Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Σεπτέμβριος 2007¶

Η μεταγραφή προέρχεται από το στιγμιότυπο Screenshot_1.png.

Screenshot_1.png¶

3.2.2.1 Θέμα 2 Σεπτέμβριος 2007

Σχεδιάστε ένα FIR φίλτρο γραμμικής φάσης μήκους \(2N+1\) που θα προσεγγίζει βέλτιστα την ιδανική συνάρτηση

\[D(\omega) = \sum_{n=0}^{N+1} \alpha_n \cos^n(\omega)\]

i) κατά την έννοια min-max (\(L_\infty\))

ii) κατά την έννοια του μέσου υπετραγωνικού σφάλματος (\(L_2\))

[Το κάτω μέρος της εικόνας είναι κομμένο· ενδέχεται να υπάρχει συνέχεια του θέματος.]

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: migrated from previous_exams.md (Antigravity, 2026-10)

Προσοχή

Η λύση μεταφέρεται αυτούσια από το παλιό αρχείο, όπου το κείμενο των μαθηματικών έχει σπάσει (OCR). Δεν έχει ελεγχθεί· τα τελικά αποτελέσματα των δύο ερωτημάτων (min-max και L2) χρειάζονται επαλήθευση πριν από χρήση. Η μεταγραφή του θέματος (Screenshot_1.png) είναι κομμένη στο κάτω μέρος, ενώ η λύση μπορεί να αντιστοιχεί στο πλήρες θέμα· η αντιστοίχιση γίνεται με βάση το ίδιο κείμενο της εκφώνησης.

Λύσεις — Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων — Σεπτέμβριος 2007¶

Λύση Βήμα 1-Απλοποίηση της Ιδανικής Απόκρισης Συχνότητας D(ω) Η ιδανική απόκριση του συστήματος δίνεται ως:     1N 0n n n )(ωcosa)ω(D
Θα χρησιμοποιήσουμε πολυώνυμα Chebyshev για να φέρουμε την D(ω) σε απλούστερη μορφή δηλ. να εξαλείψουμε τον εκθέτη του cos). Τα πολυώνυμα Chebyshev ορίζονται από την αναδρομική σχέση )x(c)x(xc2)x(c 2N1NN   με αρχικές συνθήκες
1)x(c0  και x)x(c1 

Πρώτα εφαρμόζουμε 2 παραδοχές στο πολυώνυμο Chebyshev: Συγκεκριμένα θέτουμε το  Ncos)x(cN  και το )ωcos(x  προκειμένου να χρησιμοποιήσουμε (εμφανίσουμε) το cos μέσα στο πολυώνυμο Chebyshev. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τους επόμενους όρους του πολυωνύμου Chebyshev μετά τους αρχικούς c0(x) και c1(x) οι οποίοι είναι γνωστοί.

Για Ν=2: 1)ω(cos21)ωcos()ωcos(2)x(c)x(xc2)ω2cos()x(c 2 012 
Για Ν=3:  ωcos3)ω(cos4)ωcos()1)ω(cos2()ωcos(2)x(c)x(xc2)ω3cos()x(c 32 122 
Για Ν=4:    1)ω(cos8)ω(cos8)1)ω(cos2(ωcos3)ω(cos4)ωcos(2)x(c)x(xc2)ω4cos()x(c 2423 234 
Άρα στη γενική περίπτωση έχουμε:

  )nωcos(γωcos )nω(cos ...... )ω3(cos )ω2(cos )ωcos( A )ω(cos ...... )ω(cos )ω(cos )ωcos( )ω(cos ...... )ω(cos )ω(cos )ωcos( Α )nω(cos ...... )ω3(cos )ω2(cos )ωcos( n n1 n 3 2 n 3 2                                                                              όπου γn τυχαίος συντελεστής.

Έτσι εξαλείφουμε τον εκθέτη του cos και η ιδανική απόκριση συχνότητας παίρνει τη μορφή:     1N 0n nn )nωcos(γα)ω(D

Βήμα 2-Σχεδίαση Πραγματικής Απόκρισης Συχνότητας R(ω) Οι όροι της κρουστικής απόκρισης είναι οι εξής: h0 h1 …… hN-1 hN hN+1 …… h2N βΝ β1 β0 β1 βΝ Τα β 0, β 1, …, βΝ είναι οι συντελεστές της πραγματικής απόκρισης συχνότητας που πρέπει να υπολογίσουμε (δηλ. οι άγνωστοι). Η πραγματική απόκριση συχνότητας είναι R(ω)= β0+2β1cos(ω)+ 2β2cos(2ω)+…..+2βΝcos(Nω)

Βήμα 3-Υπολογισμός Σφάλματος μεταξύ Ιδανικής και Πραγματικής Απόκρισης Συχνότητας       ω1Ncosγα)ωcos()β2γα( .....)ω2cos()β2γα()ωcos()β2γα()βγα(Ε(ω))ωcos(β2......)ω2cos(β2 )ωcos(β2β)ω)1(cos(γα)Νωcos(γα...)2ωcos(γα)ωcos(γαγαΕ(ω) ωRωDΕ(ω) 11ΝΝNΝ 222111000Ν2 101Ν1ΝΝΝ221100      

[Σελίδα 105] Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων - Computer Ανάλυση Σελίδα 105-Computer Ανάλυση

Μέθοδος Min-Max (L) Ο σκοπός της μεθόδου Min -Max είναι να ελαχιστοποιήσουμε το σφάλμα μεταξύ ιδανικής και πραγματικής απόκρισης συχνότητας. Για να βρούμε το ελάχιστο σφάλμα μεταξύ ιδανικής και πραγματικής απόκρισης πρέπει να μηδενίσουμε τη συνάρτηση σφάλματος
E(ω) εφόσον βέβαια αυτό είναι εφικτό. Οι όροι της E(ω) που μπορούμε να μηδενίσουμε είναι όλοι εκτός του τελευταίου (γιατί δεν μπορούμε να μηδενίσουμε συντελεστές της ιδανικής απόκρισης συχνότητας . Από το μηδενισμό αυτών των όρων προκύπτουν οι ακόλουθοι συντελεστές βi:  000 γαβ 
 2 γαβ 11 1 
 2 γαβ 22 2 
……..……..…  2 γαβ N Ν 
 Ο ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΣ ΟΡΟΣ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ δηλ. ο όρος
  ω1Ncosγα 11Ν  ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΜΗΔΕΝΙΣΤΕΙ
όπως αναφέραμε, ΑΡΑ ΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΕΙΝΑΙ 1)ω)cos((Nγα)ω(E 1N1Nmin  

Τώρα προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε αυτό το ελάχιστο σφάλμα σύμφωνα με τη μέθοδο min-max. Οι όροι 1N1N γ,α  είναι σταθεροί συντελεστές οπότε δεν μπορούν να τροποποιηθούν, άρα ο μόνος όρος που μπορούμε να τροποποιήσουμε, ώστε να μεγιστο- ποιηθεί το σφάλμα , είναι το 1)ω)cos((N . Σύμφωνα με το μέθοδο Min-Max, πρέπει να επιλέξουμε τόσες συχνότητες όσο ι είναι και οι άγνωστοι β0, β1, β2,…,βΝ, δmax (πλήθος αγνώστων Ν+2) έτσι ώστε να ικανοποιείται το θεώρημα εναλλαγής. Σύμφωνα με αυτό:  Η συνάρτηση σφάλματος Ε(ω) πρέπει να εμφανίζει διαδοχική εναλλαγή προσήμου σε αυτές τις Ν+2 συχνότητες  Η συνάρτηση σφάλματος Ε(ω) πρέπει να μεγιστοποιείται κατά απόλυτη τιμή σε αυτές τις Ν+2 συχνότητες.
 Οι δύο προηγούμενες συνθήκες του Θεωρήματος Εναλλαγής ικανοποιούνται επιλέγοντας 1 kπω 
 Το μέγιστο σφάλμα που προκύπτει με αυτή την επιλογή του ω είναι: 1Ν1Νmax γαδ 
Η συνάρτηση σφάλματος απεικονίζεται γραφικά ως εξής:

-1 1 ω Ε(ω)

[Σελίδα 106] Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων - Computer Ανάλυση Σελίδα 106-Computer Ανάλυση

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων ή Μέθοδος Μέσου Τετραγωνικού Σφάλματος (L2) Οι βέλτιστοι συντελεστές με τη μέθοδο του μέσου τετραγωνικού σφάλματος δίνονται από τον τύπο:

    N0,1..,k ,dω kωcos )nωcos(γα2π 1 dω)kωcos()nωcos(γα π2 1dω )kωcos()D(eπ2 1β 1N 0n π π nn π π 1Ν 0n nn π π jω k               (1)

Στην τελευταία σχέση έχουμε κάνει εναλλαγή μεταξύ του αθροίσματος και του ολοκληρώματος. Επίσης στην τελευταία σχέση έχο υ- με συμβολίσει με το δείκτη k τους συντελεστές βk της πραγματικής απόκρισης και με το δείκτη n τους συντελεστές an της ιδανικής απόκρισης και αυτό γιατί έχουν διαφορετικό πλήθος. Συγκεκριμένα το πλήθος των συντελεστών της πραγματικής απόκρισης είναι Ν+1 δηλ. για k=0…N, ενώ το πλήθος των συντελεστών της ιδανικής απόκρισης είναι Ν+2 δηλ. για n=0…N+1
Υπολογίζουμε τώρα το ολοκλήρωμα   π π- dω kωcos )nωcos( . Γνωρίζουμε ότι  )bacos()bacos(2 1)bcos()acos(  . Άρα  ω)kncos(ω)kncos(2 1)kωcos()nωcos(  . Αντικαθιστούμε τον τύπο αυτό μέσα στο ολοκλήρωμα και προκύπτει :   dωω)kncos(2 1dωω)kncos(2 1kωcos)nωcos( π π π π π π   

Για τον υπολογισμό του πρώτου ολοκληρώματος     π π dωω)kn(cos2 1 διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:  Αν n+k=0k=-n τότε   πdω2 1dωω0cos2 1 π π π π   
 Αν n+k0k-n τότε   0dωω)kncos(2 1 π π-  ως ολοκλήρωμα άρτιας συνάρτησης σε μια περίοδο Αυτές οι δύο περιπτώσεις συνδυάζονται σε μια γράφοντας:   (2) knδdωω)kncos(2 1 π π-  

Για τον υπολογισμό του δεύτερου ολοκληρώματος     π π dωω)kn(cos2 1 διακρίνουμε επίσης 2 περιπτώσεις:  Αν n-k=0k=n τότε   πdω2 1dωω0cos2 1 π π π π   
 Αν n-k0kn τότε   0dωω)kncos(2 1 π π   ως ολοκλήρωμα άρτιας συνάρτησης σε μια περίοδο Αυτές οι δύο περιπτώσεις συνδυάζονται σε μια γράφοντας:   (3) knδdωω)kncos(2 1 π π-  

Αντικαθιστούμε τις σχέσεις (2) και (3) στη σχέση (1) και προκύπτει:       knπδknπδγα2π 1βdωkωcos)nωcos(γα2π 1β 1N 0n nnk 1N 0n π π nnk              για k=0,1….,N

Διακρίνουμε πάντα τις δύο ακόλουθες περιπτώσεις:  Για k=0 προκύπτει: 00 1Ν 0n nn 1Ν 0n nn 1Ν 0n nn0 γαδ(n)γαπδ(n)2γα2π 1)πδ(n)n)(πδ(γα2π 1β        
 Για k=1,2…Ν προκύπτει: 2 γαγπα2π 1k)πδ(nγα2π 1)k)πδ(nk)n(πδ(γα2π 1β kk kk 1N 0 nn 1N 0n nnk       n

[Σελίδα 107] Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων - Computer Ανάλυση Σελίδα 107-Computer Ανάλυση Συνεπώς οι συντελεστές της πραγματικής απόκρισης είναι         N,...,2,1k2 γα 0kγα β kk 00 k

Παρατηρούμε ότι οι βέλτιστοι συντελεστές με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων είναι ίδιοι με τους βέλτιστους συντελεστές της μεθόδου min -max. Αυτό ισχύει πάντα αφού οι δύο μέθοδοι είναι ισοδύναμες. Αφού οι συντελεστές είναι ίδιοι άρα και το σφάλμα είναι το ίδιο.

Η φάση του φίλτρου είναι ωω2 112ω2 1Lφ(ω) 

ΒΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν     2N 0n n )nωcos(dD(ω) τότε για να σχεδιάσουμε φίλτρο μήκους Ν το σφάλμα που θα προέκυπτε θα ήταν:
     ω2Ncosdω1NcosdE(ω) 2N1N  

 Αν 0d 1N  τότε 2Ν kπωk  άρα θα έχουμε Ν+3 εναλλαγές  Αν 0d 2N  τότε 2Ν kπωk  άρα θα έχουμε Ν+2 εναλλαγές  Αν 0d και 0d 2N1N   τότε δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι έχουμε βέλτιστη λύση. Πρέπει να λύσουμε το πρ ό- βλημα σε υπολογιστή με επαναληπτικές μεθόδους

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή