Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Ιούνιος 2022¶
Η μεταγραφή προέρχεται από τη φωτογραφία IMG_0640.jpg.
IMG_0640.jpg¶
Δίνεται
1) \(x(n) = \dfrac{1}{2^n} \cdot u(n)\). Να βρεθεί η ενέργεια
[Σχήμα: πλαίσιο γύρω από το 1/2^n και βέλος από την ερώτηση 2) προς αυτό το πλαίσιο]
2) ΜΠΟΡΩ ΝΑ ΟΡΙΣΩ ΔΜF ?
3) Δίνεται:
- Εάν [δυσανάγνωστο]
- Ελάχιστη \(f_s\) (δειγματοληψίας) [δυσανάγνωστο]
4) Τι [δυσανάγνωστο] η \(D(e^{j\omega})\) είναι περιττής [δυσανάγνωστο]
5) Ποια θα ήταν η \(H(e^{j\omega})\) που θα χρησιμοποιούσατε αν το φίλτρο σας είναι FIR μήκους \(M = 2N+1\) ?
6) \(X(t, \theta) = A(t, \theta) \sin\left(\Omega_0 t + \dfrac{\pi}{5}\right)\)
Εάν \(A(\cdot) \to U\left(t - \dfrac{1}{2}, t + \dfrac{1}{2}\right)\).
\(\Rightarrow\) Ποια η \(\mu_x(t)\) και σχεδιάστε την.
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2022-06¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1 (ενέργεια)¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(E=\sum_{n=0}^{\infty}x^2(n)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac14\right)^n=\dfrac{1}{1-1/4}=\dfrac43\) (ελέγχθηκε αριθμητικά).
Απάντηση: \(E=4/3\).
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Στην εικόνα IMG_0640.jpg, η ερώτηση 2 συνδέεται με βέλος απευθείας με το σήμα \(x(n) = \frac{1}{2^n} u(n) = \left(\frac{1}{2}\right)^n u(n)\) της ερώτησης 1 και ρωτά «ΜΠΟΡΩ ΝΑ ΟΡΙΣΩ \(\Delta\text{M}\Phi\);».
-
Αν εννοείται ο Διακριτού Χρόνου Μετασχηματισμός Fourier (DTFT / \(\Delta\text{X}\text{M}\Phi\)):
Ναι, μπορούμε.
Το σήμα \(x(n) = \left(\frac{1}{2}\right)^n u(n)\) είναι απολύτως αθροίσιμο: $\(\sum_{n=-\infty}^\infty |x(n)| = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - 1/2} = 2 < \infty\)$ Επομένως ο DTFT συγκλίνει ομοιόμορφα και ορίζεται κανονικά: $\(X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n e^{-j\omega n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2} e^{-j\omega}}\)$ -
Αν εννοείται ο Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT / \(\Delta\text{M}\Phi\)):
Όχι άμεσα.
Ο DFT ορίζεται μόνο για σήματα πεπερασμένης διάρκειας \(N\) δειγμάτων (ή περιοδικά). Επειδή το \(x(n)\) έχει άπειρη χρονική διάρκεια (\(n \ge 0\)), δεν ορίζεται απευθείας DFT, εκτός εάν προηγηθεί αποκοπή/παραθύρωση (windowing/truncation) σε πεπερασμένο μήκος \(N\).
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Στην εικόνα IMG_0640.jpg, η εκφώνηση διαβάζεται καθαρά:
$\(\text{Δίνεται: } x(t) = \sum_{k=1}^3 C_k \cdot e^{j k \Omega_0 t}\)$
Ζητείται η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας \(f_s\) (\(\delta\epsilon\iota\gamma\mu\alpha\tau. \sigma\upsilon\chi\nu.\)).
Το αναλογικό σήμα \(x(t)\) αποτελείται από μιγαδικές εκθετικές συνιστώσες με κυκλικές συχνότητες \(\Omega_k = k \Omega_0\) για \(k = 1, 2, 3\).
Η μέγιστη συχνότητα του σήματος είναι:
$\(\Omega_{\max} = 3 \Omega_0 \implies f_{\max} = \frac{\Omega_{\max}}{2\pi} = \frac{3 \Omega_0}{2\pi}\)$
Σύμφωνα με το θεώρημα δειγματοληψίας Nyquist-Shannon, για την αποφυγή επικάλυψης φάσματος (aliasing), η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας (Nyquist rate) είναι: $\(f_{s,\min} = 2 f_{\max} = 2 \cdot \frac{3 \Omega_0}{2\pi} = \frac{3 \Omega_0}{\pi}\)$ (ισοδύναμα, \(\Omega_{s,\min} = 2 \Omega_{\max} = 6 \Omega_0\), ή \(f_{s,\min} = 6 f_0\) όπου \(f_0 = \frac{\Omega_0}{2\pi}\)).
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Στην εικόνα IMG_0640.jpg, το κείμενο αναγράφει:
«Τι σημαίνει η \(D(e^{j\omega})\) είναι περιττής συμμετρίας».
Στη σχεδίαση ψηφιακών φίλτρων FIR, η \(D(e^{j\omega})\) παριστάνει την επιθυμητή απόκριση συχνότητας (Desired Frequency Response) του ιδανικού φίλτρου. «Περιττής συμμετρίας» (odd symmetry / anti-symmetry) σημαίνει ότι: $\(D(e^{-j\omega}) = - D(e^{j\omega})\)$ δηλαδή είναι περιττή συνάρτηση της κυκλικής συχνότητας \(\omega\).
Αυτό συνεπάγεται ότι: 1. Στο πεδίο των συχνοτήτων, για πραγματικά φίλτρα (όπως ιδανικοί διαφοριστές \(D(e^{j\omega}) = j\omega\) ή μετασχηματιστές Hilbert), η απόκριση είναι καθαρά φανταστική και περιττή: \(D(e^{j\omega}) = j A(\omega)\), με \(A(-\omega) = -A(\omega)\). 2. Στο πεδίο του χρόνου, η αντίστοιχη ιδανική κρουστική απόκριση \(h_d(n)\) που προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier: $\(h_d(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi D(e^{j\omega}) e^{j\omega n} \, d\omega\)$ είναι περιττή (αντισυμμετρική) γύρω από το \(n = 0\): $\(h_d(-n) = -h_d(n) \quad \text{και} \quad h_d(0) = 0\)$
Θέμα 5¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Στην εικόνα IMG_0640.jpg, το κείμενο αναγράφει:
«Ποια θα ήταν η \(H(e^{j\omega})\) που θα χρησιμοποιούσατε αν το φίλτρο σας είναι FIR μήκους \(M=2N+1\) ;» (σε συνέχεια του Θέματος 4 με περιττή συμμετρία).
Για αιτιατό φίλτρο FIR περιττού μήκους \(M = 2N+1\) με καθυστέρηση ομάδας \(\alpha = \frac{M-1}{2} = N\) δείγματα και περιττή συμμετρία (αντισυμμετρική κρουστική απόκριση \(h(n) = -h(2N-n)\), φίλτρο Τύπου III): 1. Σε σχέση με την επιθυμητή απόκριση \(D(e^{j\omega})\), η απόκριση συχνότητας του φίλτρου εισάγει γραμμική καθυστέρηση φάσης \(e^{-j\omega N}\): $\(H(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega}) e^{-j\omega N} = D(e^{j\omega}) e^{-j\omega \frac{M-1}{2}}\)$ 2. Εκφρασμένη μέσω της πραγματικής συνάρτησης πλάτους \(R(e^{j\omega})\) (amplitude response): $\(H(e^{j\omega}) = e^{-j\omega N} e^{j\pi/2} R(e^{j\omega}) = j e^{-j\omega N} R(e^{j\omega})\)$ όπου η \(R(e^{j\omega})\) για φίλτρο μήκους \(2N+1\) με περιττή συμμετρία αποτελείται από ημιτονοειδείς όρους: $\(R(e^{j\omega}) = \sum_{n=1}^N \alpha_n \sin(n\omega)\)$ με \(\alpha_n = 2 h(N-n)\) και \(h(N) = 0\).
Θέμα 6¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Παραδοχή: \(A(t,\theta)\) ομοιόμορφη στο \((t-\tfrac12,t+\tfrac12)\), άρα \(E\{A\}=t\) (μέσος = κέντρο του διαστήματος). Τότε $\(\mu_x(t)=E\{A\}\sin\!\left(\Omega_0t+\tfrac\pi5\right)=t\,\sin\!\left(\Omega_0t+\tfrac\pi5\right).\)$ Σχεδίαση: ημιτονοειδής ταλάντωση με γραμμικά αυξανόμενο πλάτος (περιβάλλουσα οι ευθείες \(\pm t\), που περνούν από την αρχή), μηδενισμοί στο \(t=0\) και στα \(t_k=(k\pi-\pi/5)/\Omega_0\), περίοδος \(2\pi/\Omega_0\). Η \(\mu_x(t)\) εξαρτάται από το \(t\), άρα η διαδικασία δεν είναι στάσιμη 1ης τάξης. Η εμπιστοσύνη είναι μέτρια λόγω αβέβαιης ανάγνωσης της κατανομής του \(A\).