Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Ιούνιος 2021¶

Η μεταγραφή προέρχεται από τα στιγμιότυπα και τις φωτογραφίες της εξέτασης Ιουνίου 2021.

2021-06-12_172211.png¶

Αν $\mathcal{X}(t,\theta) = \mathcal{A}(\theta)\sin(\Omega_0 t) + \mathcal{B}(\theta)\sin(\Omega_1 t)$ όπου $\mathcal{A}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Γκαουσιανή $N(0,4)$ και $\mathcal{B}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ομοιόμορφη στο $[-1,1]$. Η διαδικασία $\mathcal{X}(t,\theta)$ είναι:

[ ] Ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης
[ ] Τίποτα από τα υπόλοιπα
[ ] Εργοδική 1ης τάξης
[ ] Ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης
[ ] Αυστηρώς στάσιμη 1ης τάξης

2021-06-13_190413.png¶

Θεωρήστε ότι θέλετε να προσεγγίσετε με ένα FIR φίλτρο μήκους $2N + 1$ ένα ιδανικό ΓΧΑ σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας έχει άρτια συμμετρία.

Ποιά από τις παρακάτω $R(e^{j\omega})$ θα χρησιμοποιούσατε;

[ ] (a) $R(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{N} \alpha_n \cos(n\omega)$
[ ] (b) $R(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{2N} \alpha_n \cos(n\omega)$
[ ] (c) $R(e^{j\omega}) = \sum_{n=1}^{N} \alpha_n \sin(n\omega)$
[ ] (d) $R(e^{j\omega}) = \sum_{n=1}^{2N} \alpha_n \sin(n\omega)$

[Λείπει από τη φωτογραφία: κείμενο στο κάτω άκρο της εικόνας, μετά την επιλογή (d)]

Capture.PNG¶

Στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος με κρουστική απόκριση h(n) οδηγούμε μια ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης στοχαστική διαδικασία μηδενικής μέσης τιμής. Τι από τα παρακάτω θα πρέπει να ισχύει ώστε η διασπορά της διαδικασίας εξόδου να ταυτίζεται με αυτή της εισόδου;

[ ] a. $\|h\|_2^2 = 1$
[ ] b. $\|h\|_1 < \infty$
[ ] c. $\|h\|_2 = \frac{1}{\sigma_w^2}$
[ ] d. Να είναι το σύστημα FIR

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

Screenshot_2021-06-13_at_7.49.08_PM.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν η απόκριση πλάτους ενός FIR φίλτρου δίνεται από την σχέση

\[R(e^{j\omega}) = \sum_{n=1}^{N} \alpha_n \sin(n\omega)\]

Τι μήκος και τι συμμετρία έχει το φίλτρο;

[ ] $2N + 1$ και άρτια
[ ] $2N$ και άρτια
[ ] $2N + 1$ και περιττή
[ ] $2N$ και περιττή

Screenshot_6.png¶

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα FIR φίλτρο μήκους 2N+1 με την τεχνική των Σειρών Fourier. Ποιά σχέση θα χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό των βέλτιστων συντελεστών;

[ ] $h_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} D(e^{j\omega}) e^{-jn\omega} d\omega$
[ ] $h_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega}) \sin(n\omega) d\omega$
[ ] $h_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega}) \cos(n\omega) d\omega$
[ ] $h_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega}) e^{-jn\omega} d\omega$

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή (επιλεγμένη απάντηση στο στιγμιότυπο οθόνης, δεν μεταγράφεται).

Screenshot_538.png¶

Αν το ακόλουθο σήμα συνεχούς χρόνου

\[x(t) = 2\pi\cos(100\pi t) + 10\sin(100\pi t)\]

δειγματοληπτηθεί με συχνότητα $f_s = 1KHz$, το σήμα που θα προκύψει είναι:

[ ] Περιοδικό με περίοδο $N = 20$ δείγματα
[ ] Μη περιοδικό
[ ] Περιοδικό με περίοδο $N = 40$ δείγματα
[ ] Περιοδικό με περίοδο $N = 10$ δείγματα

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

Επιπλέον πηγές χωρίς δική τους ενότητα: 108042200_10224943940412697_6261376587319314881_o.jpg, 108071948_10224943943172766_3506117650399550523_o.jpg και …_o.png (ίδια σελίδα), 108121111_10224943943532775_3615308903505981576_o.jpg, 108125123_10224943941852733_6120709112753727972_o.jpg: σελίδες του «Computer Ανάλυση» με λυμένες ερωτήσεις (τμήματα «Απάντηση») και είναι λυμένο αντίγραφο άλλου φύλλου, γι' αυτό δεν μεταγράφονται εδώ. IMG_20210611_205147.jpg και IMG_20210611_205949.jpg: χειρόγραφες σημειώσεις λύσης, δεν είναι μέρος της εξέτασης. Screenshot_539.png: διπλότυπο της ερώτησης με το σήμα x(t) (φέρει κόκκινες σημειώσεις φοιτητή).

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2021-06¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

2021-06-12_172211.png (Gauss N(0,4) και U[-1,1])¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

$X(t,\theta)=A\sin\Omega_0t+B\sin\Omega_1t$ με $E\{A\}=E\{B\}=0$ ⇒ $\mu_x(t)=0$ (σταθερή): ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης. Η αυτοσυσχέτιση περιέχει τον όρο $4\sin\Omega_0t_1\sin\Omega_0t_2$ (και ανάλογο για το $B$ με $E\{B^2\}=\tfrac13$), που δεν είναι συνάρτηση του $t_1-t_2$ (π.χ. στο $t_1=t_2=t$ μεταβάλλεται με το $t$), άρα όχι 2ης τάξης. Η κατανομή του $X(t)$ εξαρτάται από το $t$ (το βάρος της Γκαουσιανής ακολουθεί το $\sin\Omega_0t$), άρα όχι αυστηρώς στάσιμη 1ης τάξης. Ισχύει μόνο η στασιμότητα 1ης τάξης (σταθερή μέση τιμή 0). Ισχύει η ίδια παρατήρηση περί εργοδικότητας ως προς τη μέση τιμή (πιθανή δεύτερη «σωστή» επιλογή).

Απάντηση: ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης.

2021-06-13_190413.png¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Μήκος $2N+1$, άρτια συμμετρία: $R(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N}a_n\cos(n\omega)$ (με $a_0=h_0$, $a_n=2h_n$).

Απάντηση: επιλογή (a), $\sum_{n=0}^{N}\alpha_n\cos(n\omega)$.

Capture.PNG (διασπορά εξόδου)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Για λευκή είσοδο διασποράς $\sigma_x^2$ (η εκφώνηση δεν το λέει ρητά): $\sigma_y^2=\sigma_x^2\sum_nh^2(n)=\sigma_x^2\|h\|_2^2$, άρα ισότητα διασπορών όταν $\|h\|_2^2=1$. (Για έγχρωμη είσοδο $\sigma_y^2=\frac1{2\pi}\int\Phi_{xx}|H|^2d\omega$ και η συνθήκη δεν αρκεί.) Οι άλλες επιλογές δεν αφορούν τη διασπορά.

Απάντηση (υπό την παραδοχή λευκής εισόδου): (a) $\|h\|_2^2=1$.

Screenshot_2021-06-13… – Ερώτηση 1¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Το $\sum_{n=1}^{N}\alpha_n\sin(n\omega)$ αντιστοιχεί σε $h_{\pm n}$, $n=1..N$, και $h_0=0$: μήκος $2N+1$ και περιττή συμμετρία.

Απάντηση: $2N+1$ και περιττή (η τρίτη επιλογή).

Screenshot_6.png – Ερώτηση 2¶

Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή

Λύση 1: Η εκφώνηση δεν καθορίζει συμμετρία της $D$. Η γενική σειρά Fourier δίνει $h_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D(e^{j\omega})e^{\mp jn\omega}d\omega$ (το πρόσημο εξαρτάται από τη σύμβαση), δηλαδή η πρώτη επιλογή· οι επιλογές με $\frac1\pi\int_0^\pi$ και $\cos$ ή $\sin$ ισχύουν μόνο για άρτια ή περιττή $D$, και η τέταρτη δεν είναι ορθή. Υπόθεση: ζητείται ο γενικός τύπος. Αν στο πρωτότυπο η απόκριση ήταν άρτια, η σωστή θα ήταν η τρίτη (συνημίτονο).

Απάντηση (με επιφύλαξη): $h_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D\,e^{-jn\omega}d\omega$ (η πρώτη επιλογή).

Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Επιλογή: $h_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega}) \cos(n\omega) d\omega$ (τρίτη επιλογή).

Στη σχεδίαση γραμμικής φάσης (ή μηδενικής φάσης) FIR φίλτρου περιττού μήκους $2N+1$ με τη μέθοδο των Σειρών Fourier (Τύπος Ι), η επιθυμητή απόκριση συχνότητας $D(e^{j\omega})$ είναι πραγματική και άρτια ως προς το $\omega$ ($D(e^{j\omega}) = D(e^{-j\omega})$). Η κρουστική απόκριση προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier: $$h_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} D(e^{j\omega}) e^{jn\omega} d\omega$$ Αναλύοντας το εκθετικό σε $\cos(n\omega) + j\sin(n\omega)$, το ολοκλήρωμα του περιττού γινομένου $D(e^{j\omega})\sin(n\omega)$ στο $[-\pi, \pi]$ μηδενίζεται, ενώ το άρτιο γινόμενο $D(e^{j\omega})\cos(n\omega)$ δίνει: $$h_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} D(e^{j\omega}) \cos(n\omega) d\omega = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega}) \cos(n\omega) d\omega$$ Η πρώτη επιλογή φέρει εσφαλμένο πρόσημο στον εκθέτη ($e^{-jn\omega}$ αντί για $e^{+jn\omega}$, που αντιστοιχεί στον ευθύ DTFT και όχι στον αντίστροφο), καθιστώντας την τρίτη επιλογή τη μόνη μαθηματικά ορθή σχέση για άρτιο φίλτρο μήκους $2N+1$.

Η λύση Β επιλέγει ορθά τον τύπο με το συνημίτονο για άρτια απόκριση, ενώ η λύση Α επέλεξε με επιφύλαξη την πρώτη επιλογή παρότι αυτή περιέχει λάθος πρόσημο στον εκθέτη.

Screenshot_538.png¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$\omega_0=100\pi/1000=\pi/10=2\pi/20$. Και οι δύο όροι έχουν την ίδια ψηφιακή συχνότητα $2\pi/20$, άρα θεμελιώδης περίοδος $N=20$ (ελέγχθηκε αριθμητικά: το 10 δεν είναι περίοδος, το 20 είναι, και το 40 είναι πολλαπλάσιο· ζητείται η θεμελιώδης).

Απάντηση: περιοδικό με $N=20$ δείγματα.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή