Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Φεβρουάριος 2021¶

Η μεταγραφή προέρχεται από τις φωτογραφίες της εξέτασης Φεβρουαρίου 2021 (η λίστα πηγών βρίσκεται στα μεταδεδομένα).

1.png¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος με κρουστική απόκριση \(h(n)\) οδηγούμε μια ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης στοχαστική διαδικασία. Τι από τα παρακάτω θα πρέπει να ισχύει ώστε η στοχαστική μέση τιμή της διαδικασίας εξόδου να ταυτίζεται με αυτή της εισόδου;

[ ] \(\|h\|_2 = 1\)
[ ] \(\|h\|_1 < \infty\)
[ ] \(\|h\|_2 = \frac{1}{\sigma_w^{2}}\)
[ ] Να είναι το σύστημα FIR

108190154.png¶

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν στη συνάρτηση μεταφοράς ενός κατωπερατού κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth N-οστής τάξης αντικαταστήσουμε τη μιγαδική μεταβλητή \(s\) με \(s/5\pi\) τι φίλτρο προκύπτει;

[ ] Κατωπερατό με \(\Omega_c > 1\)
[ ] Ανωπερατό με \(\Omega_c > 1\)
[ ] Ανωπερατό με \(\Omega_c < 1\)
[ ] Κατωπερατό με \(\Omega_c < 1\)

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν στη συνάρτηση μεταφοράς ενός κατωπερατού κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth N-οστής τάξης αντικαταστήσουμε τη μιγαδική μεταβλητή \(s\) με \(\frac{5\pi}{s}\) τι φίλτρο προκύπτει;

[ ] Ανωπερατό με \(\Omega_c < 1\)
[ ] Κατωπερατό με \(\Omega_c > 1\)
[ ] Κατωπερατό με \(\Omega_c < 1\)
[ ] Ανωπερατό με \(\Omega_c > 1\)

1091070.jpg¶

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[R(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega})\]

\[\phi(\omega) = -k\omega\]

και \(y_0(n)\), \(y(n)\) οι έξοδοι του ιδανικού και του πραγματικού συστήματος αντίστοιχα για είσοδο \(x(n)\). Ποιά η σχέση που συνδέει τις \(y_0(n)\) και \(y(n)\);

[ ] \(y(n) = y_0(n-k)\)
[ ] \(y(n) = y_0(n+k)\)
[ ] \(y(n) = \frac{y_0(n-k)+y_0(n+k)}{2}\)
[ ] \(y(n) = y_0(n)\)

147409202_3713737508672176_6096052452184869965_o.jpg¶

Υποθέστε ότι το σήμα συνεχούς χρόνου

\[x(t) = 2\cos(52500\pi t)\]

δειγματοληπτείται με 1650 Hz και στη συνέχεια ανακατασκευάζεται με 1650 Hz. Ποιά από τις παράκατω θα είναι η συχνότητα του ανακατασκευασμένου σήματος;

[ ] 52,5 Hz
[ ] 26,5 Hz
[ ] 0 Hz
[ ] 300 Hz

2.png¶

Ερώτηση 2 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση)) — 1 βαθμός

Θεωρήστε ότι στην είσοδο ενός πραγματικού, αιτιατού FIR φίλτρου μήκους \(4N + 1\) οδηγείτε λευκό θόρυβο μέσης ισχύος \(\sigma_w^2\). Ποιά η μέση ισχύς της εξόδου;

[ ] \(\sigma_w^2 \sum_{n=0}^{4N} h_n^2\)
[ ] \(\sigma_w^2 |H(1)|^2\)
[ ] \((2N+1)\sigma_w^2\)
[ ] \((N+1)\sigma_w^2\)

3.png¶

Ερώτηση 3 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος με κρουστική απόκριση \(h(n)\) οδηγούμε μια ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης στοχαστική διαδικασία. Τι από τα παρακάτω θα πρέπει να ισχύει ώστε η στοχαστική μέση τιμή της διαδικασίας εξόδου να ταυτίζεται με αυτή της εισόδου;

[ ] \(H(1) = 1\)
[ ] \(\sum_n h^2(n) = 1\)
[ ] \(\|h\|_1 < \infty\)
[ ] Να είναι το σύστημα FIR

5.png¶

Ερώτηση 1 / 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Η συνάρτηση σφάλματος \(E(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega}) - R(e^{j\omega})\) που προέκυψε από την βέλτιστη, με την έννοια του ελαχιστομέγιστου, σχεδίαση ενός FIR φίλτρου περιττού μήκους, όπου \(D(e^{j\omega})\) η απόκριση συχνότητας του ιδανικού συστήματος και \(R(e^{j\omega})\) η απόκριση πλάτους του φίλτρου με το οποίο το προσεγγίζουμε έχει την παρακάτω μορφή στο διάστημα \([0, \pi]\). Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό μήκος του βέλτιστου φίλτρου;

[Σχήμα: γραφική παράσταση της \(E(e^{j\omega})\) για \(\omega\) στο \([0, \pi]\), κυματοειδής καμπύλη με τιμές μεταξύ \(-1\) και \(1\) και οριζόντια ευθεία στο \(0\). Άξονας τιμών: ενδείξεις \(1\), \(0\), \(-1\). Άξονας \(\omega\): ενδείξεις \(0\) και \(\pi\).]

[ ] 7
[ ] 11
[ ] 13
[ ] 9

6.png¶

Ερώτηση 2 / 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[R(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega})\]

\[\phi(\omega) = k\omega\]

και \(y_0(n)\), \(y(n)\) οι έξοδοι του ιδανικού και του πραγματικού συστήματος αντίστοιχα για είσοδο \(x(n)\). Ποιά η σχέση που συνδέει τις \(y_0(n)\) και \(y(n)\);

[ ] \(y(n) = y_0(n - k)\)
[ ] \(y(n) = y_0(n + k)\)
[ ] \(y(n) = \dfrac{y_0(n-k) + y_0(n+k)}{2}\)
[ ] \(y(n) = y_0(n)\)

7.png¶

Ερώτηση 3 / 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν στη συνάρτηση μεταφοράς ενός κατωπερατού κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth N-οστής τάξης αντικαταστήσουμε τη μιγαδική μεταβλητή \(s\) με \(\frac{5\pi}{s}\) τι φίλτρο προκύπτει;

[ ] Ανωπερατό με \(\Omega_c < 1\)
[ ] Κατωπερατό με \(\Omega_c > 1\)
[ ] Κατωπερατό με \(\Omega_c < 1\)
[ ] Ανωπερατό με \(\Omega_c > 1\)

8.png¶

Ερώτηση 4 / 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[R(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega})\]

\[\phi(\omega) = -k\omega\]

και \(y_0(n)\), \(y(n)\) οι έξοδοι του ιδανικού και του πραγματικού συστήματος αντίστοιχα για είσοδο \(x(n)\). Ποια η σχέση που συνδέει τις \(y_0(n)\) και \(y(n)\);

[ ] \(y(n) = y_0(n-k)\)
[ ] \(y(n) = y_0(n+k)\)
[ ] \(y(n) = \dfrac{y_0(n-k) + y_0(n+k)}{2}\)
[ ] \(y(n) = y_0(n)\)

Capturemm.PNG¶

Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου

\[y(n) = x(n) - x(n-1)\]

Ποιά η τιμή της απόκρισης συχνότητας του στη συχνότητα \(\omega = 0\) και \(\omega = \pi/2\);

[ ] \(0\) και \(1 + j\)
[ ] \(1\) και \(j\)
[ ] \(j\) και \(1\)
[ ] \(1 + j\) και \(0\)

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει σήμανση φοιτητή (κόκκινο πλαίσιο γύρω από την πρώτη επιλογή), η οποία δεν μεταγράφεται.

er1.png¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι \(x[n] = \alpha\), \(n = 0, 1, \ldots, 2N\). Από ποιά από τις παρακάτω σχέσεις θα δίνεται ο DFT της ακολουθίας;

[ ] (a) \(X(k) = \begin{cases} \alpha(2N+1) & , k = 0 \\ 0 & , k = 1, 2, \ldots, 2N \end{cases}\)
[ ] (b) \(X(k) = \dfrac{\alpha}{2N+1}, \quad k = 0, 1, \ldots, 2N\)
[ ] (c) \(X(k) = \begin{cases} \dfrac{\alpha}{2N+1} & , k = 0 \\ 0 & , k = 1, 2, \ldots, 2N \end{cases}\)
[ ] (d) \(X(k) = \alpha(2N+1), \quad k = 0, 1, \ldots, 2N\)

er3.png¶

Ερώτηση 2 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[x_a(t) = \mathcal{F}^{-1}\left\{ (\Delta(j\Omega))^N \right\}\]

με \(N > 1\) και \(\Delta(j\Omega) = u(\Omega + \Omega_0) - u(\Omega - \Omega_0)\), ποιά από τις παρακάτω συχνότητες είναι η κρίσιμη συχνότητα δειγματοληψίας;

[ ] \(\Omega_s = 2\Omega_0\)
[ ] \(\Omega_s = N\Omega_0\)
[ ] \(\Omega_s = \frac{\Omega_0}{2N}\)
[ ] \(\Omega_s = 2N\Omega_0\)

Σημείωση: το στιγμιότυπο οθόνης από την πλατφόρμα εξετάσεων του eClass (xams.eclass.upatras.gr). Η ερώτηση αριθμείται ως 2 από 3.

er4.png¶

Ερώτηση 3 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν το ακόλουθο σήμα συνεχούς χρόνου

\[x(t) = 2\pi \cos(100\pi t) + 10 \sin(100\pi t)\]

δειγματοληπτηθεί με συχνότητα \(f_s = 1KHz\), το σήμα που θα προκύψει είναι:

[ ] Περιοδικό με περίοδο \(N = 20\) δείγματα
[ ] Μη περιοδικό
[ ] Περιοδικό με περίοδο \(N = 40\) δείγματα
[ ] Περιοδικό με περίοδο \(N = 10\) δείγματα

s1.jpg¶

Ερώτηση 3 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Θεωρήστε ότι στην είσοδο ενός πραγματικού, αιτιατού FIR φίλτρου μήκους \(2N+1\) οδηγείτε λευκό θόρυβο μέσης ισχύος \(\sigma_w^2\). Ποιά η μέση ισχύς της εξόδου;

[ ] \(\sum_{n=0}^{2N} h_n^2\)
[ ] \(\sigma_w^2 \frac{1}{2N+1} \sum_{k=0}^{2N} |H(k)|^2\)
[ ] \((2N+1)\sigma_w^2\)
[ ] \((N+1)\sigma_w^2\)

s2.jpg¶

Ερώτηση 3 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι η ακολουθία \(x(n)\), \(n = -N, -(N-1), \ldots, -1, 0, 1, \ldots, (N-1), N\) είναι άρτια. Από ποιά από τις παρακάτω σχέσεις θα δίνεται ο DFT της ακολουθίας;

[ ] \(X(k) = x(0) + 2\sum_{n=1}^{N} x(n)\cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)\)
[ ] \(X(k) = 2\sum_{n=0}^{N} x(n)\cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)\)
[ ] \(X(k) = x(0) + 2\sum_{n=1}^{N} x(n)\cos\left(\frac{2\pi nk}{N}\right)\)
[ ] \(X(k) = 2\sum_{n=1}^{N} x(n)\cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)\)

s3.jpg¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι η ακολουθία \(x(n)\), \(n = -N, \ldots, N\), είναι περιττής συμμετρίας. Από ποιά από τις παρακάτω σχέσεις θα δίνεται ο DFT της ακολουθίας;

[ ] \(X(k) = 2j\sum_{n=1}^{N} x(n)\sin\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)\)
[ ] \(X(k) = x(0) + 2j\sum_{n=1}^{N} x(n)\sin\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)\)
[ ] \(X(k) = 2\sum_{n=1}^{N} x(n)\cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)\)
[ ] \(X(k) = 2\sum_{n=1}^{N} x(n)\sin\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)\)

s4.jpg¶

Ερώτηση 2 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Θεωρήστε ότι στην είσοδο ενός πραγματικού, αιτιατού FIR φίλτρου μήκους \(2N+1\) οδηγείτε λευκό θόρυβο μέσης ισχύος \(\sigma_w^2\). Ποιά η μέση ισχύς της εξόδου;

[ ] \(\sum_{n=0}^{2N} h_n^2\)
[ ] \(\sigma_w^2 \frac{1}{2N+1} \sum_{k=0}^{2N} |H(k)|^2\)
[ ] \((2N+1)\sigma_w^2\)
[ ] \((N+1)\sigma_w^2\)

s5.jpg¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Θεωρήστε ότι στην είσοδο ενός ΓΧΑ με κρουστική απόκριση \(h(t) = \delta(t)\), οδηγείται στοχαστική διαδικασία \(X(t,\theta)\). Αν \(\mathbb{E}\{\cdot\}\) ο τελεστής αναμενόμενης τιμής, τι από τα παρακάτω ισχύει για το Φάσμα Ισχύος της εξόδου;

[ ] \(\Phi_{yy}(j\Omega) = \Phi^2_{xx}(j\Omega)\)
[ ] \(\Phi_{yy}(j\Omega) = Y(j\Omega,\theta)\)
[ ] \(\Phi_{yy}(j\Omega) = \Phi_{xy}(j\Omega)\)
[ ] \(\Phi_{yy} = \mathbb{E}\{Y(j\Omega,\theta)\}\)

received_280576213242900.jpeg¶

Ερώτηση 2 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν \(\mathcal{X}(t, \mathcal{A}(\theta)) = \mathcal{A}(\theta)t + 2\), όπου \(\mathcal{A}(\theta)\) τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας \(N(1, 2)\). Ποιά η μέση τιμή (\(\mu\)) και η διασπορά (\(\sigma^2\)) της διαδικασίας;

[ ] \(\mu = 1\) και \(\sigma^2 = 2t^2 - 2t + 1\)
[ ] \(\mu = t + 2\) και \(\sigma^2 = 2t^2 - 2t + 1\)
[ ] \(\mu = 1\) και \(\sigma^2 = 2t^2\)
[ ] \(\mu = t + 2\) και \(\sigma^2 = 2t^2\)

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει σήμανση φοιτητή (επιλεγμένη απάντηση και ✔), η οποία δεν μεταγράφεται.

IMG_20210207_182500.jpg¶

Αν \(\mathcal{X}(t,\theta) = \mathcal{A}(\theta)t + 2\), όπου \(\mathcal{A}(\theta)\) τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την ομοιόμορφη στο \([-2, 1]\), ποιά η στοχαστική μέση τιμή (\(\mu(t)\)) και η ακολουθία αυτοσυσχέτισης (\(r(t_1, t_2)\)) της διαδικασίας;

[ ] \(\mu(t) = -t/2 + 2, \quad r(t_1,t_2) = \frac{3}{4} t_1 t_2\)
[ ] \(\mu(t) = -t/2 + 2, \quad r(t_1,t_2) = \frac{9}{4} t_1 t_2\)
[ ] \(\mu(t) = -t + 2, \quad r(t_1,t_2) = \frac{3}{4} t_1 t_2\)
[ ] \(\mu(t) = -t + 2, \quad r(t_1,t_2) = \frac{9}{4} t_1 t_2\)

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει σήμανση φοιτητή (κόκκινο πλαίσιο γύρω από την πρώτη επιλογή), η οποία δεν μεταγράφεται. Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις → 2021-02.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας): 20210207_183200.jpg, 20210214_194352.jpg

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: migrated from previous_exams.md (Antigravity, 2026-10)

Προσοχή

Ερώτηση 2/3 (στοχαστική διαδικασία X(t, A(θ)) = A(θ)t + 2): η απάντηση μ = t + 2 και σ² = 2t² είναι μία από τις τέσσερις επιλογές της εκφώνησης και συμβαδίζει με την παραγωγή (E[A] = 1, Var[A] = 2). Η απάντηση μεταφέρεται αυτούσια από το παλιό αρχείο και δεν έχει ελεγχθεί. Η σύμβαση N(1, 2) θεωρείται N(μ, σ²)· αν το 2 είναι η τυπική απόκλιση (N(μ, σ)), η διασπορά της X(t) θα ήταν 4t² και η απάντηση δεν θα ίσχυε. Χρειάζεται επιβεβαίωση της σύμβασης από την εκφώνηση. Η μεταφερόμενη λύση δεν περιέχει την εκφώνηση· η ερώτηση προέρχεται από τη φωτογραφία received_280576213242900.jpeg, η σήμανση του φοιτητή στη φωτογραφία δεν μεταγράφεται.

Λύσεις — Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Φεβρουάριος 2021¶

[x] \(\mu = t + 2\) και \(\sigma^2 = 2t^2\) (Σωστή Απάντηση)

Απόδειξη: \(\mu(t) = E[\mathcal{X}(t)] = E[\mathcal{A}]t + 2 = 1 \cdot t + 2 = t + 2\), και \(\text{Var}[\mathcal{X}(t)] = \text{Var}[\mathcal{A} t + 2] = t^2 \text{Var}[\mathcal{A}] = 2t^2\).

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή