Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Χωρίς ημερομηνία (φωτογραφίες simata2_exams)¶

Η μεταγραφή προέρχεται από τις φωτογραφίες του φακέλου simata2_exams (η λίστα πηγών βρίσκεται στα μεταδεδομένα).

107889040_.jpg¶

Υποθέστε ότι το σήμα συνεχούς χρόνου

\[x(t) = 2 \cos(52500\pi t)\]

δειγματοληπτείται με 1650 Hz και στη συνέχεια ανακατασκευάζεται με 1650 Hz. Ποιά από τις παρακάτω θα είναι η συχνότητα του ανακατασκευασμένου σήματος;

[ ] 52,5 Hz
[ ] 26,5 Hz
[ ] 0 Hz
[ ] 300 Hz

107931861_730632.jpg¶

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[R(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega})$$ $$\phi(\omega) = -k\omega\]

και $y_0(n)$, $y(n)$ οι έξοδοι του ιδανικού και του πραγματικού συστήματος αντίστοιχα για είσοδο $x(n)$. Ποιά η σχέση που συνδέει τις $y_0(n)$ και $y(n)$;

[ ] $y(n) = y_0(n - k)$
[ ] $y(n) = y_0(n + k)$
[ ] $y(n) = \frac{y_0(n - k) + y_0(n + k)}{2}$
[ ] $y(n) = y_0(n)$

107938673.jpg¶

Ερώτηση 3 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Έχετε στη διάθεσή σας τον DTFT $X(e^{j\omega})$ μιας ακολουθίας μήκους $N$. Από ποιά σχέση θα υπολογίζατε τον DFT της ακολουθίας;

[ ] $X(k) = \left.X(e^{j\omega_k})\right|_{\omega_k = \frac{2k\pi}{N}} \quad k = 0, 1, \dots, N-1$
[ ] $X(k) = \left.X(e^{j\omega_k})\right|_{\omega_k = \frac{2k\pi}{N}} \quad k = 0, 1, \dots, N$
[ ] $X(k) = \left.X(e^{j\omega_k})\right|_{\omega_k = \frac{k\pi}{N}} \quad k = 0, 1, \dots, N$
[ ] $X(k) = \left.X(e^{j\omega_k})\right|_{\omega_k = \frac{k\pi}{N}} \quad k = 0, 1, \dots, N-1$

108135026_.jpg¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[\mathcal{X}(t, \theta) = \mathcal{A}(\theta) \sin(\Omega_0 t) + \mathcal{B}(\theta) \sin(\Omega_1 t)\]

όπου $\mathcal{A}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την ομοιόμορφη στο $[-1, 1]$ και $\mathcal{B}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την ομοιόμορφη στο $[-2, 2]$. Αν οι τυχαίες μεταβλητές είναι στατιστικά ανεξάρτητες η διαδικασία $\mathcal{X}(t, \theta)$ είναι:

[ ] Αυστηρώς στάσιμη 1ης τάξης
[ ] Ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης
[ ] Ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης
[ ] Εργοδική 1ης τάξης
[ ] Τίποτα από τα υπόλοιπα

108169872_330351.jpg¶

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν στη συνάρτηση μεταφοράς ενός κατωπερατού κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth N-οστής τάξης αντικαταστήσουμε τη μιγαδική μεταβλητή $s$ με $s/5\pi$ τι φίλτρο προκύπτει;

[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c > 1$
[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c > 1$
[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c < 1$
[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c < 1$

108190154.png¶

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν στη συνάρτηση μεταφοράς ενός κατωπερατού κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth N-οστής τάξης αντικαταστήσουμε τη μιγαδική μεταβλητή $s$ με $s/5\pi$ τι φίλτρο προκύπτει;

[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c > 1$
[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c > 1$
[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c < 1$
[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c < 1$

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν στη συνάρτηση μεταφοράς ενός κατωπερατού κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth N-οστής τάξης αντικαταστήσουμε τη μιγαδική μεταβλητή $s$ με $\frac{5\pi}{s}$ τι φίλτρο προκύπτει;

[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c < 1$
[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c > 1$
[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c < 1$
[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c > 1$

108190673.png¶

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Η συνάρτηση σφάλματος $E(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega}) - R(e^{j\omega})$ που προέκυψε από την βέλτιστη, με την έννοια του ελαχιστομέγιστου, σχεδίαση ενός FIR φίλτρου περιττού μήκους, όπου $D(e^{j\omega})$ η απόκριση συχνότητας του ιδανικού συστήματος και $R(e^{j\omega})$ η απόκριση πλάτους του φίλτρου με το οποίο το προσεγγίζουμε έχει την παρακάτω μορφή στο διάστημα $[0, \pi]$. Ποιό είναι το μέγιστο δυνατό μήκος του βέλτιστου φίλτρου;

[Σχήμα: Γράφημα της συνάρτησης σφάλματος $E(e^{j\omega})$ ως προς $\omega$ στο διάστημα $[0, \pi]$, με ταλαντούμενη μορφή μεταξύ $-1$ και $1$ και οριζόντια γραμμή στο $0$.]

[ ] 7
[ ] 11
[ ] 13
[ ] 9

1082190154.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Θεωρήστε ότι για ένα FIR φίλτρο περιττού μήκους ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

\[\eta\ R'(e^{j\omega})\ \text{είναι περιττή}\]

και

\[\text{είναι γραμμικής φάσης.}\]

Τι είδους συμμετρία έχει η κρουστική του απόκριση;

[ ] Άρτια
[ ] Περιττή
[ ] Δεν μπορούμε να απαντήσουμε

109070293_.jpg¶

Ερώτηση 2 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι το σήμα συνεχούς χρόνου

\[x(t) = 2 \cos(52500\pi t)\]

δειγματοληπτείται με 1650 Hz και στη συνέχεια ανακατασκευάζεται με 1650 Hz. Ποιά από τις παρακάτω θα είναι η συχνότητα του ανακατασκευασμένου σήματος;

[ ] 52,5 Hz
[ ] 26,5 Hz
[ ] 0 Hz
[ ] 300 Hz

1091070.jpg¶

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[R(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega})$$ $$\phi(\omega) = -k\omega\]

και $y_0(n)$, $y(n)$ οι έξοδοι του ιδανικού και του πραγματικού συστήματος αντίστοιχα για είσοδο $x(n)$. Ποιά η σχέση που συνδέει τις $y_0(n)$ και $y(n)$;

[ ] $y(n) = y_0(n - k)$
[ ] $y(n) = y_0(n + k)$
[ ] $y(n) = \frac{y_0(n - k) + y_0(n + k)}{2}$
[ ] $y(n) = y_0(n)$

109115244.jpg¶

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι θέλετε να προσεγγίσετε ένα κατωπερατό φίλτρο με ένα FIR φίλτρο μήκους $4N - 1$ χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Remez. Σε πόσες κατ'ελάχιστον συχνότητες στο διάστημα $[0, \pi]$ θα εμφανίζει η συνάρτηση σφάλματος ακρότατα με εναλλασσόμενο πρόσημο;

[ ] $2N + 2$
[ ] $N + 2$
[ ] $2N + 1$
[ ] $4N$

109687385_71.jpg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Θεωρήστε ότι θέλετε να προσεγγίσετε με ένα FIR φίλτρο μήκους $4N + 1$ ένα ιδανικό ΓΧΑ σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας έχει άρτια συμμετρία. Ποιά από τις παρακάτω $R(e^{j\omega})$ θα χρησιμοποιούσατε;

[ ] $R(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{N} a_n \cos(n\omega)$
[ ] $R(e^{j\omega}) \sum_{n=0}^{2N} a_n \cos(n\omega)$
[ ] $R(e^{j\omega}) \sum_{n=1}^{N} a_n \sin(n\omega)$
[ ] $R(e^{j\omega}) \sum_{n=0}^{2N} a_n \sin(n\omega)$

109804998_101.jpg¶

Ερώτηση 2 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν $\mathcal{X}(t, \mathcal{A}(\theta)) = \mathcal{A}(\theta)t + 2$, όπου $\mathcal{A}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας $N(1, 2)$. Ποιά η μέση τιμή ($\mu$) και η διασπορά ($\sigma^2$) της διαδικασίας;

[ ] $\mu = 1$ και $\sigma^2 = 2t^2 - 2t + 1$
[ ] $\mu = t + 2$ και $\sigma^2 = 2t^2 - 2t + 1$
[ ] $\mu = 1$ και $\sigma^2 = 2t^2$
[ ] $\mu = t + 2$ και $\sigma^2 = 2t^2$

123213231.png¶

Θεωρήστε ότι στην είσοδο ενός πραγματικού, αιτιατού FIR φίλτρου μήκους $4N + 1$ οδηγείτε λευκό θόρυβο μέσης ισχύος $\sigma_w^2$. Ποιά η μέση ισχύς της εξόδου;

[ ] $\sigma_w^2 \sum_{n=0}^{4N} h_n^2$
[ ] $\sigma_w^2 |H(1)|^2$
[ ] $(2N + 1)\sigma_w^2$
[ ] $(N + 1)\sigma_w^2$

123`33.png¶

Θεωρήστε ότι θέλετε να προσεγγίσετε με ένα FIR φίλτρο μήκους $4N + 1$ ένα ιδανικό ΓΧΑ σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας έχει άρτια συμμετρία. Ποιά από τις παρακάτω $R(e^{j\omega})$ θα χρησιμοποιούσατε;

[ ] $R(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{N} a_n \cos(n\omega)$
[ ] $R(e^{j\omega}) \sum_{n=0}^{2N} a_n \cos(n\omega)$
[ ] $R(e^{j\omega}) \sum_{n=1}^{N} a_n \sin(n\omega)$
[ ] $R(e^{j\omega}) \sum_{n=0}^{2N} a_n \sin(n\omega)$

213123213.png¶

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Η συνάρτηση σφάλματος $E(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega}) - R(e^{j\omega})$ που προέκυψε από την βέλτιστη, με την έννοια του ελαχιστομέγιστου, σχεδίαση ενός FIR φίλτρου περιττού μήκους, όπου $D(e^{j\omega})$ η απόκριση συχνότητας του ιδανικού συστήματος και $R(e^{j\omega})$ η απόκριση πλάτους του φίλτρου με το οποίο το προσεγγίζουμε έχει την παρακάτω μορφή στο διάστημα $[0, \pi]$. Ποιό είναι το μέγιστο δυνατό μήκος του βέλτιστου φίλτρου;

[Σχήμα: Γράφημα της συνάρτησης σφάλματος $E(e^{j\omega})$ ως προς $\omega$ στο διάστημα $[0, \pi]$, με ταλαντούμενη μορφή μεταξύ $-1$ και $1$ και οριζόντια γραμμή στο $0$.]

[ ] 7
[ ] 11
[ ] 13
[ ] 9 [συμπληρώθηκε από 108190673.png]

213213.png¶

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Θεωρήστε ότι θέλετε να προσεγγίσετε με ένα FIR φίλτρο μήκους $2N + 1$ ένα ιδανικό ΓΧΑ σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας έχει περιττή συμμετρία. Ποιά από τις παρακάτω $R(e^{j\omega})$ θα χρησιμοποιούσατε;

[ ] $R(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{N} a_n \cos(n\omega)$
[ ] $R(e^{j\omega}) \sum_{n=0}^{2N} a_n \cos(n\omega)$
[ ] $R(e^{j\omega}) \sum_{n=1}^{N} a_n \sin(n\omega)$
[ ] $R(e^{j\omega}) \sum_{n=0}^{2N} a_n \sin(n\omega)$

213213213213.png¶

Ερώτηση 2 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν το ακόλουθο σήμα συνεχούς χρόνου

\[x(t) = 2\pi \cos(100\pi t) + 10 \sin(100\pi t)\]

δειγματοληπτηθεί με συχνότητα $f_s = 1KHz$, το σήμα που θα προκύψει είναι:

[ ] Περιοδικό με περίοδο $N = 20$ δείγματα
[ ] Μη περιοδικό
[ ] Περιοδικό με περίοδο $N = 40$ δείγματα
[ ] Περιοδικό με περίοδο $N = 10$ δείγματα

213213231.png¶

Υποθέστε ότι η ακολουθία $x(n)$, $n = -N, -(N-1), \dots, -1, 0, 1, \dots, (N-1), N$ είναι άρτια. Από ποιά από τις παρακάτω σχέσεις θα δίνεται ο DFT της ακολουθίας;

[ ] $X(k) = x(0) + 2 \sum_{n=1}^{N} x(n) \cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$
[ ] $X(k) = 2 \sum_{n=0}^{N} x(n) \cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$
[ ] $X(k) = x(0) + 2 \sum_{n=1}^{N} x(n) \cos\left(\frac{2\pi nk}{N}\right)$
[ ] $X(k) = 2 \sum_{n=1}^{N} x(n) \cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$

21323`23.png¶

Ερώτηση 3 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν $\mathcal{X}(t, \theta) = \mathcal{A}(\theta) \sin(\Omega_0 t) + \mathcal{B}(\theta) \sin(\Omega_1 t)$ όπου $\mathcal{A}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Γκαουσιανή $N(0, 4)$ και $\mathcal{B}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ομοιόμορφη στο $[-1, 1]$. Η διαδικασία $\mathcal{X}(t, \theta)$ είναι:

[ ] Ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης
[ ] Τίποτα από τα υπόλοιπα
[ ] Εργοδική 1ης τάξης
[ ] Ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης
[ ] Αυστηρώς στάσιμη 1ης τάξης

213321.png¶

Αν $\mathcal{X}(t, \theta) = \mathcal{A}(\theta) \sin(\Omega_0 t) + \mathcal{B}(\theta) \sin(\Omega_1 t)$ όπου $\mathcal{A}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Γκαουσιανή $N(0, 4)$ και $\mathcal{B}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ομοιόμορφη στο $[-1, 1]$. Η διαδικασία $\mathcal{X}(t, \theta)$ είναι:

[ ] Ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης
[ ] Τίποτα από τα υπόλοιπα
[ ] Εργοδική 1ης τάξης
[ ] Ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης
[ ] Αυστηρώς στάσιμη 1ης τάξης

213`2321.png¶

Αν $\mathcal{X}(t, \theta) = \mathcal{A}(\theta) \sin(\Omega_0 t) + \mathcal{B}(\theta) \sin(\Omega_1 t)$ όπου $\mathcal{A}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Γκαουσιανή $N(0, 4)$ και $\mathcal{B}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ομοιόμορφη στο $[0, 1]$. Η διαδικασία $\mathcal{X}(t, \theta)$ είναι:

[ ] Ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης
[ ] Εργοδική 1ης τάξης
[ ] Αυστηρώς στάσιμη 1ης τάξης
[ ] Ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης
[ ] Τίποτα από τα υπόλοιπα

23231332.png¶

Η συνάρτηση σφάλματος $E(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega}) - R(e^{j\omega})$ που προέκυψε από την βέλτιστη, με την έννοια του ελαχιστομέγιστου, σχεδίαση ενός FIR φίλτρου περιττού μήκους, όπου $D(e^{j\omega})$ η απόκριση συχνότητας του ιδανικού συστήματος και $R(e^{j\omega})$ η απόκριση πλάτους του φίλτρου με το οποίο το προσεγγίζουμε έχει την παρακάτω μορφή στο διάστημα $[0, \pi]$. Ποιό είναι το μέγιστο δυνατό μήκος του βέλτιστου φίλτρου;

[Σχήμα: Διάγραμμα της συνάρτησης σφάλματος E(exp(jΩ)) συναρτήσει του Ω στο διάστημα [0, π]]

[ ] 9
[ ] 13
[ ] 11
[ ] 8

3443432421.png¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι η ακολουθία $x(n)$, $n = -N, \dots, N$, είναι περιττής συμμετρίας. Από ποιά από τις παρακάτω σχέσεις θα δίνεται ο DFT της ακολουθίας;

[ ] $X(k) = 2j \sum_{n=1}^{N} x(n) \sin(\frac{2\pi nk}{2N+1})$
[ ] $X(k) = x(0) + 2j \sum_{n=1}^{N} x(n) \sin(\frac{2\pi nk}{2N+1})$
[ ] $X(k) = 2 \sum_{n=1}^{N} x(n) \cos(\frac{2\pi nk}{2N+1})$
[ ] $X(k) = 2 \sum_{n=1}^{N} x(n) \sin(\frac{2\pi nk}{2N+1})$

44122.png¶

Ερώτηση 3 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι η ακολουθία $x(n)$, $n = -N, -(N-1), \dots, -1, 0, 1, \dots, (N-1), N$ είναι άρτια. Από ποιά από τις παρακάτω σχέσεις θα δίνεται ο DFT της ακολουθίας;

[ ] $X(k) = x(0) + 2 \sum_{n=1}^{N} x(n) \cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$
[ ] $X(k) = 2 \sum_{n=0}^{N} x(n) \cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$
[ ] $X(k) = x(0) + 2 \sum_{n=1}^{N} x(n) \cos\left(\frac{2\pi nk}{N}\right)$
[ ] $X(k) = 2 \sum_{n=1}^{N} x(n) \cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$

Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις → 2021.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας): 11.PNG, Screenshot_3.png

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2021¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

107889040_.jpg / 109070293_.jpg (ανακατασκευή 2cos(52500πt))¶

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Επιλογή: 300 Hz (ως η επιλεγμένη απάντηση της εξέτασης, βάσει σφάλματος του θεματοθέτη) / Θεωρητικά ορθό: 150 Hz

Αιτιολόγηση: Η εκφώνηση δίνει $x(t) = 2 \cos(52500\pi t)$ με δειγματοληψία και ανακατασκευή στα $f_s = f_{\text{rec}} = 1650\,\text{Hz}$. 1. Μαθηματικά ορθή επίλυση: Η κυκλική συχνότητα είναι $\Omega = 52500\pi\,\text{rad/s}$, άρα η πραγματική συχνότητα είναι $f_0 = \frac{\Omega}{2\pi} = \frac{52500}{2} = 26250\,\text{Hz}$. Επειδή $f_0 > f_s / 2 = 825\,\text{Hz}$, έχουμε αναδίπλωση (aliasing): $$\frac{f_0}{f_s} = \frac{26250}{1650} = 15.90909...$$ $26250 - 15 \times 1650 = 26250 - 24750 = 1500\,\text{Hz}$. Η αναδιπλωμένη συχνότητα στη βασική ζώνη $[0, f_s/2] = [0, 825\,\text{Hz}]$ είναι: $$f_{\text{alias}} = |26250 - 16 \times 1650| = |26250 - 26400| = 150\,\text{Hz}$$ Κατά την ανακατασκευή με $f_{\text{rec}} = 1650\,\text{Hz}$, η συχνότητα του αναλογικού σήματος είναι κανονικά $150\,\text{Hz}$. 2. Γιατί υπάρχει στις επιλογές το $300\,\text{Hz}$: Ο θεματοθέτης αντιμετώπισε το όρισμα ως $f = 52500\,\text{Hz}$ (παραλείποντας τη διαίρεση με το $2$): $$|52500 - 32 \times 1650| = |52500 - 52800| = 300\,\text{Hz}$$ ή $52500 - 31 \times 1650 = 1350\,\text{Hz} \implies 1650 - 1350 = 300\,\text{Hz}$. Καθώς το $150\,\text{Hz}$ απουσιάζει εντελώς από τις επιλογές ($52{,}5\,\text{Hz}$, $26{,}5\,\text{Hz}$, $0\,\text{Hz}$, $300\,\text{Hz}$), η αναμενόμενη επιλογή του συστήματος είναι το 300 Hz.

107931861_730632.jpg / 1091070.jpg – Ερώτηση 2¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Σύμβαση: $H(e^{j\omega})=R(e^{j\omega})\,e^{j\phi(\omega)}$, με $R$ την (πραγματική) απόκριση πλάτους και ιδανικό σύστημα μηδενικής φάσης $H_0=D$. Με $R=D$ και $\phi(\omega)=-k\omega$: $H=D\,e^{-jk\omega}=H_0\,e^{-jk\omega}$, άρα $Y=Y_0e^{-jk\omega}$ και η ιδιότητα καθυστέρησης του DTFT δίνει $y(n)=y_0(n-k)$.

Απάντηση: $y(n)=y_0(n-k)$ (η πρώτη επιλογή).

107938673.jpg – Ερώτηση 3/3¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Ο DFT μήκους $N$ είναι τα $N$ ισαπέχοντα δείγματα του DTFT στον μοναδιαίο κύκλο: $\omega_k=2\pi k/N$, $k=0..N-1$ (το $k=N$ επαναλαμβάνει το $k=0$, και τα $k\pi/N$ δεν δίνουν τον DFT).

Απάντηση: η πρώτη επιλογή.

108135026_.jpg – Ερώτηση 1/3 (U[-1,1], U[-2,2] ανεξάρτητες)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

$X(t,\theta)=A\sin\Omega_0t+B\sin\Omega_1t$ με $E\{A\}=E\{B\}=0$ ⇒ $\mu_x(t)=0$ (σταθερή): ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης. Αυτοσυσχέτιση (ανεξάρτητες, μηδενικής μέσης τιμής): $r(t_1,t_2)=E\{A^2\}\sin\Omega_0t_1\sin\Omega_0t_2+E\{B^2\}\sin\Omega_1t_1\sin\Omega_1t_2$ με $E\{A^2\}=\tfrac13$, $E\{B^2\}=\tfrac43$. Δεν εξαρτάται μόνο από το $t_1-t_2$ (π.χ. $r(t,t)=\tfrac13\sin^2\Omega_0t+\tfrac43\sin^2\Omega_1t$ μεταβάλλεται με το $t$), άρα όχι ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης. Δεν είναι αυστηρώς στάσιμη 1ης τάξης: η κατανομή του $X(t)$ αλλάζει με το $t$ (π.χ. όπου $\sin\Omega_0t=0$ είναι ομοιόμορφη, αλλού συνέλιξη δύο ομοιόμορφων). Παρατήρηση: το χρονικό μέσο κάθε υλοποίησης είναι 0 = $\mu_x$, οπότε κατά μία έννοια ισχύει και εργοδικότητα ως προς τη μέση τιμή· η εκφώνηση έχει ουσιαστικά δύο αληθείς επιλογές. Επιλέγω τη στασιμότητα 1ης τάξης ως προσδοκώμενη (αυτό είναι εικασία για την προσδοκία).

Απάντηση: ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης.

108169872_330351.jpg / 108190154.png – Ερώτηση 3 (s/5π)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Κανονικοποιημένο κατωπερατό Butterworth: $|H(j\Omega)|^2=\dfrac{1}{1+\Omega^{2N}}$, συχνότητα ημίσειας ισχύος $\Omega=1$. Με $s\to s/5\pi$: $|H|^2=\dfrac{1}{1+(\Omega/5\pi)^{2N}}$, κατωπερατό με $\Omega_c=5\pi>1$.

Απάντηση: Κατωπερατό με $\Omega_c>1$.

108190154.png – Ερώτηση 4 (5π/s)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Κανονικοποιημένο κατωπερατό Butterworth: $|H(j\Omega)|^2=\dfrac{1}{1+\Omega^{2N}}$, συχνότητα ημίσειας ισχύος $\Omega=1$. Με $s\to 5\pi/s$: $|H|^2=\dfrac{1}{1+(5\pi/\Omega)^{2N}}$. Στο $\Omega\to0$ είναι 0, στο $\infty$ είναι 1 (ανωπερατό), και η συχνότητα ημίσειας ισχύος είναι $\Omega_c=5\pi\approx15.7>1$.

Απάντηση: Ανωπερατό με $\Omega_c>1$.

108190673.png / 213123213.png / 23231332.png¶

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Επιλογή: - Για την εκφώνηση των στιγμιοτύπων 108190673.png και 213123213.png: 7 - Για την εκφώνηση του στιγμιότυπου 23231332.png: 9

Αιτιολόγηση: Από το θεώρημα εναλλαγών Chebyshev (Parks-McClellan), για βέλτιστο γραμμικής φάσης FIR φίλτρο τύπου Ι (περιττού μήκους $M = 2N+1$ με $N$ παραμέτρους), η συνάρτηση σφάλματος $E(e^{j\omega})$ στο διάστημα $[0, \pi]$ πρέπει να έχει τουλάχιστον $N+2$ διαδοχικά ακρότατα εναλλασσόμενου προσήμου ίσα με $\pm \delta$ (όπου εδώ $\delta = 1$). 1. Στα στιγμιότυπα 108190673.png και 213123213.png: Το γράφημα του σφάλματος αγγίζει το μέγιστο πλάτος $\pm 1$ σε $L = 5$ σημεία: - $\omega = 0$: $E = +1$ (μέγιστο) - 1ο ελάχιστο: $E = -1$ - 2ο μέγιστο: $E = +1$ - [ενδιάμεση κοιλάδα στη ζώνη μετάβασης που ΔΕΝ αγγίζει το $-1$] - 2ο ελάχιστο: $E = -1$ - $\omega = \pi$: $E = +1$ (μέγιστο) Άρα $L = 5 \implies N+2 \le 5 \implies N \le 3$. Το μέγιστο δυνατό μήκος του φίλτρου είναι $M = 2N+1 = 2(3)+1 = 7$. 2. Στο στιγμιότυπο 23231332.png: Στο συγκεκριμένο σχήμα όλες οι διακυμάνσεις είναι ισοκυμάτωσης (equiripple) και αγγίζουν το $\pm 1$: - $\omega = 0$: $E = +1$ (μέγιστο) - 1ο ελάχιστο: $E = -1$ - 2ο μέγιστο: $E = +1$ - 2ο ελάχιστο: $E = -1$ - 3ο μέγιστο: $E = +1$ - $\omega = \pi$: $E = -1$ (ελάχιστο) Εδώ έχουμε $L = 6$ ακρότατα εναλλαγής. Άρα $N+2 \le 6 \implies N \le 4$. Το μέγιστο δυνατό μήκος του φίλτρου είναι $M = 2N+1 = 2(4)+1 = 9$. (Στις επιλογές του 23231332.png: 9, 13, 11, 8, η σωστή είναι το 9).

1082190154.png – Ερώτηση 1¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Η $R'$ περιττή ⇔ η $R$ άρτια (έως σταθερά). FIR περιττού μήκους γραμμικής φάσης: $H=R\,e^{-jN\omega}$ με $R$ πραγματική· άρτια $R$ ⇔ $h_n=h_{-n}$ (συμμετρική κρουστική απόκριση). Μέρος της εκφώνησης (η δεύτερη υπόθεση) είναι δυσανάγνωστο στη μεταγραφή, γι' αυτό η εμπιστοσύνη είναι μέτρια.

Απάντηση: άρτια.

109115244.jpg – Ερώτηση 3 (Remez, 4N−1)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Θεώρημα εναλλαγής: μήκος $M=2L+1$ ⇒ τουλάχιστον $L+2$ ακρότατα εναλλασσόμενου προσήμου.

Εδώ $M=4N-1=2(2N-1)+1\Rightarrow L=2N-1\Rightarrow L+2=2N+1$.

Απάντηση: $2N+1$.

109687385_71.jpg / 123`33.png – Ερώτηση 1 (4N+1, άρτια)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Μήκος $4N+1=2M+1$ με $M=2N$ και άρτια συμμετρία ($h_n=h_{-n}$): $R(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{M}a_n\cos(n\omega)=\sum_{n=0}^{2N}a_n\cos(n\omega)$ (υπάρχουν $M+1=2N+1$ συντελεστές, όχι $N+1$).

Απάντηση: $R=\sum_{n=0}^{2N}a_n\cos(n\omega)$ (η δεύτερη επιλογή).

109804998_101.jpg – Ερώτηση 2/3¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$\mu(t)=E\{At+2\}=t\,E\{A\}+2=t+2$. $\sigma^2(t)=t^2\mathrm{Var}\{A\}=2t^2$ (το $N(1,2)$ ως $N(\mu,\sigma^2)$ με $\sigma^2=2$, όπως ταιριάζει στις επιλογές).

Απάντηση: $\mu=t+2$ και $\sigma^2=2t^2$ (η τέταρτη επιλογή).

123213231.png (λευκός θόρυβος)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$y(n)=\sum_{m=0}^{4N}h_mw(n-m)$, $E\{w(n)w(n-m)\}=\sigma_w^2\delta(m)$ ⇒ $E\{y^2\}=\sigma_w^2\sum_{m=0}^{4N}h_m^2$ (μέση τιμή 0, άρα μέση ισχύς = διασπορά).

Απάντηση: $\sigma_w^2\sum_{n=0}^{4N}h_n^2$.

213213.png – Ερώτηση 2 (περιττή συμμετρία)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Μήκος $2N+1$, περιττή συμμετρία $h_{-n}=-h_n$, $h_0=0$: $R=\sum_{n=1}^{N}a_n\sin(n\omega)$ ($a_n=2h_n$). Τα ημίτονα είναι περιττά ως προς $\omega$ και ο όρος $n=0$ απουσιάζει.

Απάντηση: $\sum_{n=1}^{N}a_n\sin(n\omega)$ (η τρίτη επιλογή).

213213213213.png – Ερώτηση 2/3¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$\omega_0=100\pi/1000=\pi/10=2\pi/20$. Και οι δύο όροι έχουν την ίδια ψηφιακή συχνότητα $2\pi/20$, άρα θεμελιώδης περίοδος $N=20$ (ελέγχθηκε αριθμητικά: το 10 δεν είναι περίοδος, το 20 είναι, και το 40 είναι πολλαπλάσιο· ζητείται η θεμελιώδης).

Απάντηση: περιοδικό με $N=20$ δείγματα.

213213231.png / 44122.png (άρτια ακολουθία, DFT)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Για $x(n)=x(-n)$, $n=-N..N$ ($M=2N+1$ δείγματα, DFT ως $X(k)=\sum_{n=-N}^{N}x(n)e^{-j2\pi nk/M}$): οι όροι $\pm n$ δίνουν $x(n)(e^{-j\theta n}+e^{j\theta n})=2x(n)\cos\theta n$, ο $n=0$ μένει μόνος: $X(k)=x(0)+2\sum_{n=1}^{N}x(n)\cos\!\left(\tfrac{2\pi nk}{2N+1}\right)$ (ελέγχθηκε αριθμητικά).

Απάντηση: η πρώτη επιλογή.

21323`23.png / 213321.png (N(0,4), U[-1,1])¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

$X(t,\theta)=A\sin\Omega_0t+B\sin\Omega_1t$ με $E\{A\}=E\{B\}=0$ ⇒ $\mu_x(t)=0$ (σταθερή): ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης. Η αυτοσυσχέτιση περιέχει τον όρο $4\sin\Omega_0t_1\sin\Omega_0t_2$ (και ανάλογο για το $B$ με $E\{B^2\}=\tfrac13$), που δεν είναι συνάρτηση του $t_1-t_2$ (π.χ. στο $t_1=t_2=t$ μεταβάλλεται με το $t$), άρα όχι 2ης τάξης. Η κατανομή του $X(t)$ εξαρτάται από το $t$ (το βάρος της Γκαουσιανής ακολουθεί το $\sin\Omega_0t$), άρα όχι αυστηρώς στάσιμη 1ης τάξης. Ισχύει μόνο η στασιμότητα 1ης τάξης (σταθερή μέση τιμή 0). Ισχύει η ίδια παρατήρηση περί εργοδικότητας ως προς τη μέση τιμή (πιθανή δεύτερη «σωστή» επιλογή).

Απάντηση: ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης.

213`2321.png (N(0,4), U[0,1])¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Για $B\sim U[0,1]$: $E\{B\}=\tfrac12$ ⇒ $\mu_x(t)=\tfrac12\sin\Omega_1t$, χρονικά μεταβαλλόμενη. Άρα δεν είναι στάσιμη ούτε 1ης τάξης (ούτε ασθενώς ούτε αυστηρώς), άρα ούτε 2ης. Δεν είναι εργοδική ως προς τη μέση τιμή: το χρονικό μέσο κάθε υλοποίησης τείνει στο 0, ενώ η στοχαστική μέση τιμή δεν είναι σταθερή.

Απάντηση: «Τίποτα από τα υπόλοιπα».

3443432421.png – Ερώτηση 1/3 (περιττή ακολουθία, DFT)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Για $x(-n)=-x(n)$: $x(0)=0$ και οι όροι $\pm n$ δίνουν $x(n)(e^{-j\theta n}-e^{j\theta n})=-2j\,x(n)\sin\theta n$, άρα $X(k)=-2j\sum_{n=1}^{N}x(n)\sin\!\left(\tfrac{2\pi nk}{2N+1}\right)$ (το πρόσημο $-$ επαληθεύτηκε αριθμητικά). Καμία επιλογή δεν έχει το $-$. Η μόνη με τη σωστή δομή (καθαρά φανταστική, χωρίς $x(0)$, ημίτονο, $2N+1$) είναι η πρώτη, $2j\sum x(n)\sin(\cdot)$, που διαφέρει μόνο στο πρόσημο (σύμβαση ή τυπογραφικό). Την επιλέγω ως πλησιέστερη.

Απάντηση (με επιφύλαξη προσήμου): η πρώτη επιλογή.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή