Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Σεπτέμβριος 2015¶
Η μεταγραφή προέρχεται από τέσσερις φωτογραφίες της εξέτασης Σεπτεμβρίου 2015.
107852496_3250628144994559_7359659518654126107_n.jpg¶
1 Θέματα Σεπτεμβρίου 2015
Ερώτηση 1
Καθορίστε την ελάχιστη δυνατή συχνότητα δειγματοληψίας του σήματος
- [ ] α) 600 Hz
- [ ] β) 150 Hz
- [ ] γ) 100 Hz
- [ ] δ) δεν υπάρχει κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας
Ερώτηση 2
Η συνάρτηση σφάλματος \(E(e^{j\omega}) = D(e^{j\omega}) - R(e^{j\omega})\) που προέκυψε από τη βελτιστοποίηση, με την έννοια του ελαχιστομέγιστου, σχεδίαση ενός FIR φίλτρου περιττού μήκους, όπου \(D(e^{j\omega})\) η απόκριση συχνότητας του ιδανικού συστήματος και \(R(e^{j\omega})\) η απόκριση πλάτους του φίλτρου με το οποίο το προσεγγίζουμε, έχει την παρακάτω μορφή στο διάστημα \([0, \pi]\):
[Σχήμα: γράφημα της διαφοράς \(D-R\) στο διάστημα \([0,\pi]\)· ημιτονοειδής κυματομορφή με περίπου δύο πλήρεις ταλαντώσεις, που τέμνει μια οριζόντια γραμμή σταθερής στάθμης· η στάθμη της γραμμής δεν είναι πλήρως ευανάγνωστη.]
[δυσανάγνωστο] είναι το μέγιστο δυνατό μήκος του βέλτιστου φίλτρου:
- [ ] A. 15
- [ ] B. 13
- [ ] Γ. 9
- [ ] Δ. 6
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες σημειώσεις φοιτητή.
Σελίδα 1
107894703_10224943942452748_7340827064169750540_o.jpg¶
Ερώτηση 12
Στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος με κρουστική απόκριση \(h(n)\) οδηγούμε μια ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης στοχαστική διαδικασία μηδενικής μέσης τιμής. Τι από τα παρακάτω θα πρέπει να ισχύει ώστε η διασπορά της διαδικασίας εξόδου να ταυτίζεται με αυτή της εισόδου:
- [ ] a. \(\|h\|_2^2 = 1\)
- [ ] b. \(\|h\|_1 < \infty\)
- [ ] c. \(\|h\|_2 = \frac{1}{\sigma_w^2}\)
- [ ] d. Να είναι το σύστημα FIR
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
Σελίδα 8
107867406_10224943941532725_5895487270747061371_o.jpg¶
[Λείπει από τη φωτογραφία: «Ερ»]ώτηση 15
Υποθέστε ότι το σήμα συνεχούς χρόνου \(x(t)=200\cdot\cos(1000\pi t)\) δειγματοληπτείται με 800 Hz και στη συνέχεια ανακατασκευάζεται με 1600 Hz. Ποια από τις παρακάτω θα είναι η συχνότητα του ανακατασκευασμένου σήματος;
- [ ] a. 500 Hz
- [ ] b. 1000 Hz
- [ ] c. 600 Hz
- [ ] d. 1200 Hz
Ερώτηση 16
[δυσανάγνωστο] ότι το σήμα συνεχούς χρόνου \(x(t) = 2\cos(52500\pi t)\) δειγματοληπτείται με 1750 Hz και στη συνέχεια ανακατασκευάζεται με 100 KHz. Ποια από τις παρακάτω θα είναι η συχνότητα του ανακατασκευασμένου σήματος;
- [ ] a. 26,5 KHz
- [ ] b. 100 KHz
- [ ] c. 52,5 KHz
- [ ] d. 0 Hz
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες σημειώσεις φοιτητή.
107896233_278690389901032_2384316226515227582_n.jpg¶
[Λείπει από τη φωτογραφία: αριθμός ερώτησης]
Αν στη συνάρτηση μεταφοράς ενός κατωπερατού κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth N-οστής τάξης αντικαταστήσουμε τη μιγαδική συχνότητα \(s \leftarrow 10\pi s\), τι φίλτρο προκύπτει;
- [ ] (a) Κατωπερατό με \(\Omega_c = 10\pi\)
- [ ] (b) Ανωπερατό με \(\Omega_c = \frac{1}{10\pi}\)
- [ ] (c) Κατωπερατό με \(\Omega_c = \frac{1}{10\pi}\)
- [ ] (d) Ανωπερατό με \(\Omega_c = 10\pi\)
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες σημειώσεις φοιτητή.
Σελίδα 16
Λύσεις (🟡 community)
Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: φοιτητικές φωτογραφίες λύσεων (μη επίσημες· συλλογή του μαθήματος)
Προσοχή
Ερώτηση 1: η αιτιολόγηση της φωτογραφίας («το δ(Ω) για Ω=0 απειρίζεται») δεν εξηγεί γιατί αποκλείεται κάθε ρυθμός δειγματοληψίας· ο αντίστροφος μετασχηματισμός του δ(Ω) είναι σταθερή συνιστώσα, οπότε η επιλογή (δ) χρειάζεται επαλήθευση. Η απάντηση δεν τροποποιήθηκε.
Λύσεις — 2015-09¶
107852496_3250628144994559_7359659518654126107_n.jpg¶
Computer Ανάλυση MULTIPLE CHOICE ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
1 Θέματα Σεπτέμβριος 2015
Ερώτηση 1
Καθορίστε την ελάχιστη δυνατή συχνότητα δειγματοληψίας του σήματος \(x(t)=e^{j50\pi t}+5\mathcal{F}^{-1}\{\delta(\Omega)\}\)
- [ ] α) 600 Hz
- [ ] β) 150 Hz
- [ ] γ) 100 Hz
- [ ] δ) δεν υπάρχει κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας [κυκλωμένη επιλογή]
Απάντηση δ)Δεν υπάρχει κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας
Παρατήρηση 1
Υπολογίζουμε το μετασχηματισμό Fourier του σήματος x(t):
\(X(j\Omega)=\mathcal{F}\{x(t)\}=\mathcal{F}\{e^{j50\pi t}\}+5\,\mathcal{F}\{\mathcal{F}^{-1}\{\delta(\Omega)\}\}=\mathcal{F}\{e^{j50\pi t}\}+5\delta(\Omega)\)
Το δ(Ω) για Ω=0 απειρίζεται άρα δεν υπάρχει κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας.
Παρατήρηση 2
Αν δίνεται το σήμα \(x(t)=e^{j50\pi t}=\cos(50\pi t)+\sin(50\pi t)\). Η μέγιστη συχνότητα του σήματος είναι 25 Hz άρα δειγματοληπτείται κανονικά με \(f_s=2\cdot f_{max}=50\) Hz.
Παρατήρηση 3
Αν δίνεται το σήμα \(x(t)=e^{50\pi t}\) τότε αυτό δεν δειγματοληπτείται γιατί είναι εκθετικό σήμα.
Ερώτηση 2
Η συνάρτηση σφάλματος \(E(e^{j\omega})=D(e^{j\omega})-R(e^{j\omega})\) που προέκυψε από τη βελτιστοποίηση, με την έννοια του ελαχιστομεγίστου, σχεδίαση ενός FIR φίλτρου περατού μήκους, όπου \(D(e^{j\omega})\) η απόκριση συχνότητας του ιδανικού συστήματος και \(R(e^{j\omega})\) η απόκριση πλάτους του φίλτρου με το οποίο το προσεγγίζουμε, έχει την παρακάτω μορφή στο διάστημα \([0,\pi]\).
[Σχήμα: γραφική παράσταση της D−R στο [0, π]· ημιτονοειδής καμπύλη με περίπου δύο πλήρεις περιόδους και οριζόντια γραμμή με δυσανάγνωστη ετικέτα· οι τιμές των αξόνων δεν διακρίνονται]
[δυσανάγνωστο] είναι το μέγιστο δυνατό μήκος του βέλτιστου φίλτρου;
- [ ] Α 15
- [ ] Β 13
- [ ] Γ [δυσανάγνωστο] [κυκλωμένη επιλογή]
- [ ] Δ 6
Απάντηση Γ.9
[χειρόγραφη σημείωση στο επάνω δεξί μέρος: δυσανάγνωστη]
[υδατογράφημα "Λύση" επάνω σε μέρος του κειμένου]
Σελίδα 1
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
107894703_10224943942452748_7340827064169750540_o.jpg¶
Ερώτηση 12
Στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήματος με κρουστική απόκριση h(n) οδηγούμε μια ασθενώς στάσιμη 2ης τάξης στοχαστική διαδικασία μηδενικής μέσης τιμής. Τι από τα παρακάτω θα πρέπει να ισχύει ώστε η διασπορά της διαδικασίας εξόδου να ταυτίζεται με αυτή της εισόδου:
- [ ] a. \(\|h\|_2^2 = 1\)
- [ ] b. \(\|h\|_1 < \infty\)
- [ ] c. \(\|h\|_2 = \frac{1}{\sigma_w^2}\)
- [ ] d. Να είναι το σύστημα FIR
Απάντηση
a. \(\|h\|_2^2 = 1\)
Παρατήρηση
Η έξοδος του ΓΧΑ συστήματος είναι η συνέλιξη της εισόδου και της κρουστικής απόκρισης του συστήματος δηλ:
Υπολογίζουμε τη στοχαστική μέση της εξόδου ως εξής (παίρνουμε στοχαστικό μέσο όρο και στα 2 μέρη της προηγούμενης ισότητας):
Επειδή η είσοδος X(t) είναι ασθενώς στάσιμη διαδικασία 1ης τάξης, η στοχαστική μέση τιμή της είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Θέλουμε η έξοδος να είναι ίση με την είσοδο, άρα και οι στοχαστικές μέσες τιμές τους θα είναι ίσες δηλ. \(m_y = m_x\), άρα \(H(j\omega)\big|_{\omega=0} = 1\)
Σημείωση
Αν έδινε σήματα συνεχούς χρόνου θα κάναμε τα εξής:
Η έξοδος του ΓΧΑ συστήματος είναι η συνέλιξη της εισόδου και της κρουστικής απόκρισης του συστήματος δηλ:
Υπολογίζουμε τη στοχαστική μέση της εξόδου ως εξής (παίρνουμε στοχαστικό μέσο όρο και στα 2 μέρη της προηγούμενης ισότητας):
και επειδή η είσοδος X(t) είναι ασθενώς στάσιμη διαδικασία 1ης τάξης η στοχαστική μέση τιμή της είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Θέλουμε η έξοδος να είναι ίση με την είσοδο, άρα και οι στοχαστικές μέσες τιμές τους θα είναι ίσες δηλ. \(m_y = m_x\), άρα \(H(j\Omega)\big|_{\Omega=0} = 1\)
Παρατήρηση
- Ο λευκός θόρυβος είναι ασθενώς στάσιμη διαδικασία 1ης τάξης και 2ης τάξης διότι η στοχαστική μέση του είναι 0 και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του λευκού θορύβου είναι \(R_{ww}(n_1,n_2) = R_{ww}(n_1,n_2) \bullet \delta(n_1-n_2)\) που σημαίνει ότι εξαρτάται μόνο από τη διαφορά των χρονικών στιγμών.
- Άρα το σήμα που οδηγούμε στην είσοδο αυτού του συστήματος είναι ουσιαστικά λευκός θόρυβος.
- Γνωρίζουμε ότι: \(\sigma_y^2 = \sigma_w^2 \bullet \|h_n\|_2^2 \Rightarrow \sigma_y^2 = \sigma_w^2 \bullet \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} h_n^2\right)\). Άρα για να έχουμε \(\sigma_y^2 = \sigma_w^2\) πρέπει \(\|h_n\|_2^2 = 1\).
Σελίδα 8
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
107867406_10224943941532725_5895487270747061371_o.jpg¶
[αποκομμένο]ηση 15
Computer Ανάλυση
Υποθέστε ότι το σήμα συνεχούς χρόνου \(x(t)=200\bullet\cos(1000\pi t)\) δειγματοληπτείται με 800 Hz και στη συνέχεια ανακατασκευάζεται με 1600 Hz. Ποια από τις παρακάτω θα είναι η συχνότητα του ανακατασκευασμένου σήματος;
- [ ] a. 500 Hz
- [ ] b. 1000 Hz
- [ ] c. 600 Hz
- [ ] d. 1200 Hz
[Σημείωση πηγής: κύκλος γύρω από την επιλογή c]
Απάντηση
c. 600 Hz
Παρατήρηση
Βήμα 1-Αναδίπλωση Συχνοτήτων
| Συνθήκη ΜΗ αναδίπλωσης συχνοτήτων | \(f_0 \le \frac{f_s}{2}\) |
|---|---|
Εδώ ισχύει ότι \(f_0 = 500 \le \frac{f_s}{2} = 400\).
Κάνουμε αναδίπλωση σύμφωνα με τη 2η συνθήκη: \(\frac{f_1}{2} = 200 < f_2 = 500 < f_s = 800\) άρα \(f_s' = f_s - f_0 = 800 - 500 = 300\) Hz.
Βήμα 2-Δειγματοληψία
Από τον τύπο \(\omega = \Omega T_s = \frac{\Omega}{f_s} = \frac{2\pi f}{f_s} = \frac{2\pi \cdot 300}{800} \Rightarrow \omega = \frac{3\pi}{4}\) προκύπτει ότι η συχνότητα του ψηφιακού σήματος είναι \(\omega = 3\pi/4\).
Εναλλακτικά στο σήμα \(x(t)=200\bullet\cos(2\pi 300t)\) θέτω όπου \(t=nT_s\) και προκύπτει ότι: \(x(n)=200\bullet\cos(2\pi 300n/f_s)\).
Άρα \(\omega=2\pi 300n/800 \Rightarrow \omega=3\pi/4\).
Βήμα 3-Ανακατασκευή
Κάνουμε ανακατασκευή με \(f_{AN}=1600\) και από τον τύπο:
\(\omega = \Omega T_{AN} = \frac{\Omega}{f_{AN}} = \frac{2\pi f}{f_{AN}} \Rightarrow f = \frac{\omega \cdot f_{AN}}{2\pi} \Rightarrow f = f' = \frac{\frac{3\pi \cdot 1600}{4}}{2\pi} \Rightarrow f = 600\) Hz προκύπτει ότι η συχνότητα του ανακατασκευασμένου αναλογικού σήματος είναι 600 Hz.
Ερώτηση 16
[δυσανάγνωστο] ότι το σήμα συνεχούς χρόνου \(x(t) = 2\cos(52500\pi t)\) δειγματοληπτείται με 1750 Hz και στη συνέχεια ανακατασκευάζεται με 100 KHz. Ποια από τις παρακάτω θα είναι η συχνότητα του ανακατασκευασμένου σήματος
- [ ] a. 26,5 KHz
- [ ] b. 100 KHz
- [ ] c. 52,5 KHz
- [ ] d. 0 Hz
[Σημείωση πηγής: κύκλος γύρω από την επιλογή d]
Απάντηση
d. 0 Hz
Παρατήρηση
Βήμα 1-Αναδίπλωση Συχνοτήτων
| Συνθήκη ΜΗ αναδίπλωσης συχνοτήτων | \(f_0 \le \frac{f_s}{2}\) |
|---|---|
[Το κείμενο της σελίδας συνεχίζεται εκτός της φωτογραφίας.]
[Σημείωση: διαγώνιο υδατογράφημα επικαλύπτει τμήματα του κειμένου (κυρίως στα Βήματα 1 και 2 της Ερώτησης 15 και στην Ερώτηση 16). Το κάτω τμήμα της φωτογραφίας είναι σκιασμένο. Περιθωριακά κείμενα από άλλη σελίδα δεν μεταφέρονται.]
107896233_278690389901032_2384316226515227582_n.jpg¶
Computer Ανάλυση
Αν στη συνάρτηση μεταφοράς ενός κατωπερατού κανονικοποιημένου φίλτρου Butterworth N-οστής τάξης αντικαταστήσουμε τη μιγαδική συχνότητα \(s \leftarrow 10\pi s\), τι φίλτρο προκύπτει;
- [ ] (a) Κατωπερατό με \(\Omega_c = 10\pi\)
- [ ] (b) Ανωπερατό με \(\Omega_c = \frac{1}{10\pi}\)
- [ ] (c) Κατωπερατό με \(\Omega_c = \frac{1}{10\pi}\) [κυκλωμένο χειρόγραφα]
- [ ] (d) Ανωπερατό με \(\Omega_c = 10\pi\)
Απάντηση
(c) Κατωπερατό με \(\Omega_c = \frac{1}{10 \bullet \pi}\)
Παρατήρηση
| \(H_{2,\text{κατωπερατό}}(s)\) / \(H_{1,\text{κατωπερατό}}(s)\) | \(s = \frac{s}{\Omega_c}\), εδώ \(\Omega_c = \frac{1}{10 \bullet \pi}\) | Κανονικοποιημένο Κατωπερατό Butterworth 2ης τάξης | Κατωπερατό Butterworth 2ης τάξης |
|---|---|---|---|
Αντικαταστάσεις
| # | Στον τύπο | Θέτω | Από Φίλτρο | Προκύπτει Φίλτρο |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\lvert H(j\Omega)\rvert^2 = \frac{1}{1+\left(\frac{\Omega}{\Omega_c}\right)^{2N}}\) | \(\Omega^N \leftarrow T_N\left(\frac{\Omega}{\Omega_c}\right)\) | Κατωπερατό Butterworth | Κατωπερατό Chebyshev 1ου τύπου |
| 2 | \(\Omega^N \leftarrow T_N\left(\frac{\Omega_c}{\Omega}\right)\) | Κατωπερατό Butterworth | Ανωπερατό Chebyshev 1ου τύπου | |
| 3 | \(\Omega^N \leftarrow T_N\left(\frac{\Omega}{\Omega_c}\right)\); \(\lvert H(j\Omega)\rvert^2 \leftarrow 1-\lvert H(j\Omega)\rvert^2\) | Κατωπερατό Butterworth | Κατωπερατό Chebyshev 2ου τύπου | |
| 4 | \(\Omega^N \leftarrow T_N\left(\frac{\Omega_c}{\Omega}\right)\); \(\lvert H(j\Omega)\rvert^2 \leftarrow 1-\lvert H(j\Omega)\rvert^2\) | Κατωπερατό Butterworth | Υψιπερατό Chebyshev 2ου τύπου | |
| 5 | \(\lvert H(j\Omega)\rvert^2 = \frac{1}{1+\Omega^{2N}}\) | \(\Omega^N \leftarrow T_N(\Omega)\) | Κανονικοποιημένο Κατωπερατό Butterworth | Κανονικοποιημένο Κατωπερατό Chebyshev 1ου τύπου |
| 6 | \(\Omega^N \leftarrow T_N\left(\frac{1}{\Omega}\right)\) | Κανονικοποιημένο Κατωπερατό Butterworth | Κανονικοποιημένο Ανωπερατό Chebyshev 1ου τύπου | |
| 7 | \(\Omega^N \leftarrow T_N\left(\frac{\Omega}{\Omega_c}\right)\); \(\lvert H(j\Omega)\rvert^2 \leftarrow 1-\lvert H(j\Omega)\rvert^2\) | Κανονικοποιημένο Κατωπερατό Butterworth | Κατωπερατό Chebyshev 2ου τύπου | |
| 8 | \(\Omega^N \leftarrow T_N\left(\frac{1}{\Omega}\right)\); \(\lvert H(j\Omega)\rvert^2 \leftarrow 1-\lvert H(j\Omega)\rvert^2\) | Κανονικοποιημένο Κατωπερατό Butterworth | Κανονικοποιημένο Υψιπερατό Chebyshev 2ου τύπου |
Σελίδα 16
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.