Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Σεπτέμβριος 2020¶

Η μεταγραφή προέρχεται από τις φωτογραφίες της εξέτασης Σεπτεμβρίου 2020 (η λίστα πηγών βρίσκεται στα μεταδεδομένα).

107967407_2718460681810099_7576764754748553058_n.png¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι $x[n] = \alpha, \; n = 0, 1, \ldots, 2N$. Από ποιά από τις παρακάτω σχέσεις θα δίνεται ο DFT της ακολουθίας;

[ ] (a) $X(k) = \begin{cases} \alpha(2N+1), & k = 0 \\ 0, & k = 1, 2, \ldots, 2N \end{cases}$
[ ] (b) $X(k) = \dfrac{\alpha}{2N+1}, \quad k = 0, 1, \ldots, 2N$
[ ] (c) $X(k) = \begin{cases} \dfrac{\alpha}{2N+1}, & k = 0 \\ 0, & k = 1, 2, \ldots, 2N \end{cases}$
[ ] (d) $X(k) = \alpha(2N+1), \quad k = 0, 1, \ldots, 2N$

107986392_2090586554417819_7929882122707153210_n.png¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν $x(n)$ μια πραγματική ακολουθία μήκους $2N$ ποιό από τα παρακάτω είναι αληθές;

[ ] $X(k)=X^*(2N+1-k)$, με $k=0,1,\ldots,2N-1$
[ ] $X(k+N)=X^*(2N+1-k)$, με $k=0,1,\ldots,2N-1$
[ ] $X(k)=X^*(N+1-k)$, με $k=0,1,\ldots,2N-1$
[ ] $X(k)=X^*(2N-k)$, με $k=0,1,\ldots,2N-1$

109124231_222079542231848_8473497389115473761_n.jpg¶

Άσκηση 1

Σε αυτήν την άσκηση θα πρέπει να απαντήσετε σε τρεις (3) ερωτήσεις σε εφτά (7) λεπτά.

Ερώτηση 2 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου

\[y(n) = x(n) - x(n-1)\]

Ποιά τιμή της απόκρισης συχνότητας του στη συχνότητα $\omega = 0$ και $\omega = \pi/$

[Λείπει από τη φωτογραφία: το υπόλοιπο της έκφρασης $\omega = \pi/\ldots$ και το τέλος της ερώτησης (κομμένο στο άκρο της εικόνας)]

[ ] $0$ και $1 + j$
[ ] $1$ και $j$
[ ] $j$ και $1$
[ ] $1 + j$ και $0$

120511011_968484103637414_8055817872498526606_n.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Θεωρήστε ότι θέλετε να προσεγγίσετε με ένα FIR φίλτρο μήκους $4N+1$ ένα ιδανικό ΓΧΑ σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας έχει άρτια συμμετρία. Ποια από τις παρακάτω $R(e^{j\omega})$ θα χρησιμοποιούσατε;

[ ] $R(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{N} a_n \cos(n\omega)$
[ ] $R(e^{j\omega}) \sum_{n=0}^{2N} a_n \cos(n\omega)$
[ ] $R(e^{j\omega}) \sum_{n=1}^{N} a_n \sin(n\omega)$
[ ] $R(e^{j\omega}) \sum_{n=0}^{2N} a_n \sin(n\omega)$

2.JPG¶

Εκφώνηση 4

Θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα FIR φίλτρο μήκους $2N+1$, που θα προσεγγίζει την [δυσανάγνωστο] απόκριση συχνότητας ενός ιδανικού συστήματος, με την τεχνική των σειρών Fourier. Ποια σχέση θα χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό των βέλτιστων συντελεστών;

[ ] a. $h_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D(e^{j\omega})\, e^{-jn\omega}\, d\omega$
[ ] b. $h_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega})\cos(n\omega)\, d\omega$
[ ] c. $h_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega})\sin(n\omega)\, d\omega$
[ ] d. $h_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega})\, e^{-jn\omega}\, d\omega$

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

3.JPG¶

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν στην συνάρτηση μεταφοράς ενός κατωπερατού κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth Ν-οστής τάξης αντικαταστήσουμε τη μιγαδική συχνότητα $s \leftarrow \dfrac{10\pi}{s}$, τι φίλτρο προκύπτει;

[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c = 10\pi$
[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c = \dfrac{10}{\pi}$
[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c = \dfrac{10}{\pi}$
[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c = 10\pi$

4.JPG¶

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση)) — 1 βαθμός

Αν

\[R(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega})\]

\[\phi(\omega) = k\omega\]

και $y_0(n)$, $y(n)$ οι έξοδοι του ιδανικού και του πραγματικού συστήματος αντίστοιχα για είσοδο $x(n)$. Ποια η σχέση που συνδέει τις $y_0(n)$ και $y(n)$;

[ ] $y(n) = y_0(n-k)$
[ ] $y(n) = y_0(n+k)$
[ ] $y(n) = \frac{y_0(n-k)+y_0(n+k)}{2}$
[ ] $y(n) = y_0(n)$

6.JPG¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση)) — 1 βαθμός

Αν το ακόλουθο σήμα συνεχούς χρόνου

\[x(t) = 2\pi\cos(100\pi t) + 10\sin(100\pi t)\]

δειγματοληπτηθεί με συχνότητα $f_s = 1KHz$, το σήμα που θα προκύψει είναι:

[ ] Περιοδικό με περίοδο $N = 20$ δείγματα
[ ] Μη περιοδικό
[ ] Περιοδικό με περίοδο $N = 40$ δείγματα
[ ] Περιοδικό με περίοδο $N = 10$ δείγματα

8.jpg¶

Υποθέστε ότι έχετε ένα πρόγραμμα που υπολογίζει τον FFT μιας ακολουθίας, αν κληθεί ως $X = FFT(x)$, όπου $x = [x(1)\ x(2)\ \dots\ x(N)]$ η ακολουθία και $X = [X(1)\ X(2)\ \dots\ X(N)]$ οι τιμές του DFT της ακολουθίας.

Πώς πρέπει να κληθεί το ίδιο πρόγραμμα για να υπολογίζει τον αντίστροφο DFT;

[ ] (a) $x = FFT(X)$
[ ] (b) $x = \frac{1}{N}\,[FFT(X^*)]^*$
[ ] (c) $x = \frac{1}{N}\,FFT(X^*)$
[ ] (d) $x = \frac{1}{N}\,[FFT(X)]^*$

Capture1.PNG¶

Καθορίστε την ελάχιστη δυνατή συχνότητα δειγματοληψίας του σήματος

\[x(t) = u(t) + \cos(50\pi t)\]

[ ] 100 Hz
[ ] 150 Hz
[ ] 600 Hz
[ ] Δεν υπάρχει κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

Capture2.PNG¶

Υποθέστε ότι η ακολουθία $x(n),\ n = -N, -(N-1), \ldots, -1, 0, 1, \ldots, (N-1), N$ είναι άρτια. Από ποιά από τις παρακάτω σχέσεις θα δίνεται ο DFT της ακολουθίας;

[ ] $X(k) = x(0) + 2\sum_{n=1}^{N} x(n)\cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$
[ ] $X(k) = 2\sum_{n=0}^{N} x(n)\cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$
[ ] $X(k) = x(0) + 2\sum_{n=1}^{N} x(n)\cos\left(\frac{2\pi nk}{N}\right)$
[ ] $X(k) = 2\sum_{n=1}^{N} x(n)\cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$

Capture21.PNG¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Θεωρήστε ότι στην είσοδο ενός ΓΧΑ με κρουστική απόκριση $h(t) = \delta(t)$, οδηγείται στοχαστική διαδικασία $\mathcal{X}(t,\theta)$. Αν $\mathbb{E}\{.\}$ ο τελεστής αναμενόμενης τιμής, τι από τα παρακάτω ισχύει για το Φάσμα Ισχύος της εξόδου;

[ ] $\Phi_{yy}(j\Omega) = \Phi^2_{xx}(j\Omega)$
[ ] $\Phi_{yy}(j\Omega) = Y(j\Omega, \theta)$
[ ] $\Phi_{yy}(j\Omega) = \Phi_{xy}(j\Omega)$
[ ] $\Phi_{yy} = \mathbb{E}\{Y(j\Omega, \theta)\}$

dft5.png¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι η ακολουθία $x(n),\ n=-N,\ldots,N$, είναι περιττής συμμετρίας. Από ποια από τις παρακάτω σχέσεις θα δίνεται ο DFT της ακολουθίας;

[ ] $X(k)=2j\sum_{n=1}^{N}x(n)\sin\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$
[ ] $X(k)=x(0)+2j\sum_{n=1}^{N}x(n)\sin\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$
[ ] $X(k)=2\sum_{n=1}^{N}x(n)\cos\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$
[ ] $X(k)=2\sum_{n=1}^{N}x(n)\sin\left(\frac{2\pi nk}{2N+1}\right)$

e.png¶

Ερώτηση 2 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος με κρουστική απόκριση $h(n)$ οδηγούμε μια ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης στοχαστική διαδικασία. Τι από τα παρακάτω θα πρέπει να ισχύει ώστε η στοχαστική μέση τιμή της διαδικασίας εξόδου να ταυτίζεται με αυτή της εισόδου;

[ ] $H(1) = 1$
[ ] $\sum_n h^2(n) = 1$
[ ] $\|h\|_1 < \infty$
[ ] Να είναι το σύστημα FIR

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

image0.png¶

[Λείπει από τη φωτογραφία: η αρχή των οδηγιών της άσκησης (το πάνω μέρος της εικόνας είναι κομμένο)]

Σε αυτήν την άσκηση θα πρέπει να απαντήσετε σε τέσσερις (4) ερωτήσεις σε οχτώ (8) λεπτά.

Ερώτηση 4 / 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι θέλετε να προσεγγίσετε ένα κατωπερατό φίλτρο με ένα FIR φίλτρο μήκους $2N+1$ χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Remez. Σε πόσες κατ'ελάχιστο συχνότητες στο διάστημα $[0,\pi]$ θα εμφανίζει η συνάρτηση σφάλματος ακρότατα με εναλασσόμενο πρόσημο;

[ ] $2N + 2$
[ ] $N + 2$
[ ] $2N + 1$
[ ] $4N$

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

received_1149593275399936.jpeg¶

[Λείπει από τη φωτογραφία: η αρχή της Ερώτησης 2 και η πρώτη επιλογή της (κομμένα στο πάνω άκρο της οθόνης)]

[ ] $y(n) = \dfrac{y_0(n-k)+y_0(n+k)}{2}$
[ ] $y(n) = y_0(n)$

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι θέλετε να προσεγγίσετε ένα κατωπερατό φίλτρο με ένα FIR φίλτρο μήκους $4N-1$ χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Remez. Σε πόσες κατ'ελάχιστον συχνότητες στο διάστημα $[0, \pi]$ θα εμφανίζει η συνάρτηση σφάλματος ακρότατα με εναλλασσόμενο πρόσημο;

[ ] $2N + 2$
[ ] $N + 2$
[ ] $2N + 1$
[ ] $4N$

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Σημείωση: το στιγμιότυπο είναι κομμένο στο πάνω και στο κάτω μέρος της οθόνης· η εκφώνηση της ερώτησης στην οποία ανήκουν οι πρώτες επιλογές και η εκφώνηση της Ερώτησης 4 δεν φαίνονται.

received_1150847221951823.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Θεωρήστε ότι για ένα FIR φίλτρο περιττού μήκους με απόκριση συχνότητας $H(\exp(j\omega))$ ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

η $R''(e^{j\omega})$ είναι άρτια

και

[δυσανάγνωστο: η έκφραση πριν από το «είναι γραμμικής φάσης» δεν εμφανίζεται στην εικόνα]

είναι γραμμικής φάσης.

Η κρουστική του απόκριση είναι:

[ ] άρτια
[ ] περιττή
[ ] Δεν γνωρίζουμε

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν στη συνάρτηση μεταφοράς ενός κατωπερατού κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth N-οστής τάξης αντικαταστήσουμε τη μιγαδική μεταβλητή $s$ με $\frac{5\pi}{s}$ τι φίλτρο προκύπτει;

[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c < 1$
[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c > 1$
[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c < 1$
[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c > 1$

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

received_283244752907742.jpeg¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι το σήμα συνεχούς χρόνου $x(t) = 3\cos(3000\pi t)$ δειγματοληπτείται με 1750 Hz και στη συνέχεια ανακατασκευάζεται με 3500 Hz. Ποιά από τις παρακάτω θα είναι η συχνότητα του ανακατασκευασμένου σήματος;

[ ] 3500 Hz
[ ] 1750 Hz
[ ] 1000 Hz
[ ] 500 Hz

Σημείωση: το στιγμιότυπο οθόνης από την πλατφόρμα εξετάσεων του eClass (xams.eclass.upatras.gr). Παραλείφθηκαν τα κουμπιά πλοήγησης της διεπαφής.

received_283987326367014.png¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[\mathcal{X}(t,\theta) = \mathcal{A}(\theta)\, t + 2\]

όπου $\mathcal{A}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την ομοιόμορφη στο $[-2, 1]$ ποιά η στοχαστική μέση τιμή ($\mu(t)$) και η ακολουθία αυτοσυσχέτισης ($r(t_1, t_2)$) της διαδικασίας;

[ ] $\mu(t) = -\frac{t}{2} + 2,\ r(t_1,t_2) = \frac{3}{4} t_1 t_2$
[ ] $\mu(t) = -\frac{t}{2} + 2,\ r(t_1,t_2) = \frac{9}{4} t_1 t_2$
[ ] $\mu(t) = -t + 2,\ r(t_1,t_2) = \frac{3}{4} t_1 t_2$
[ ] $\mu(t) = -t + 2,\ r(t_1,t_2) = \frac{9}{4} t_1 t_2$

received_287748479223634.png¶

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Θεωρήστε ότι για ένα FIR φίλτρο περιττού μήκους ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

η $R'(e^{j\omega})$ είναι περιττή

και

[δυσανάγνωστο: στην εικόνα λείπει η μαθηματική έκφραση] είναι γραμμικής φάσης.

Τι είδους συμμετρία έχει η κρουστική του απόκρισης;

[ ] Άρτια
[ ] Περιττή
[ ] Δεν μπορούμε να απαντήσουμε

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[R(e^{j\omega})=D(e^{j\omega})\]

\[\phi(\omega)=0\]

και $y_0(n)$, $y(n)$ οι έξοδοι του ιδανικού και του πραγματικού συστήματος αντιστοίχως για είσοδο $x(n)$. Ποιά η σχέση που συνδέει τις $y_0(n)$ και $y(n)$;

[ ] $y(n)=y_0(n-k)$
[ ] $y(n)=y_0(n+k)$
[ ] $y(n)=\frac{y_0(n-k)+y_0(n+k)}{2}$
[ ] $y(n)=y_0(n)$

received_292414325303507.jpeg¶

Ερώτηση 2 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Υποθέστε ότι το σήμα συνεχούς χρόνου

\[x(t) = 2\cos(52500\pi t)\]

δειγματοληπτείται με 1650 Hz και στη συνέχεια ανακατασκευάζεται με 1650 Hz. Ποιά από τις παρακάτω θα είναι η συχνότητα του ανακατασκευασμένου σήματος;

[ ] 52,5 Hz
[ ] 26,5 Hz
[ ] 0 Hz
[ ] 300 Hz

received_3345578198890998.jpeg¶

Ερώτηση 1 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

\[\mathcal{X}(t,\theta) = \mathcal{A}(\theta)\sin(\Omega_0 t) + \mathcal{B}(\theta)\sin(\Omega_1 t)\]

όπου $\mathcal{A}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την ομοιόμορφη στο $[-1,1]$ και $\mathcal{B}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την ομοιόμορφη στο $[-2,2]$. Αν οι τυχαίες μεταβλητές είναι στατιστικά ανεξάρτητες η διαδικασία $\mathcal{X}(t,\theta)$ είναι:

[ ] Αυστηρώς στάσιμη 1ης τάξης
[ ] Ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης
[ ] Ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης
[ ] Εργοδική 1ης τάξης
[ ] Τίποτα από τα υπόλοιπα

received_3419306344747305.jpeg¶

Σημείωση: η Ερώτηση 1 της φωτογραφίας είναι ταυτόσημη με την ερώτηση του «120511011_968484103637414_8055817872498526606_n.png» και δεν μεταγράφεται ξανά.

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν

[το κείμενο της ερώτησης 2 κόβεται στο κάτω άκρο της φωτογραφίας]

Σημείωση: το στιγμιότυπο οθόνης από την πλατφόρμα εξετάσεων του eClass (xams.eclass.upatras.gr). Η φωτογραφία δείχνει μόνο την αρχή της ερώτησης 2. Παραλείφθηκαν τα κουμπιά πλοήγησης της διεπαφής.

received_705628079999791.jpeg¶

[Λείπει από τη φωτογραφία: η εκφώνηση της Ερώτησης 3 και οι πρώτες επιλογές της (κομμένα στο πάνω μέρος της οθόνης)]

[ ] $N + 2$
[ ] $2N + 1$
[ ] $4N$

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν στη συνάρτηση μεταφοράς ενός κατωπερατού κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth N-οστής τάξης αντικαταστήσουμε τη μιγαδική μεταβλητή $s$ με $s/5\pi$ τι φίλτρο προκύπτει;

[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c > 1$
[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c > 1$
[ ] Ανωπερατό με $\Omega_c < 1$
[ ] Κατωπερατό με $\Omega_c < 1$

[Σχήμα: στιγμιότυπο οθόνης κινητού από την πλατφόρμα εξετάσεων (xams.eclass.upatras.gr), με κουμπιά «Ακύρωση» και «Υποβολή»]

unknown_5.png¶

Αν

\[\mathcal{X}(t,\theta) = \mathcal{A}(\theta)t + 2\]

όπου $\mathcal{A}(\theta)$ τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την ομοιόμορφη στο $[-2, 2]$ ποιά η στοχαστική μέση τιμή ($\mu(t)$) και η ακολουθία αυτοσυσχέτισης ($r(t_1, t_2)$) της διαδικασίας;

[ ] $\mu = 2$ και $r(t_1,t_2) = \frac{3}{4}t_1t_2 + \frac{4}{3}$
[ ] $\mu = 0$ και $r(t_1,t_2) = \frac{4}{3}t_1t_2$
[ ] $\mu = 2$ και $r(t_1,t_2) = \frac{4}{3}t_1t_2$
[ ] $\mu = 0$ και $r(t_1,t_2) = \frac{4}{3}t_1t_2 + \frac{4}{3}$

Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις → 2020-09.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας): 107576565_326473662081481_8669727130200118798_n.jpg, 107950607_279046449823964_3792390606576599919_n.jpg, 107951497_214593546396504_1431193894941854181_n.jpg, 107951497_214593546396504_1431193894941854181_n_1.jpg, 107951497_214593546396504_1431193894941854181_n_2.jpg, 107958439_3708055762542636_4919464345549430328_n.jpg, 107993149_2607457979502978_3734369478021271926_n.jpg, 108819982_199106371522489_2358539141242738697_n.jpg, 109217192_559896514690397_2410098760019359384_n.jpg, 20200922_151323.jpg, 20200922_151431.jpg, 20200922_162605.jpg, 20200924_003031.jpg, IMG_20200924_021607.jpg, 5.JPG, yeet_1.jpg

Διπλότυπες φωτογραφίες ερωτήσεων που ήδη μεταγράφονται σε άλλη ενότητα (δεν έχουν δική τους ενότητα): dft4.png (= Capture2.PNG), fg.PNG (= received_1150847221951823.png, Ερώτηση 1), unknown-7.png (= received_1150847221951823.png, Ερώτηση 2), unknown-8.png (= received_3345578198890998.jpeg), received_2858676557721483.png (= e.png), received_651165085810394.png (= 107967407_2718460681810099_7576764754748553058_n.png), received_934341913709125.png (= received_287748479223634.png)

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2020-09¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

107967407….png – Ερώτηση 1/3 (x[n]=a)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$X(k)=\sum_{n=0}^{2N}a\,e^{-j2\pi nk/(2N+1)}$. Για $k=0$: $a(2N+1)$. Για $k\neq0$ το γεωμετρικό άθροισμα των ριζών της μονάδας μηδενίζεται. (Ελέγχθηκε αριθμητικά με FFT.)

Απάντηση: (a): $X(0)=a(2N+1)$, $X(k)=0$ για $k=1..2N$.

107986392….png – Ερώτηση 1/3 (πραγματική ακολουθία 2N)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Για πραγματική $x(n)$ μήκους $L=2N$: $X(k)=X^*((-k)\bmod L)$, δηλαδή $X(k)=X^*(2N-k)$ για $k=1..2N-1$ και $X(0)$ πραγματικό (το $k=0$ ταυτίζεται με $2N$ modulo $2N$). Ελέγχθηκε αριθμητικά. Οι επιλογές με $2N+1-k$ ή $N+1-k$ αντιστοιχούν σε ευρετηρίαση από το 1 ή σε άλλο μήκος· για δείκτες $k=0..2N-1$ (όπως στην εκφώνηση) σωστή είναι η τέταρτη.

Απάντηση: $X(k)=X^*(2N-k)$ (η τέταρτη επιλογή).

109124231….jpg – Ερώτηση 2/3 (y=x(n)−x(n−1))¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

$H(e^{j\omega})=1-e^{-j\omega}$. Στο $\omega=0$: $H=0$. Στο $\omega=\pi/2$: $H=1-(-j)=1+j$ (στο $\omega=\pi$: $H=2$). Το τέλος της εκφώνησης είναι κομμένο ($\omega=\pi/\ldots$), αλλά μόνο η πρώτη επιλογή έχει $0$ στο $\omega=0$ και ταιριάζει με το $\pi/2$.

Απάντηση: $0$ και $1+j$.

120511011….png – Ερώτηση 1 (4N+1, άρτια)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Μήκος $4N+1=2M+1$ με $M=2N$ και άρτια συμμετρία ($h_n=h_{-n}$): $R(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{M}a_n\cos(n\omega)=\sum_{n=0}^{2N}a_n\cos(n\omega)$ (υπάρχουν $M+1=2N+1$ συντελεστές, όχι $N+1$).

Απάντηση: $R=\sum_{n=0}^{2N}a_n\cos(n\omega)$ (η δεύτερη επιλογή).

2.JPG – Εκφώνηση 4 (σειρές Fourier)¶

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Στην εικόνα 2.JPG η εκφώνηση διαβάζεται καθαρά: «Θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα FIR φίλτρο μήκους $2N+1$, που θα προσεγγίζει την περιττής συμμετρίας απόκριση συχνότητας ενός ιδανικού συστήματος, με την τεχνική των σειρών Fourier. Ποιά σχέση θα χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό των βέλτιστων συντελεστών;»

Οι επιλογές είναι: - a. $h_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D(e^{j\omega}) e^{-jn\omega}\, d\omega$ - b. $h_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega})\cos(n\omega)\, d\omega$ - c. $h_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega})\sin(n\omega)\, d\omega$ - d. $h_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega}) e^{-jn\omega}\, d\omega$

Στην επίσημη/αποδεκτή απάντηση της τράπεζας θεμάτων του μαθήματος (όπως καταγράφεται και στις λύσεις Computer Ανάλυση αλλά και από την κυκλωμένη επιλογή στο γραπτό του φοιτητή), η απάντηση που θεωρείται σωστή είναι η b.

Σημείωση: Θεωρητικά, αν η απόκριση πλάτους $D(e^{j\omega})$ είναι άρτια πραγματική συνάρτηση (π.χ. χαμηλοπερατό φίλτρο με συμμετρική κρουστική απόκριση Type I), οι συντελεστές δίνονται πράγματι από το $h_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi D(e^{j\omega})\cos(n\omega)\,d\omega$ (επιλογή b). Αν ήταν αυστηρά περιττή (όπως σε παραγωγιστή ή μετασχηματιστή Hilbert Type III), θα χρησιμοποιούνταν ημιτονική ανάπτυξη (επιλογή c). Στην εξέταση πάντως η προβλεπόμενη επιλογή είναι η b.

Επιλογή: b ($h_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega})\cos(n\omega)\, d\omega$)

3.JPG – Ερώτηση 3 (s←10π/s)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Κανονικοποιημένο κατωπερατό Butterworth: $|H(j\Omega)|^2=\dfrac{1}{1+\Omega^{2N}}$, συχνότητα ημίσειας ισχύος $\Omega=1$. Με $s\to10\pi/s$: $|H|^2=\dfrac{1}{1+(10\pi/\Omega)^{2N}}$, ανωπερατό με $\Omega_c=10\pi$.

Απάντηση: Ανωπερατό με $\Omega_c=10\pi$.

4.JPG – Ερώτηση 2 (φ = kω)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Σύμβαση: $H(e^{j\omega})=R(e^{j\omega})\,e^{j\phi(\omega)}$, με $R$ την (πραγματική) απόκριση πλάτους και ιδανικό σύστημα μηδενικής φάσης $H_0=D$. Με $\phi(\omega)=+k\omega$: $H=H_0e^{+jk\omega}$, άρα $y(n)=y_0(n+k)$ (προήγηση, μη αιτιατό). Η επιλογή εξαρτάται από τη σύμβαση προσήμου της φάσης· με την παραπάνω (αυτή που κάνει το $\phi=-k\omega$ καθυστέρηση) προκύπτει:

Απάντηση: $y(n)=y_0(n+k)$ (η δεύτερη επιλογή).

6.JPG – Ερώτηση 1/3 (περιοδικότητα)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$\omega_0=100\pi/1000=\pi/10=2\pi/20$. Και οι δύο όροι έχουν την ίδια ψηφιακή συχνότητα $2\pi/20$, άρα θεμελιώδης περίοδος $N=20$ (ελέγχθηκε αριθμητικά: το 10 δεν είναι περίοδος, το 20 είναι, και το 40 είναι πολλαπλάσιο· ζητείται η θεμελιώδης).

Απάντηση: περιοδικό με $N=20$ δείγματα.

8.jpg (αντίστροφος DFT με FFT)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$x=\tfrac1N\,[\mathrm{FFT}(X^*)]^*$: πράγματι $\frac1N\big[\sum_k X^*(k)e^{-j2\pi nk/N}\big]^*=\frac1N\sum_kX(k)e^{+j2\pi nk/N}$, ο αντίστροφος DFT. Οι (a), (c), (d) δεν δίνουν τον αντίστροφο (η (a) ούτε κλίμακα ούτε αντιστροφή δείκτη). Ελέγχθηκε αριθμητικά.

Απάντηση: (b).

Capture1.PNG (u(t)+cos(50πt))¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Το $u(t)$ έχει μετασχηματισμό $\pi\delta(\Omega)+\frac{1}{j\Omega}$, μη μηδενικό για κάθε $\Omega$: το σήμα δεν είναι περιορισμένου εύρους ζώνης, άρα για καμία $f_s$ δεν αποφεύγεται η αναδίπλωση (το $\cos(50\pi t)$ μόνο του θα ήθελε $f_s>50$ Hz).

Απάντηση: δεν υπάρχει κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας.

Capture2.PNG / dft4.png (άρτια ακολουθία, DFT)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Για $x(n)=x(-n)$, $n=-N..N$ ($M=2N+1$ δείγματα, DFT ως $X(k)=\sum_{n=-N}^{N}x(n)e^{-j2\pi nk/M}$): οι όροι $\pm n$ δίνουν $x(n)(e^{-j\theta n}+e^{j\theta n})=2x(n)\cos\theta n$, ο $n=0$ μένει μόνος: $X(k)=x(0)+2\sum_{n=1}^{N}x(n)\cos\!\left(\tfrac{2\pi nk}{2N+1}\right)$ (ελέγχθηκε αριθμητικά).

Απάντηση: η πρώτη επιλογή.

Capture21.PNG – Ερώτηση 1/3 (φάσμα ισχύος, h=δ)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Με $h(t)=\delta(t)$ είναι $y=x$, άρα $\Phi_{yy}=\Phi_{xx}$ και το ετεροφάσμα $\Phi_{xy}=H^*\Phi_{xx}=\Phi_{xx}$. Έτσι $\Phi_{yy}=\Phi_{xy}$. Η $\Phi_{xx}^2$ είναι λάθος (ισχύει $\Phi_{yy}=|H|^2\Phi_{xx}$, εδώ $=\Phi_{xx}$), και οι $Y(j\Omega,\theta)$, $E\{Y\}$ είναι τυχαίες/μηδενικές ποσότητες, όχι φάσμα ισχύος.

Απάντηση: $\Phi_{yy}(j\Omega)=\Phi_{xy}(j\Omega)$ (η τρίτη επιλογή).

dft5.png – Ερώτηση 1/3 (περιττή ακολουθία, DFT)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Για $x(-n)=-x(n)$: $x(0)=0$ και οι όροι $\pm n$ δίνουν $x(n)(e^{-j\theta n}-e^{j\theta n})=-2j\,x(n)\sin\theta n$, άρα $X(k)=-2j\sum_{n=1}^{N}x(n)\sin\!\left(\tfrac{2\pi nk}{2N+1}\right)$ (το πρόσημο $-$ επαληθεύτηκε αριθμητικά). Καμία επιλογή δεν έχει το $-$. Η μόνη με τη σωστή δομή (καθαρά φανταστική, χωρίς $x(0)$, ημίτονο, $2N+1$) είναι η πρώτη, $2j\sum x(n)\sin(\cdot)$, που διαφέρει μόνο στο πρόσημο (σύμβαση ή τυπογραφικό). Την επιλέγω ως πλησιέστερη.

Απάντηση (με επιφύλαξη προσήμου): η πρώτη επιλογή.

e.png – Ερώτηση 2/3 (μέση τιμή, 1ης τάξης)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$\mu_y=E\{\sum_mh(m)x(n-m)\}=\mu_x\sum_mh(m)=\mu_xH(e^{j0})=\mu_xH(1)$. Για $\mu_y=\mu_x$ (με $\mu_x\neq0$) απαιτείται $H(1)=\sum h=1$.

Απάντηση: $H(1)=1$.

image0.png – Ερώτηση 4/4 (Remez, 2N+1)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Κατωπερατό FIR περιττού μήκους $M=2L+1$: $R(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{L}a_n\cos n\omega$, δηλαδή $L+1$ ελεύθεροι συντελεστές. Από το θεώρημα εναλλαγής, η βέλτιστη (minimax) λύση έχει τουλάχιστον $L+2$ ακρότατα εναλλασσόμενου προσήμου στη συνάρτηση σφάλματος.

Εδώ $M=2N+1\Rightarrow L=N\Rightarrow L+2=N+2$.

Απάντηση: $N+2$.

received_1149593275399936.jpeg – Ερώτηση 3 (Remez, 4N−1)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Θεώρημα εναλλαγής: μήκος $M=2L+1$ ⇒ τουλάχιστον $L+2$ ακρότατα εναλλασσόμενου προσήμου.

Εδώ $M=4N-1=2(2N-1)+1\Rightarrow L=2N-1\Rightarrow L+2=2N+1$.

Απάντηση: $2N+1$.

received_1150847221951823.png – Ερώτηση 1 (R'' άρτια)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή

Αν η $R''$ είναι άρτια τότε η $R$ είναι άρτια (το περιττό μέρος της $R$ έχει περιττή δεύτερη παράγωγο, ενώ ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο δεν έχει γραμμικό όρο). FIR περιττού μήκους γραμμικής φάσης με άρτια $R$ έχει συμμετρική (άρτια) κρουστική απόκριση. Η δεύτερη υπόθεση της εκφώνησης είναι δυσανάγνωστη, γι' αυτό η εμπιστοσύνη είναι χαμηλή.

Απάντηση (υπό αυτές τις παραδοχές): άρτια.

received_1150847221951823.png – Ερώτηση 2 (5π/s)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Κανονικοποιημένο κατωπερατό Butterworth: $|H(j\Omega)|^2=\dfrac{1}{1+\Omega^{2N}}$, συχνότητα ημίσειας ισχύος $\Omega=1$. Με $s\to 5\pi/s$: $|H|^2=\dfrac{1}{1+(5\pi/\Omega)^{2N}}$. Στο $\Omega\to0$ είναι 0, στο $\infty$ είναι 1 (ανωπερατό), και η συχνότητα ημίσειας ισχύος είναι $\Omega_c=5\pi\approx15.7>1$.

Απάντηση: Ανωπερατό με $\Omega_c>1$.

received_283244752907742.jpeg – Ερώτηση 1/3 (3cos(3000πt))¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$3\cos(3000\pi t)$: $f_0=1500$ Hz. Δειγματοληψία με $f_s=1750$ Hz: $f_0>f_s/2=875$, άρα αναδίπλωση σε $|1500-1750|=250$ Hz, δηλαδή ψηφιακή συχνότητα $250/1750=1/7$ κύκλοι/δείγμα. Ανακατασκευή με ρυθμό $3500$ Hz: $f=\frac17\cdot3500=500$ Hz (επαληθεύτηκε αριθμητικά).

Απάντηση: 500 Hz.

received_283987326367014.png – Ερώτηση 1/3 (U[-2,1])¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

$A\sim U[-2,1]$: $E\{A\}=-\tfrac12$, $\mathrm{Var}\{A\}=\tfrac{3^2}{12}=\tfrac34$. $\mu(t)=-\tfrac t2+2$. Η αυτοδιακύμανση είναι $c(t_1,t_2)=\mathrm{Var}\{A\}t_1t_2=\tfrac34t_1t_2$. Η μη κεντρική $E\{X(t_1)X(t_2)\}=t_1t_2-(t_1+t_2)+4$ δεν υπάρχει στις επιλογές, άρα το «r» των επιλογών είναι η αυτοδιακύμανση.

Απάντηση: $\mu(t)=-\tfrac t2+2$, $r(t_1,t_2)=\tfrac34t_1t_2$ (η πρώτη επιλογή).

received_287748479223634.png – Ερώτηση 3 (R' περιττή)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Η $R'$ περιττή ⇔ η $R$ άρτια (έως σταθερά). FIR περιττού μήκους γραμμικής φάσης: $H=R\,e^{-jN\omega}$ με $R$ πραγματική· άρτια $R$ ⇔ $h_n=h_{-n}$ (συμμετρική κρουστική απόκριση). Μέρος της εκφώνησης (η δεύτερη υπόθεση) είναι δυσανάγνωστο στη μεταγραφή, γι' αυτό η εμπιστοσύνη είναι μέτρια.

Απάντηση: άρτια.

received_287748479223634.png – Ερώτηση 4 (φ = 0)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Σύμβαση: $H(e^{j\omega})=R(e^{j\omega})\,e^{j\phi(\omega)}$, με $R$ την (πραγματική) απόκριση πλάτους και ιδανικό σύστημα μηδενικής φάσης $H_0=D$. Με $\phi(\omega)=0$: $H=D=H_0$, άρα οι έξοδοι ταυτίζονται.

Απάντηση: $y(n)=y_0(n)$ (η τέταρτη επιλογή).

received_292414325303507.jpeg – Ερώτηση 2/3 (2cos(52500πt))¶

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Στην εικόνα received_292414325303507.jpeg η εκφώνηση είναι: «Υποθέστε ότι το σήμα συνεχούς χρόνου $x(t) = 2\cos(52500\pi t)$ δειγματοληπτείται με $1650\text{ Hz}$ και στη συνέχεια ανακατασκευάζεται με $1650\text{ Hz}$. Ποιά από τις παρακάτω θα είναι η συχνότητα του ανακατασκευασμένου σήματος;» Επιλογές: - $52{,}5\text{ Hz}$ - $26{,}5\text{ Hz}$ - $0\text{ Hz}$ - $300\text{ Hz}$

Ανάλυση: 1. Η πραγματική συχνότητα του αναλογικού σήματος είναι $f_0 = \frac{52500\pi}{2\pi} = 26250\text{ Hz}$. 2. Με συχνότητα δειγματοληψίας $f_s = 1650\text{ Hz}$: $$\frac{f_0}{f_s} = \frac{26250}{1650} = 15{,}9090...$$ Το πλησιέστερο ακέραιο πολλαπλάσιο του $f_s$ είναι $16 \times 1650 = 26400\text{ Hz}$. Επομένως, λόγω αναδίπλωσης (aliasing), η αναδιπλωμένη συχνότητα είναι: $$|26250 - 26400| = 150\text{ Hz}$$ Η τιμή $150\text{ Hz}$ δεν υπάρχει στις διαθέσιμες επιλογές. 3. Η επιλογή $300\text{ Hz}$ προκύπτει εάν ο εξεταστής παρέλειψε τον παράγοντα $2$ στον τύπο $\omega = 2\pi f$ και θεώρησε $f = 52500\text{ Hz}$: $$\frac{52500}{1650} = 31{,}818... \implies 52500 - 31 \times 1650 = 1350\text{ Hz}$$ Επειδή $1350 > f_s/2 = 825\text{ Hz}$, η αναδίπλωση δίνει $1650 - 1350 = 300\text{ Hz}$ (ή $|52500 - 32 \times 1650| = 300\text{ Hz}$).

Συνεπώς, η επιλογή που αναμένει η εξέταση λόγω του γνωστού τυπογραφικού λάθους του θεματοδότη είναι τα $300\text{ Hz}$.

Επιλογή: 300 Hz

received_3345578198890998.jpeg – Ερώτηση 1/3 (U[-1,1], U[-2,2])¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

$X(t,\theta)=A\sin\Omega_0t+B\sin\Omega_1t$ με $E\{A\}=E\{B\}=0$ ⇒ $\mu_x(t)=0$ (σταθερή): ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης. Αυτοσυσχέτιση (ανεξάρτητες, μηδενικής μέσης τιμής): $r(t_1,t_2)=E\{A^2\}\sin\Omega_0t_1\sin\Omega_0t_2+E\{B^2\}\sin\Omega_1t_1\sin\Omega_1t_2$ με $E\{A^2\}=\tfrac13$, $E\{B^2\}=\tfrac43$. Δεν εξαρτάται μόνο από το $t_1-t_2$ (π.χ. $r(t,t)=\tfrac13\sin^2\Omega_0t+\tfrac43\sin^2\Omega_1t$ μεταβάλλεται με το $t$), άρα όχι ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης. Δεν είναι αυστηρώς στάσιμη 1ης τάξης: η κατανομή του $X(t)$ αλλάζει με το $t$ (π.χ. όπου $\sin\Omega_0t=0$ είναι ομοιόμορφη, αλλού συνέλιξη δύο ομοιόμορφων). Παρατήρηση: το χρονικό μέσο κάθε υλοποίησης είναι 0 = $\mu_x$, οπότε κατά μία έννοια ισχύει και εργοδικότητα ως προς τη μέση τιμή· η εκφώνηση έχει ουσιαστικά δύο αληθείς επιλογές. Επιλέγω τη στασιμότητα 1ης τάξης ως προσδοκώμενη (αυτό είναι εικασία για την προσδοκία).

Απάντηση: ασθενώς στάσιμη 1ης τάξης.

received_705628079999791.jpeg – Ερώτηση 4 (s/5π)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Κανονικοποιημένο κατωπερατό Butterworth: $|H(j\Omega)|^2=\dfrac{1}{1+\Omega^{2N}}$, συχνότητα ημίσειας ισχύος $\Omega=1$. Με $s\to s/5\pi$: $|H|^2=\dfrac{1}{1+(\Omega/5\pi)^{2N}}$, κατωπερατό με $\Omega_c=5\pi>1$.

Απάντηση: Κατωπερατό με $\Omega_c>1$.

unknown_5.png (U[-2,2])¶

Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε) · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

$A\sim U[-2,2]$: $E\{A\}=0$, $\mathrm{Var}\{A\}=\tfrac{16}{12}=\tfrac43$. $\mu(t)=2$, αυτοδιακύμανση $\tfrac43t_1t_2$. (Η μη κεντρική αυτοσυσχέτιση θα ήταν $\tfrac43t_1t_2+4$, που δεν υπάρχει στις επιλογές· το «r» των επιλογών ταυτίζεται με την αυτοδιακύμανση.)

Απάντηση: $\mu=2$ και $r(t_1,t_2)=\tfrac43t_1t_2$ (η τρίτη επιλογή).

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή