Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Σεπτέμβριος 2016 — Προφορική¶
Η μεταγραφή προέρχεται από τη φωτογραφία IMG_7847.jpg.
IMG_7847.jpg¶
3.3.7.2 Θέμα Προφορικής Σεπτέμβριος 2016
Δίνεται φίλτρο μήκους \(2N+1\). Να βρείτε την \(h(n)\) με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Η ιδανική α[…]ακόλουθο σχήμα:
[Λείπει από τη φωτογραφία: το υπόλοιπο της πρώτης πρότασης, κομμένο στο δεξί άκρο της εικόνας]
[Σχήμα: γράφημα της \(D(\omega)\) ως προς \(\omega\) στο διάστημα \([-\pi, \pi]\). Ευθύγραμμο τμήμα από \((-\omega_c, -\omega_c)\) έως \((\omega_c, \omega_c)\) με ανοιχτούς κύκλους στα άκρα. Οριζόντια παχιά τμήματα για \(\omega_c < |\omega| \le \pi\), με ανοιχτούς κύκλους στα σημεία \((\pm\omega_c, 0)\). Ετικέτες: \(D(\omega)\), \(\omega\), \(-\pi\), \(-\omega_c\), \(\omega_c\), \(\pi\)]
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2016-09¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα Προφορικής (ελάχιστα τετράγωνα, διαφοριστής)¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Παραδοχή (το τέλος της πρώτης πρότασης λείπει): η ιδανική απόκριση (πλάτους) είναι \(D(\omega)=\omega\) για \(|\omega|\le\omega_c\) και \(0\) για \(\omega_c<|\omega|\le\pi\) (ιδανικός διαφοριστής περιορισμένης ζώνης), περιττή συμμετρία.
Ελάχιστα τετράγωνα = ανάπτυγμα Fourier (ελαχιστοποίηση του \(\int|D-R|^2\) με ορθογώνια βάση). Για περιττή \(D\) και μήκος \(2N+1\): \(h_0=0\), \(h_{-n}=-h_n\) και $\(h_n=\frac1\pi\int_0^{\pi}D(\omega)\sin(n\omega)\,d\omega=\frac1\pi\int_0^{\omega_c}\omega\sin(n\omega)\,d\omega .\)$ Με παραγοντική ολοκλήρωση: \(\int_0^{\omega_c}\omega\sin n\omega\,d\omega=\left[-\frac{\omega\cos n\omega}{n}\right]_0^{\omega_c}+\frac1n\int_0^{\omega_c}\cos n\omega\,d\omega=-\frac{\omega_c\cos n\omega_c}{n}+\frac{\sin n\omega_c}{n^2}\).
Απάντηση: \(h_n=\dfrac1\pi\left[\dfrac{\sin(n\omega_c)}{n^2}-\dfrac{\omega_c\cos(n\omega_c)}{n}\right]\), \(n=1..N\), \(h_0=0\), \(h_{-n}=-h_n\). Η απόκριση πλάτους είναι \(R(\omega)=\sum_{n=1}^{N}a_n\sin n\omega\) με \(a_n=2h_n\) (η αιτιατή μορφή προκύπτει με καθυστέρηση \(N\) δειγμάτων). Ελέγχθηκε αριθμητικά με προσαρμογή ελαχίστων τετραγώνων: οι \(a_n=2h_n\) συμπίπτουν. Το πρόσημο ή ο παράγοντας \(j\) εξαρτάται από τον ορισμό της \(D\) (πλάτος ή πλήρης απόκριση \(j\omega\)).