Μετάβαση στο περιεχόμενο

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Ιούνιος 2026 — Γραπτή και Προφορική

Η μεταγραφή προέρχεται από τις φωτογραφίες IMG20260630110544.jpg και IMG_5340.jpg.

IMG20260630110544.jpg

Πίνακας

1) \(x'(t) = 2\pi f e^{2\pi f t}\), Έχει \(f_s\); Αν ναι ποια είναι η \(f_{s\text{min}}\);

2)

[Σχήμα: Γραφική παράσταση \(D(e^{j\omega})\) από \(-\pi\) έως \(\pi\), με τιμή \(\cos\omega\) στο διάστημα \([-\pi/2, \pi/2]\) και 0 στα διαστήματα \([-\pi, -\pi/2]\) και \([\pi/2, \pi]\).]

Να βρείτε το \(R(e^{j\omega})\), με \(N=13\)

Υποθέστε ότι η γραφική παράσταση [δυσανάγνωστο] είναι ένα φίλτρο περιττού μήκους.

3) Τι είναι φίλτρο Weiner;

Φακελάκι

1) \(x(t) = \cos(20\pi t)\) - Σχεδιάστε την, μαζί και τα \(x(n)\), όταν \(f_{s_1} = 20\text{ Hz}\), \(f_{s_2} = 10\text{ Hz}\) και \(f_{s_3} = 40\text{ Hz}\). - Ποια \(f_s\) θα διαλέγατε για ανακατασκευή και γιατί; - Αλλάζει κάτι για την δειγματοληψία αν μετατοπίσουμε το σήμα κατά \(\frac{\pi}{2}\);

2) Να βρείτε: \(\sum_{n=1}^{20} a^n x(n) \cdot \sum_{n=1}^{200} b^n x(n)\)

IMG_5340.jpg

3) Ποιες μέθοδοι σχεδίασης FIR φίλτρων υπάρχουν;

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2026-06

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Πίνακας 1

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Ερώτηση: \(x'(t) = 2\pi f e^{2\pi f t}\), Έχει \(f_s\); Αν ναι ποια είναι η \(f_{s\min}\);

Απάντηση: Στην εικόνα IMG20260630110544.jpg, η εκφώνηση είναι γραμμένη χειρόγραφα στον πίνακα ως \(x'(t) = 2\pi f e^{2\pi f t}\) (ή \(e^{j2\pi f t}\) όπου παραλείφθηκε το \(j\) από τον φοιτητή που αντέγραψε τα θέματα, όπως συζητήθηκε και στο Discord). Εξετάζονται και οι δύο περιπτώσεις:

  1. Αν πρόκειται για μιγαδικό εκθετικό \(x'(t) = 2\pi f e^{j 2\pi f t}\): Το σήμα \(x'(t)\) είναι καθαρός μιγαδικός τόνος συχνότητας \(f\) (γωνιακής συχνότητας \(\Omega = 2\pi f\)). Ο μετασχηματισμός Fourier του είναι κρουστικός: \(X'(\Omega) = 4\pi^2 f \, \delta(\Omega - 2\pi f)\), δηλαδή το σήμα έχει μέγιστη συχνότητα \(f_{\max} = f\) (περιορισμένου εύρους ζώνης - bandlimited). Συνεπώς, έχει συχνότητα δειγματοληψίας \(f_s\), και σύμφωνα με το θεώρημα δειγματοληψίας Nyquist-Shannon: $\(f_{s\min} = 2 f_{\max} = 2f\)$ (Για να επιτραπεί ανακατασκευή χωρίς αναδίπλωση απαιτείται \(f_s > 2f\), άρα η οριακή/κρίσιμη τιμή Nyquist είναι \(f_{s\min} = 2f\)). Σημείωση: Αν θεωρηθεί το αρχικό σήμα \(x(t) = e^{j 2\pi f t} + C\) (αφού δίνεται η παράγωγος \(x'(t)\)), έχει ακριβώς την ίδια μέγιστη συχνότητα \(f\), οπότε και πάλι \(f_{s\min} = 2f\).

  2. Αν ληφθεί κατά γράμμα ως πραγματικός εκθετικός \(x'(t) = 2\pi f e^{2\pi f t}\): Το σήμα δεν είναι περιορισμένης ενέργειας/περιορισμένου εύρους ζώνης (αποκλίνει για \(t \to +\infty\)), δεν διαθέτει μέγιστη συχνότητα αποκοπής και συνεπώς δεν έχει κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας \(f_s\) για ιδανική ανακατασκευή.

Πίνακας 2

Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε) · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Δίνεται η επιθυμητή απόκριση συχνότητας \(D(e^{j\omega})\) (ή \(H_d(e^{j\omega})\)) στο διάστημα \([-\pi, \pi]\): $\(D(e^{j\omega}) = \begin{cases} \cos\omega, & |\omega| \le \frac{\pi}{2} \\ 0, & \frac{\pi}{2} < |\omega| \le \pi \end{cases}\)$ και ζητείται η πραγματική απόκριση \(R(e^{j\omega})\) (ή τα δείγματα / οι συντελεστές) για φίλτρο FIR περιττού μήκους \(N = 13\) (τάξης \(M = N-1 = 12\), με καθυστέρηση \(\alpha = \frac{N-1}{2} = 6\)).

Με τη μέθοδο παραθύρου (Window Method) με ορθογώνιο παράθυρο (ή δειγματοληψίας συχνότητας): 1. Κρουστική απόκριση \(d(n)\) του ιδανικού φίλτρου: $\(d(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} D(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\omega \, e^{j\omega n} d\omega\)$ Χρησιμοποιώντας \(\cos\omega = \frac{e^{j\omega} + e^{-j\omega}}{2}\): $\(d(n) = \frac{1}{4\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( e^{j\omega(n+1)} + e^{j\omega(n-1)} \right) d\omega\)$ - Για \(n = 1\): \(d(1) = \frac{1}{4\pi} \left[ \frac{\sin(\pi)}{1} + \pi \right] = \frac{1}{4}\). - Για \(n = -1\): \(d(-1) = \frac{1}{4}\). - Για \(n \ne \pm 1\): $\(d(n) = \frac{1}{4\pi} \left[ \frac{e^{j\omega(n+1)}}{j(n+1)} + \frac{e^{j\omega(n-1)}}{j(n-1)} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{\sin\left((n+1)\frac{\pi}{2}\right)}{n+1} + \frac{\sin\left((n-1)\frac{\pi}{2}\right)}{n-1} \right]\)$ Επειδή \(\sin\left((n\pm 1)\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \pm \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pm \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\): $\(d(n) = \frac{\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{2\pi} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} \right) = -\frac{\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{\pi (n^2 - 1)}\)$ - Για \(n=0\): \(d(0) = \frac{1}{\pi}\). - Για περιττά \(n \ne \pm 1\): \(\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) = 0 \implies d(n) = 0\).

  1. Αιτιατό συμμετρικό φίλτρο μήκους \(N=13\): Καθυστερούμε κατά \(\alpha = 6\): $\(h(n) = d(n-6), \quad n = 0, 1, \dots, 12\)$ Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου είναι: $\(H(e^{j\omega}) = e^{-j 6\omega} R(e^{j\omega})\)$ όπου \(R(e^{j\omega})\) είναι η πραγματική συνάρτηση πλάτους (amplitude response): $\(R(e^{j\omega}) = d(0) + 2 \sum_{k=1}^{6} d(k) \cos(k\omega)\)$ Επειδή \(d(k) = 0\) για \(k = 3, 5\): $\(R(e^{j\omega}) = d(0) + 2 d(1)\cos(\omega) + 2 d(2)\cos(2\omega) + 2 d(4)\cos(4\omega) + 2 d(6)\cos(6\omega)\)$ Υπολογίζοντας τις τιμές:
  2. \(d(0) = \frac{1}{\pi}\)
  3. \(d(1) = \frac{1}{4}\)
  4. \(d(2) = -\frac{\cos(\pi)}{\pi(4-1)} = \frac{1}{3\pi}\)
  5. \(d(4) = -\frac{\cos(2\pi)}{\pi(16-1)} = -\frac{1}{15\pi}\)
  6. \(d(6) = -\frac{\cos(3\pi)}{\pi(36-1)} = \frac{1}{35\pi}\)

Συνεπώς: $\(R(e^{j\omega}) = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2}\cos(\omega) + \frac{2}{3\pi}\cos(2\omega) - \frac{2}{15\pi}\cos(4\omega) + \frac{2}{35\pi}\cos(6\omega)\)$

Πίνακας 3 (φίλτρο Wiener)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Το φίλτρο Wiener είναι το βέλτιστο γραμμικό φίλτρο (κατά ελάχιστο μέσο τετραγωνικό σφάλμα) που εκτιμά ένα επιθυμητό στοχαστικό σήμα \(d(n)\) από μια παρατήρηση \(x(n)\): ελαχιστοποιεί \(E\{|d(n)-\hat d(n)|^2\}\) με \(\hat d=\sum_kw_kx(n-k)\). - Συνθήκη ορθογωνιότητας ⇒ εξισώσεις Wiener–Hopf: για FIR μήκους \(M\), \(\mathbf R_x\mathbf w=\mathbf p\), με \(\mathbf R_x\) τον πίνακα αυτοσυσχέτισης της εισόδου και \(\mathbf p\) το διάνυσμα ετεροσυσχέτισης \(E\{d(n)x(n-k)\}\), άρα \(\mathbf w_{opt}=\mathbf R_x^{-1}\mathbf p\). - Για μη αιτιατό IIR, στο πεδίο συχνότητας: \(W(e^{j\omega})=\Phi_{dx}(\omega)/\Phi_{xx}(\omega)\). Για \(x=d+v\) με ασυσχέτιστο θόρυβο: \(W=\Phi_{dd}/(\Phi_{dd}+\Phi_{vv})\). - Ελάχιστο σφάλμα: \(J_{min}=\sigma_d^2-\mathbf p^T\mathbf R_x^{-1}\mathbf p\). Εφαρμογές: αποθορυβοποίηση, πρόβλεψη, εξισορρόπηση. (Γενική περιγραφή· ο ακριβής ορισμός/σημειογραφία του μαθήματος μπορεί να διαφέρει.)

Φακελάκι 1

Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε) · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Το σήμα δίνεται ως \(x'(t) = 2\pi f e^{2\pi f t}\) (ή πιθανώς \(x'(t) = j 2\pi f e^{j 2\pi f t}\), παράγωγος του \(e^{j 2\pi f t}\)): 1. Αν η έκφραση περιέχει πραγματικό εκθέτη (\(e^{2\pi f t}\) με \(f > 0\)), το σήμα απειρίζεται για \(t \to \infty\), δεν είναι σήμα πεπερασμένης ενέργειας ή ισχύος και δεν έχει μετασχηματισμό Fourier με τη συνήθη έννοια, συνεπώς δεν είναι σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης (bandlimited) και δεν ορίζεται συχνότητα δειγματοληψίας Nyquist. 2. Με βάση το πλαίσιο της Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων, πρόκειται προφανώς για μιγαδικό εκθετικό σήμα συχνότητας \(f_0 = f\), δηλαδή \(x(t) = e^{j 2\pi f t} \implies x'(t) = j 2\pi f e^{j 2\pi f t}\). - Το σήμα αυτό είναι μονοσυχνωτικό με μοναδική συχνότητα \(f_{\max} = f\) (ή γωνιακή συχνότητα \(\Omega_0 = 2\pi f\)). - Σύμφωνα με το θεώρημα δειγματοληψίας (Nyquist-Shannon), για να αποφευχθεί το φαινόμενο της επικάλυψης (aliasing), απαιτείται: $\(f_s \ge 2 f_{\max} = 2f\)$ - Επομένως, έχει ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας (Nyquist rate): $\(f_{s\text{min}} = 2f\)$ (Σημείωση: Επειδή είναι αναλυτικό/μιγαδικό σήμα μονής πλευράς, θεωρητικά επαρκεί \(f_s > f\), αλλά κατά τη συνήθη σύμβαση Nyquist για πραγματική ανακατασκευή θεωρείται \(f_{s\text{min}} = 2f\)).

Φακελάκι 2

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Ερώτηση: Να βρείτε: \(\sum_{n=1}^{20} a^n x(n) \cdot \sum_{n=1}^{200} b^n x(n)\)

Απάντηση: Στο «Φακελάκι», το ερώτημα 2 αποτελεί άμεση συνέχεια του ερωτήματος 1, όπου ορίστηκε το αναλογικό σήμα \(x(t) = \cos(20\pi t)\) (συχνότητας \(f_0 = 10\,\text{Hz}\)) και εξετάστηκαν οι δειγματοληψίες με \(f_{s_1}=20\,\text{Hz}\), \(f_{s_2}=10\,\text{Hz}\), \(f_{s_3}=40\,\text{Hz}\). Το ψηφιακό σήμα \(x(n) = x(n T_s) = \cos(20\pi n / f_s)\) για καθεμία από τις 3 συχνότητες δειγματοληψίας είναι:

  1. Για \(f_{s_1} = 20\,\text{Hz}\) (κρίσιμη δειγματοληψία): $\(x(n) = \cos(\pi n) = (-1)^n\)$ Τότε τα αθροίσματα γίνονται γεωμετρικές πρόοδοι με λόγο \((-a)\) και \((-b)\): $\(\sum_{n=1}^{20} a^n (-1)^n = \sum_{n=1}^{20} (-a)^n = \frac{-a [1 - (-a)^{20}]}{1 - (-a)} = \frac{-a (1 - a^{20})}{1 + a}\)$ $\(\sum_{n=1}^{200} b^n (-1)^n = \sum_{n=1}^{200} (-b)^n = \frac{-b [1 - (-b)^{200}]}{1 - (-b)} = \frac{-b (1 - b^{200})}{1 + b}\)$ Άρα το γινόμενο είναι: $\(\left(\sum_{n=1}^{20} a^n x(n)\right) \cdot \left(\sum_{n=1}^{200} b^n x(n)\right) = \frac{a b (1 - a^{20})(1 - b^{200})}{(1 + a)(1 + b)}\)$

  2. Για \(f_{s_2} = 10\,\text{Hz}\) (υποδειγματοληψία με πλήρη αναδίπλωση σε DC): $\(x(n) = \cos(2\pi n) = 1, \quad \forall n\)$ Τότε τα αθροίσματα είναι: $\(\sum_{n=1}^{20} a^n = \frac{a (1 - a^{20})}{1 - a}, \qquad \sum_{n=1}^{200} b^n = \frac{b (1 - b^{200})}{1 - b}\)$ Άρα το γινόμενο είναι: $\(\left(\sum_{n=1}^{20} a^n x(n)\right) \cdot \left(\sum_{n=1}^{200} b^n x(n)\right) = \frac{a b (1 - a^{20})(1 - b^{200})}{(1 - a)(1 - b)}\)$

  3. Για \(f_{s_3} = 40\,\text{Hz}\) (υπερδειγματοληψία): $\(x(n) = \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right)\)$ Η ακολουθία είναι 4-περιοδική: \(x(1)=0, x(2)=-1, x(3)=0, x(4)=1\), δηλαδή \(x(2k) = (-1)^k\) και \(x(2k-1) = 0\). Τότε διατηρούνται μόνο οι άρτιοι όροι (\(n = 2k\)): $\(\sum_{n=1}^{20} a^n x(n) = \sum_{k=1}^{10} a^{2k} (-1)^k = \sum_{k=1}^{10} (-a^2)^k = \frac{-a^2 [1 - (-a^2)^{10}]}{1 - (-a^2)} = \frac{-a^2 (1 - a^{20})}{1 + a^2}\)$ $\(\sum_{n=1}^{200} b^n x(n) = \sum_{k=1}^{100} b^{2k} (-1)^k = \sum_{k=1}^{100} (-b^2)^k = \frac{-b^2 [1 - (-b^2)^{100}]}{1 - (-b^2)} = \frac{-b^2 (1 - b^{200})}{1 + b^2}\)$ Άρα το γινόμενο είναι: $\(\left(\sum_{n=1}^{20} a^n x(n)\right) \cdot \left(\sum_{n=1}^{200} b^n x(n)\right) = \frac{a^2 b^2 (1 - a^{20})(1 - b^{200})}{(1 + a^2)(1 + b^2)}\)$

IMG_5340 – Θέμα 3 (μέθοδοι σχεδίασης FIR)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Μέθοδοι σχεδίασης FIR φίλτρων (όπως τις καλύπτει το μάθημα): 1. Σειρές Fourier (ελάχιστα τετράγωνα, κόψιμο της ιδανικής \(h_n\)): ελάχιστο μέσο τετραγωνικό σφάλμα, αλλά φαινόμενο Gibbs. 2. Παραθύρωση (ορθογώνιο, Hamming, Hann, Blackman, Kaiser): πολλαπλασιασμός της ιδανικής \(h_n\) με παράθυρο· μειώνει τους πλευρικούς λοβούς με κόστος μεγαλύτερη ζώνη μετάβασης. 3. Σταθμισμένα ελάχιστα τετράγωνα / με περιοχές αδιαφορίας (ζώνες μετάβασης): ελαχιστοποίηση σταθμισμένου σφάλματος μόνο στις ζώνες ενδιαφέροντος. 4. Min–max (Chebyshev), αλγόριθμος Remez / Parks–McClellan: ισοκυματικό σφάλμα, βέλτιστο με την έννοια του ελαχιστομέγιστου (θεώρημα εναλλαγής). 5. Δειγματοληψία στη συχνότητα (frequency sampling), αν καλύπτεται από τις σημειώσεις. Η ακριβής λίστα που ζητά ο εξεταστής δεν είναι γνωστή, γι' αυτό η εμπιστοσύνη είναι μέτρια.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή