Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων — Ιούνιος 2025¶
2025-06-24_9.39.32_.png¶
1) Πότε ένα σύστημα περιγράφεται πλήρως από τη κρουστική του απόκριση;
Ποια η σχέση της κρουστικής απόκρισης με την είσοδο και την έξοδο.
Τι διάσταση έχει η κρουστική απόκριση για ΓΧΑ σύστημα.
Ποιος ο ρόλος των όρων της κρουστικής απόκρισης.
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2025-06¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1α¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Όταν το σύστημα είναι γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο (ΓΧΑ) και σε ηρεμία (μηδενικές αρχικές συνθήκες): η \(h(t)=\mathcal S\{\delta(t)\}\) καθορίζει την απόκριση σε οποιαδήποτε είσοδο. Για μη γραμμικά ή χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα δεν αρκεί. Επίσης η \(h\) είναι εξωτερική περιγραφή: δεν φαίνονται μη ελέγξιμοι/μη παρατηρήσιμοι τρόποι.
Θέμα 1β¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
$\(y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)x(t-\tau)\,d\tau\)$ (διακριτός χρόνος: \(y(n)=\sum_k h(k)x(n-k)\)). Η \(h\) είναι η έξοδος για είσοδο \(\delta\). Στο πεδίο συχνότητας \(Y=HX\) με \(H=\mathcal L\{h\}\) (συνάρτηση μεταφοράς)· για \(s=j\Omega\) η απόκριση συχνότητας.
Θέμα 1γ¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Για σύστημα μιας εισόδου–μιας εξόδου η \(h\) είναι μία βαθμωτή συνάρτηση μίας μεταβλητής (\(t\) ή \(n\)). Για \(m\) εισόδους και \(p\) εξόδους είναι πίνακας \(p\times m\): \(h(t)=Ce^{At}B\,u(t)+D\delta(t)\) (ο \(e^{At}\) είναι \(n\times n\) για τάξη \(n\)). Αν το «διάσταση» αφορά μονάδες, η \(h\) έχει μονάδες εξόδου ανά (είσοδο·χρόνο).
Θέμα 1δ¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Η \(h(t)=\sum_i r_i e^{p_it}\) (και όροι \(t^ke^{p_it}\) για πολλαπλούς πόλους) είναι άθροισμα ιδιομορφών: οι πόλοι \(p_i\) καθορίζουν τη δυναμική — \(\mathrm{Re}\,p_i<0\) φθίνουσα (ευστάθεια), \(\mathrm{Re}\,p_i>0\) αύξουσα (αστάθεια), \(\mathrm{Im}\,p_i\ne0\) ταλάντωση — και οι συντελεστές \(r_i\) το βάρος κάθε ιδιομορφής. Ο όρος \(d\,\delta(t)\) αναπαριστά την ακαριαία μετάδοση εισόδου–εξόδου. Το σύστημα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές αν \(\int|h(t)|dt<\infty\).