Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Φεβρουάριος 2017 — Προφορική¶

Η μεταγραφή προέρχεται από το στιγμιότυπο Screenshot_2024-01-25_at_10.52.54_PM.png.

Screenshot_2024-01-25_at_10.52.54_PM.png¶

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων - Computer Ανάλυση

2.4.3.2 Θέμα Προφορικής Φεβρουάριος 2017

Υπολογίστε με χρήση FFT τις τιμές της ακολουθίας:

\[X(k)=\sum_{n=0}^{2^{10}-5} x(n)\bullet\cos\left(\frac{\pi}{2^9}\left(n+\frac{1}{2}\right)k\right) , \quad k=0,1,\ldots,2^{10}-1\]

και καταγράψτε το υπολογιστικό κόστος που απαιτείται (σε πλήθος πραγματικών πολλαπλασιασμών).

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2017-02¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα Προφορικής (X(k) με FFT, κόστος)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή

Έστω $L=2^{10}-4=1020$ δείγματα ($n=0..1019$), $M=1024$. Το όρισμα: $\frac{\pi}{2^9}(n+\tfrac12)k=\frac{2\pi nk}{1024}+\frac{\pi k}{1024}$, άρα $$X(k)=\mathrm{Re}\Big\{e^{-j\pi k/1024}\,F(k)\Big\},\qquad F(k)=\sum_{n=0}^{1019}x(n)e^{-j2\pi nk/1024}$$ (ο $F$ είναι ο 1024-σημείων DFT της $x$ με μηδενικό συμπλήρωμα· για πραγματική $x$ ισχύει $\mathrm{Re}\{z\}=\mathrm{Re}\{z^*\}$). Ελέγχθηκε αριθμητικά. Επιπλέον $X(1024-k)=-X(k)$ και $X(512)=0$, οπότε αρκούν τα $k=0..512$.

Κόστος (σύμβαση: radix-2, 1 μιγαδικός πολλαπλασιασμός = 4 πραγματικοί, χωρίς εξαίρεση για τετριμμένους συντελεστές): - FFT 1024 σημείων: $\frac M2\log_2M=512\cdot10=5120$ μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί ⇒ $4\cdot5120=20480$ πραγματικοί. - Πολλαπλασιασμός με $e^{-j\pi k/1024}$ και λήψη πραγματικού μέρους: $\cos\theta\,\mathrm{Re}F+\sin\theta\,\mathrm{Im}F$ = 2 πραγματικοί ανά $k$: $2\cdot1024=2048$ (ή $2\cdot513=1026$ με τη συμμετρία).

Σύνολο ≈ $20480+2048=22528$ πραγματικοί πολλαπλασιασμοί (≈ $21506$ με χρήση της συμμετρίας). Το ακριβές νούμερο εξαρτάται από τη σύμβαση μέτρησης (π.χ. 3 πραγματικοί ανά μιγαδικό, αξιοποίηση πραγματικής εισόδου που περίπου υποδιπλασιάζει το κόστος)· γι' αυτό η εμπιστοσύνη στον αριθμό είναι χαμηλή, ενώ η μέθοδος είναι ασφαλής.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή