

Βαθμολογική κλίμακα 0-10. Προβιβάσιμος βαθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 5.

Τα κριτήρια αξιολόγησης αναρτώνται στην ιστοσελίδα του μαθήματος στο e-class.

Βιβλιογραφία¶

H. Anton & C. Rorres, Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές, (μετάφραση) Gutenberg, 2021.
G. Strang, Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, (μετάφραση) Εκδ. Παν/μίου Πατρών, 2006.
Γ. Δονάτος & Μ. Αδάμ, Γραμμική Άλγεβρα: Θεωρία και Εφαρμογές, Gutenberg, Αθήνα 2008.
G. Strang, Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές, (μετάφραση) Παν/κές Εκδ. Κρήτης, Ηράκλειο, 2005.