Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Ιούνιος 2015¶
Η μεταγραφή προέρχεται από τις φωτογραφίες 107600846 και 107792415 της εξέτασης Ιουνίου 2015· οι 108133296 και yeet_2.jpg είναι επαναλήψεις της σελίδας της Ερώτησης 1 και χρησιμοποιήθηκαν μόνο για έλεγχο.
107600846_562419381102422_4540101780657778454_n.jpg¶
2 Θέματα Ιουνίου 2015
Ερώτηση 1
Θεωρήστε ότι στην είσοδο ενός πραγματικού, αιτιατού FIR φίλτρου μήκους \(2N + 1\) οδηγείται λευκό θόρυβο μέσης ισχύος \(\sigma_w^2\).
Ποια η μέση ισχύς της εξόδου;
- [ ] \((a)\ \sigma_w^2 \sum_{n=0}^{2N} h_n^2\)
- [ ] \((b)\ \sigma_w^2 |H(1)|\)
- [ ] \((c)\ (2N+1)\sigma_w^2\)
- [ ] \((d)\ (N+1)\sigma_w^2\)
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
[Λείπει από τη φωτογραφία: Ερωτήσεις 2–3]
107792415_377861309842412_2063789981857170087_n.jpg¶
[Λείπει από τη φωτογραφία: εκφώνηση της Ερώτησης 3· το πάνω μέρος της σελίδας είναι λύση της.]
Ερώτηση 4
Θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα FIR φίλτρο μήκους \(2N+1\), που θα προσεγγίζει την [δυσανάγνωστο] συμμετρίας απόκριση συχνότητας ενός ιδανικού συστήματος, με την τεχνική των σειρών Fourier. Ποια σχέση θα χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό των βέλτιστων συντελεστών;
- [ ] \(a.\ h_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D(e^{j\omega})\, e^{-jn\omega}\, d\omega\)
- [ ] \(b.\ h_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega})\cos(n\omega)\, d\omega\)
- [ ] \(c.\ h_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega})\sin(n\omega)\, d\omega\)
- [ ] \(d.\ h_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} D(e^{j\omega})\, e^{-jn\omega}\, d\omega\)
Ερώτηση 5
Θεωρείστε ότι για ένα FIR φίλτρο περιττού μήκους ικανοποιούνται τα ακόλουθα: (α) η \(R(e^{j\omega})\) είναι άρτια (β) είναι γραμμικής φάσης. Τι είδους συμμετρία θα έχει η κρουστική του απόκριση;
- [ ] A. Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε
- [ ] B. Άρτια
- [ ] Γ. Περιττή
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
Σελίδα 3
Λύσεις (🟡 community)
Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: φοιτητικές φωτογραφίες λύσεων (μη επίσημες· συλλογή του μαθήματος)
Προσοχή
Ερώτηση 1: η γραπτή «Απάντηση» γράφει άνω όριο αθροίσματος N−1, ενώ η επιλογή (a) της εκφώνησης και η παραγωγή της ίδιας λύσης δίνουν άνω όριο 2N. Η παραγωγή συμφωνεί με την επιλογή (a) της εκφώνησης με άνω όριο 2N· δεν διορθώθηκε η απάντηση. Ερώτηση 5: η απάντηση «Γ. Περιττή» δεν συμβαδίζει με τη θεωρία: σε γραμμικής φάσης FIR περιττού μήκους με άρτια R(e^{jω}) η κρουστική απόκριση είναι συμμετρική (άρτια), δηλαδή η επιλογή «B. Άρτια». Η απάντηση δεν τροποποιήθηκε· χρειάζεται έλεγχος. Η εκφώνηση της Ερώτησης 3 λείπει από τις φωτογραφίες· η παρατήρηση «K+1=6, K=5, L=9» δεν μπορεί να ελεγχθεί απέναντι στην εκφώνησή της.
Λύσεις — 2015-06¶
107600846_562419381102422_4540101780657778454_n.jpg¶
[Σχήμα: διαγώνιο γκρι υδατογράφημα πάνω από μέρος του κειμένου]
2 Θέματα Ιουνίου 2015
Ερώτηση 1
Θεωρήστε ότι στην είσοδο ενός πραγματικού, αιτιατού FIR φίλτρου μήκους \(2N + 1\) οδηγείται λευκό θόρυβο μέσης ισχύος \(\sigma_w^2\).
Ποια η μέση ισχύς της εξόδου;
- [ ] \((a)\ \sigma_w^2 \sum_{n=0}^{2N} h_n^2\)
- [ ] \((b)\ \sigma_w^2 |H(1)|\)
- [ ] \((c)\ (2N+1)\sigma_w^2\)
- [ ] \((d)\ (N+1)\sigma_w^2\)
Απάντηση
(α) \(\sigma_w^2 \cdot \left(\sum_{n=0}^{N-1} h_n^2\right)\)
Παρατήρηση
Αναλυτική Λύση
Βήμα 1-ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΕΞΟΔΟ ΩΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΕΙΣΟΔΟΥ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ
δηλαδή η έξοδος είναι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων όπου \(\underline{h} = [h(0)\ \ h(1)\ \ h(2)\ \ \ldots]\) είναι το διάνυσμα με τους όρους της κρουστικής απόκρισης και
είναι το διάνυσμα με τους όρους του θορύβου.
Βήμα 2-ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΕΞΟΔΟΥ
Βήμα 3-ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΤΗΣ ΕΞΟΔΟΥ
Παρατήρηση
Η μέση ισχύς είναι η διασπορά.
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
107792415_377861309842412_2063789981857170087_n.jpg¶
Παρατήρηση
Τα σημεία με διαδοχική εναλλαγή προσήμου και μέγιστο σφάλμα κατά απόλυτη τιμή είναι \(K+1=6\Rightarrow K=5\). Άρα το μέγιστο δυνατό μήκος του φίλτρου είναι \(L=2\cdot5-1=9\).
Ερώτηση 4
Θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα FIR φίλτρο μήκους \(2N+1\), που θα προσεγγίζει την κεντρικής συμμετρίας απόκριση συχνότητας ενός ιδανικού συστήματος, με την τεχνική των σειρών Fourier. Ποιά σχέση θα χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό των βέλτιστων συντελεστών;
- [ ] a. \(h_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D(e^{j\omega})\,e^{-jn\omega}\,d\omega\)
- [ ] b. \(h_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D(e^{j\omega})\cos(n\omega)\,d\omega\)
- [ ] c. \(h_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D(e^{j\omega})\sin(n\omega)\,d\omega\)
- [ ] d. \(h_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D(e^{j\omega})\,e^{-jn\omega}\,d\omega\)
Απάντηση
B. \(\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D(e^{j\omega})\cdot\cos(n\omega)\,d\omega\)
Παρατήρηση
Οι όροι της κρουστικής απόκρισης σύμφωνα με τη σειρά Fourier είναι:
\(h_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D(e^{j\omega})\cdot e^{-jn\omega}e^{jN\omega}\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D(e^{j\omega})\cdot(\cos(n\omega)-j\sin(n\omega))\,d\omega=\)
\(=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D(e^{j\omega})\cdot\cos(n\omega)\,d\omega-j\,\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D(e^{j\omega})\cdot\sin(n\omega)\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\,2\int_{0}^{\pi}D(e^{j\omega})\cdot\cos(n\omega)\,d\omega=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D(e^{j\omega})\cdot\cos(n\omega)\,d\omega\)
Η συνάρτηση \(D(e^{j\omega})\cdot\sin(n\omega)\) είναι άρτια (Περιττή · Περιττή) και το ολοκλήρωμα άρτιας συνάρτησης σε μια περίοδο κάνει 0 άρα το ολοκλήρωμα \(\int_{-\pi}^{\pi}D(e^{j\omega})\cdot\sin(n\omega)\,d\omega=0\).
Παρατήρηση
Αν δίνε[δυσανάγνωστο] απόκριση συχνότητας άρτιας συμμετρίας τότε \(=-j\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}D(e^{j\omega})\cdot\sin(n\omega)\,d\omega\)
Ερώτηση 5
Θεωρείστε ότι για ένα FIR φίλτρο περιττού μήκους ικανοποιούνται τα ακόλουθα: (α) η \(R'(\exp(j\omega))\) είναι άρτια (β) είναι γραμμικής φάσης. Τι είδους συμμετρία θα έχει η κρουστική του απόκριση;
- [ ] A. Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε
- [ ] B. Άρτια
- [ ] Γ. Περιττή
Απάντηση
Γ. Περιττή
Παρατήρηση
Ισχύει ότι \(R(e^{j\omega})=R_{\text{[δυσανάγνωστο]}}(e^{j\omega})+R_{\text{[δυσανάγνωστο]}}(e^{j\omega})\) και
Σελίδα 3
[Υδατογράφημα: μεγάλο διαγώνιο γκρι κείμενο, δυσανάγνωστο]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.