Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — 2020 (χωρίς μήνα)¶

Η μεταγραφή προέρχεται από το αρχείο exams_2020.pdf (10 σελίδες).

exams_2020.pdf (σελ. 1-10)¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος με κρουστική απόκριση $h(n)$ οδηγούμε μια ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης στοχαστική διαδικασία. Τι από τα παρακάτω θα πρέπει να ισχύει ώστε η στοχαστική μέση τιμή της διαδικασίας εξόδου να ταυτίζεται με αυτή της εισόδου;

[ ] $\|h\|_2 = 1$
[ ] $\|h\|_1 < \infty$
[ ] $\|h\|_2 = \frac{1}{\sigma_w^2}$
[ ] Να είναι το σύστημα FIR

Ερώτηση 2 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Θεωρήστε ότι στην είσοδο ενός πραγματικού, αιτιατού FIR φίλτρου μήκους $4N + 1$ οδηγείτε λευκό θόρυβο μέσης ισχύος $\sigma_w^2$. Ποιά η μέση ισχύς της εξόδου;

[ ] $\sigma_w^2 \sum_{n=0}^{4N} h_n^2$
[ ] $\sigma_w^2 |H(1)|^2$
[ ] $(2N + 1)\sigma_w^2$
[ ] $(N + 1)\sigma_w^2$

Ερώτηση 3 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος με κρουστική απόκριση $h(n)$ οδηγούμε μια ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης στοχαστική διαδικασία. Τι από τα παρακάτω θα πρέπει να ισχύει ώστε η στοχαστική μέση τιμή της διαδικασίας εξόδου να ταυτίζεται με αυτή της εισόδου;

[ ] $H(1) = 1$
[ ] $\sum_n h^2(n) = 1$
[ ] $\|h\|_1 < \infty$
[ ] Να είναι το σύστημα FIR

Ερώτηση 1 / 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Η συνάρτηση σφάλματος $E(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega}) - R(e^{j\omega})$ που προέκυψε από την βέλτιστη, με την έννοια του ελαχιστομέγιστου, σχεδίαση ενός FIR φίλτρου περιττού μήκους, όπου $D(e^{j\omega})$ η απόκριση συχνότητας του ιδανικού συστήματος και $R(e^{j\omega})$ η απόκριση πλάτους του φίλτρου με το οποίο το προσεγγίζουμε έχει την παρακάτω μορφή στο διάστημα $[0, \pi]$. Ποιό είναι το μέγιστο δυνατό μήκος του βέλτιστου φίλτρου;

[Σχήμα: Διάγραμμα της συνάρτησης σφάλματος $E(e^{j\omega})$ σε συνάρτηση με τη συχνότητα στο διάστημα $[0, \pi]$, με εναλλασσόμενα ακρότατα μεταξύ -1 και 1.]

[ ] 7
[ ] 11
[ ] 13
[ ] 9

Ερώτηση 2 / 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[R(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega})$$ $$\phi(\omega) = k\omega\]

και $y_0(n)$, $y(n)$ οι έξοδοι του ιδανικού και του πραγματικού συστήματος αντίστοιχα για είσοδο $x(n)$. Ποιά η σχέση που συνδέει τις $y_0(n)$ και $y(n)$;

[ ] $y(n) = y_0(n - k)$
[ ] $y(n) = y_0(n + k)$
[ ] $y(n) = \frac{y_0(n - k) + y_0(n + k)}{2}$
[ ] $y(n) = y_0(n)$

Ερώτηση 3 / 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν στη συνάρτηση μεταφοράς ενός κατωπερατού κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth N-οστής τάξης αντικαταστήσουμε τη μιγαδική μεταβλητή $s$ με $\frac{5\pi}{s}$ τι φίλτρο προκύπτει;

[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c < 1$
[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c > 1$
[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c < 1$
[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c > 1$

Ερώτηση 4 / 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[R(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega})$$ $$\phi(\omega) = -k\omega\]

και $y_0(n)$, $y(n)$ οι έξοδοι του ιδανικού και του πραγματικού συστήματος αντίστοιχα για είσοδο $x(n)$. Ποιά η σχέση που συνδέει τις $y_0(n)$ και $y(n)$;

[ ] $y(n) = y_0(n - k)$
[ ] $y(n) = y_0(n + k)$
[ ] $y(n) = \frac{y_0(n - k) + y_0(n + k)}{2}$
[ ] $y(n) = y_0(n)$

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι $x[n] = \alpha,\ n = 0, 1, \dots, 2N$. Από ποιά από τις παρακάτω σχέσεις θα δίνεται ο DFT της ακολουθίας;

(a) $X(k) = \begin{cases} \alpha(2N + 1) & , k = 0 \\ 0 & , k = 1, 2, \dots, 2N \end{cases}$

(b) $X(k) = \frac{\alpha}{2N + 1},\ k = 0, 1, \dots, 2N$

(c) $X(k) = \begin{cases} \frac{\alpha}{2N + 1} & , k = 0 \\ 0 & , k = 1, 2, \dots, 2N \end{cases}$

(d) $X(k) = \alpha(2N + 1),\ k = 0, 1, \dots, 2N$

[ ] a
[ ] b
[ ] c
[ ] d

Ερώτηση 2 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[x_a(t) = \mathcal{F}^{-1}\{(\Delta(j\Omega))^N\}\]

με $N > 1$ και $\Delta(j\Omega) = u(\Omega + \Omega_0) - u(\Omega - \Omega_0)$, ποιά από τις παρακάτω συχνότητες είναι η κρίσιμη συχνότητα δειγματοληψίας;

[ ] $\Omega_s = 2\Omega_0$
[ ] $\Omega_s = N\Omega_0$
[ ] $\Omega_s = \frac{\Omega_0}{2N}$
[ ] $\Omega_s = 2N\Omega_0$

Ερώτηση 3 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν το ακόλουθο σήμα συνεχούς χρόνου

\[x(t) = 2\pi \cos(100\pi t) + 10 \sin(100\pi t)\]

δειγματοληπτηθεί με συχνότητα $f_s = 1\text{KHz}$, το σήμα που θα προκύψει είναι:

[ ] Περιοδικό με περίοδο $N = 20$ δείγματα
[ ] Μη περιοδικό
[ ] Περιοδικό με περίοδο $N = 40$ δείγματα
[ ] Περιοδικό με περίοδο $N = 10$ δείγματα

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2020¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Σετ 1 – Ερώτηση 1/3¶

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Επιλογή: $\|h\|_1 < \infty$

Αιτιολόγηση: Για ασθενώς στάσιμη (WSS) είσοδο $x(n)$ με μέση τιμή $\mu_x$ σε ΓΧΑ σύστημα με κρουστική απόκριση $h(n)$, η στοχαστική μέση τιμή της εξόδου είναι $\mu_y = \mu_x \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) = \mu_x H(1)$. 1. Για να ορίζεται καλώς η συνέλιξη και να είναι η έξοδος $y(n)$ στάσιμη 2ης τάξης με πεπερασμένη μέση τιμή και συνδιασπορά, απαιτείται το σύστημα να είναι ευσταθές κατά BIBO, δηλαδή $\|h\|_1 = \sum_{n} |h(n)| < \infty$. 2. Μεταξύ των προσφερόμενων επιλογών ($\|h\|_2 = 1$, $\|h\|_1 < \infty$, $\|h\|_2 = 1/\sigma_w^2$, «Να είναι το σύστημα FIR»), η μόνη απαραίτητη συνθήκη για τη διατήρηση των στατιστικών ιδιοτήτων και της μέσης τιμής της στάσιμης διαδικασίας είναι η BIBO ευστάθεια $\|h\|_1 < \infty$ (σημειώνεται ότι αν $\mu_x \neq 0$ η αυστηρή ισότητα $\mu_y = \mu_x$ απαιτεί επιπλέον $H(1)=1$, επιλογή που δίνεται σε άλλες παραλλαγές του θέματος αλλά απουσιάζει από τη συγκεκριμένη τετράδα επιλογών).

Σετ 1 – Ερώτηση 2/3¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$y(n)=\sum_{m=0}^{4N}h_mw(n-m)$, $E\{w(n)w(n-m)\}=\sigma_w^2\delta(m)$ ⇒ $E\{y^2\}=\sigma_w^2\sum_{m=0}^{4N}h_m^2$ (μέση τιμή 0, άρα μέση ισχύς = διασπορά).

Απάντηση: $\sigma_w^2\sum_{n=0}^{4N}h_n^2$.

Σετ 1 – Ερώτηση 3/3¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$\mu_y=E\{\sum_mh(m)x(n-m)\}=\mu_x\sum_mh(m)=\mu_xH(e^{j0})=\mu_xH(1)$. Για $\mu_y=\mu_x$ (με $\mu_x\neq0$) απαιτείται $H(1)=\sum h=1$.

Απάντηση: $H(1)=1$.

Σετ 2 – Ερώτηση 1/4¶

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Επιλογή: 7

Αιτιολόγηση: Από το θεώρημα εναλλαγών του Parks-McClellan (Chebyshev alternation theorem) για τη βέλτιστη σχεδίαση γραμμικής φάσης FIR φίλτρου τύπου Ι (περιττού μήκους $M = 2N+1$ με τάξη πολυωνύμου $N$), η συνάρτηση σφάλματος $E(e^{j\omega})$ πρέπει να παρουσιάζει τουλάχιστον $N+2$ διαδοχικά ακρότατα εναλλασσόμενου προσήμου με τιμές ίσες με $\pm \delta$ (όπου εδώ $\delta = 1$). Παρατηρώντας το γράφημα της συνάρτησης σφάλματος στο διάστημα $[0, \pi]$ στο πρωτότυπο έγγραφο (σελ. 4 του exams_2020.pdf), τα σημεία στα οποία το σφάλμα φτάνει στο μέγιστο κατά απόλυτη τιμή ($\pm 1$) με διαδοχική εναλλαγή προσήμου είναι ακριβώς 5: 1. Στο $\omega = 0$: $E(0) = +1$ (τοπικό μέγιστο) 2. Πρώτη κοιλάδα: $E(\omega_1) = -1$ (τοπικό ελάχιστο) 3. Δεύτερη κορυφή: $E(\omega_2) = +1$ (τοπικό μέγιστο) 4. Τρίτη κοιλάδα (στη ζώνη αποκοπής): $E(\omega_3) = -1$ (τοπικό ελάχιστο) 5. Στο $\omega = \pi$: $E(\pi) = +1$ (τοπικό μέγιστο) (Οι ενδιάμεσες διακυμάνσεις στη ζώνη μετάβασης δεν αγγίζουν το $\pm 1$).

Συνεπώς, το πλήθος των σημείων εναλλαγής είναι $L_{\text{alt}} = 5$. Επειδή απαιτείται $N + 2 \le L_{\text{alt}} = 5 \implies N \le 3$, ο μέγιστος βαθμός του πολυωνύμου συνημιτόνων είναι $N = 3$. Άρα το μέγιστο δυνατό μήκος του βέλτιστου φίλτρου περιττού μήκους είναι: $$M_{\max} = 2N + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7$$ (Επιβεβαιώνεται και από τις επίσημες λύσεις του μαθήματος).

Σετ 2 – Ερώτηση 2/4 (φ = kω)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Σύμβαση: $H(e^{j\omega})=R(e^{j\omega})\,e^{j\phi(\omega)}$, με $R$ την (πραγματική) απόκριση πλάτους και ιδανικό σύστημα μηδενικής φάσης $H_0=D$. Με $\phi(\omega)=+k\omega$: $H=H_0e^{+jk\omega}$, άρα $y(n)=y_0(n+k)$ (προήγηση, μη αιτιατό). Η επιλογή εξαρτάται από τη σύμβαση προσήμου της φάσης· με την παραπάνω (αυτή που κάνει το $\phi=-k\omega$ καθυστέρηση) προκύπτει:

Απάντηση: $y(n)=y_0(n+k)$ (η δεύτερη επιλογή).

Σετ 2 – Ερώτηση 3/4¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Κανονικοποιημένο κατωπερατό Butterworth: $|H(j\Omega)|^2=\dfrac{1}{1+\Omega^{2N}}$, συχνότητα ημίσειας ισχύος $\Omega=1$. Με $s\to 5\pi/s$: $|H|^2=\dfrac{1}{1+(5\pi/\Omega)^{2N}}$. Στο $\Omega\to0$ είναι 0, στο $\infty$ είναι 1 (ανωπερατό), και η συχνότητα ημίσειας ισχύος είναι $\Omega_c=5\pi\approx15.7>1$.

Απάντηση: Ανωπερατό με $\Omega_c>1$.

Σετ 2 – Ερώτηση 4/4 (φ = −kω)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Σύμβαση: $H(e^{j\omega})=R(e^{j\omega})\,e^{j\phi(\omega)}$, με $R$ την (πραγματική) απόκριση πλάτους και ιδανικό σύστημα μηδενικής φάσης $H_0=D$. Με $R=D$ και $\phi(\omega)=-k\omega$: $H=D\,e^{-jk\omega}=H_0\,e^{-jk\omega}$, άρα $Y=Y_0e^{-jk\omega}$ και η ιδιότητα καθυστέρησης του DTFT δίνει $y(n)=y_0(n-k)$.

Απάντηση: $y(n)=y_0(n-k)$ (η πρώτη επιλογή).

Σετ 3 – Ερώτηση 1/3¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$X(k)=\sum_{n=0}^{2N}a\,e^{-j2\pi nk/(2N+1)}$. Για $k=0$: $a(2N+1)$. Για $k\neq0$ το γεωμετρικό άθροισμα των ριζών της μονάδας μηδενίζεται. (Ελέγχθηκε αριθμητικά με FFT.)

Απάντηση: (a): $X(0)=a(2N+1)$, $X(k)=0$ για $k=1..2N$.

Σετ 3 – Ερώτηση 2/3¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Η $\Delta(j\Omega)$ είναι παλμός ύψους 1 στο $[-\Omega_0,\Omega_0]$ (τιμές 0 ή 1), άρα $\Delta^N=\Delta$ για κάθε $N>1$. Το $x_a(t)$ έχει εύρος ζώνης $\Omega_0$ και η κρίσιμη (Nyquist) συχνότητα είναι $\Omega_s=2\Omega_0$.

Απάντηση: $\Omega_s=2\Omega_0$.

Σετ 3 – Ερώτηση 3/3¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$\omega_0=100\pi/1000=\pi/10=2\pi/20$. Και οι δύο όροι έχουν την ίδια ψηφιακή συχνότητα $2\pi/20$, άρα θεμελιώδης περίοδος $N=20$ (ελέγχθηκε αριθμητικά: το 10 δεν είναι περίοδος, το 20 είναι, και το 40 είναι πολλαπλάσιο· ζητείται η θεμελιώδης).

Απάντηση: περιοδικό με $N=20$ δείγματα.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή