Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων — Σεπτέμβριος 2024¶
CamScanner_2024-09-18_19.27.jpg¶
Θέματα 1ο Τμήμα 18/9 17:30 (CD)
1) Πότε ένα σύστημα περιγράφεται πλήρως απο τη κρουστική του απόκριση; Ποια η σχέση της κρουστικής απόκρισης με την είσοδο και την έξοδο; Τι διάσταση έχει η κρουστική απόκριση για ΓΧΑ σύστημα; Ποιος ο ρόλος των όρων της κρουστικής απόκρισης;
2) Έδινε \(\{A, b, c, d\}\) (\(A\ 2\times 2\), \(b\ 2\times 1\), \(c\ 2\times 1\), \(d = 2\) δεν θυμάμαι τι είχε το καθένα) Μπορεί με ανατροφοδότηση κατάστασης το σύστημα να γίνει σταθεροποιήσιμο;
3) Στο σχήμα 2 δίνεται \(\mathcal{F}\{u(t)\}\). Σχεδίασε τη γραφική παράσταση του Μετασχηματισμού Fourier της εξόδου \(z(t)\) * σημείωση: το Σχήμα 1 είναι η \(H(j\Omega)\) του συστήματος με είσοδο \(v(t)\) και έξοδο \(z(t)\).
[Σχήμα: Σχήμα 1: Σύστημα με είσοδο \(u(t) \otimes \cos(5\pi t) \to v(t) \to [H(j\Omega)] \to z(t)\), όπου \(H(j\Omega)\) είναι ορθογώνιος παλμός εύρους \([-5\Omega_0, -3\Omega_0]\) με ύψος 1. Σχήμα 2: Τριγωνικό φάσμα του \(u(t)\) με βάση από \(-2\Omega_0\) έως \(12\Omega_0\) και κορυφή ύψους 1 στο 0.]
CamScanner_2024-09-18_19.29.jpg¶
ΠΙΝΑΚΑΕΣ!
1) Δίνεται \(H(j\Omega) = \Omega^2\) και είσοδος \(x(t) = \cos(5\pi 100 t)\). Βρείτε την έξοδο του συστήματος.
2) Βρείτε το ML i) \(\cos(8\pi 100 t)\) ii) \(u(t)\)
3) Δίνεται \(A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}\) (νομίζω) \(b = 2 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\) Αποφανθείτε αν το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές.
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
viber_image_2024-09-18_13-17-02-543.jpg¶
Πίνακας:
1) \(\int_{-2}^{\infty} (\delta(t+3) - \delta^{(m)}(t)) f(t) dt\).
με βάση το \((m)\).
Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:
κ' πότε αυτό δεν ορίζεται.
2) \(x(t) = \cos(2\pi - 30t)\), βρείτε το συχνοτικό περιεχόμενο στο \(t - 2\).
3) Διατυπώστε την έννοια της ελεγξιμότητας για ΓΧΑ σύστημα
cd:
1) Σύστημα:
[Σχήμα: Ορθογώνιο τρίγωνο στο μιγαδικό επίπεδο με άξονες \(\text{Im}\,z\) και \(\text{Re}\,z\), με αναγραφή \(X(j\Omega)\), \(Y(j\omega)\)]
Εξηγήστε αν είναι γραμμικό το σύστημα.
2) Δίνει \(A, B, C\) βρείτε παρατηρησιμότητα, ελεγξιμότητα
εξηγήστε αν είναι ασυμπτωτικό
3) \(x(t) = 2\cos(4\pi t) + \sin(2\pi t)\), \(h(t) = \text{sinc}(3\pi t)\).
Βρείτε συνέλιξη.
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες σημειώσεις θεμάτων εξετάσεων.
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: migrated from previous_exams.md (Antigravity, 2026-10)
Προσοχή
Μέρος Β Θέμα 3: η ισότητα sinc(3πt) = sin(3πt)/(πt) της λύσης δεν ταιριάζει με τον συνηθισμένο ορισμό sinc(x) = sin(x)/x (τότε θα ήταν sin(3πt)/(3πt), με πλάτος ⅓ του παραπάνω). Ο ορισμός της sinc στην εκφώνηση πρέπει να επαληθευτεί· το αποτέλεσμα y(t) = sin(2πt) εξαρτάται από αυτό. Οι λύσεις δεν έχουν ελεγχθεί έναντι των ερωτήσεων της φωτογραφίας CamScanner_2024-09-18_19.27.jpg και CamScanner_2024-09-18_19.29.jpg, που δεν καλύπτονται από το παλαιό αρχείο.
Λύσεις (AI, μη επαληθευμένες) — Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων — Σεπτέμβριος 2024¶
Μεταφέρθηκαν μόνο τα κείμενα λύσης του παλαιού αρχείου που αντιστοιχούν σε ερωτήσεις της φωτογραφίας viber (Μέρος Α: Θέματα 1–3 πίνακα· Μέρος Β: Θέμα 3 CD). Οι εκφωνήσεις του παλαιού αρχείου δεν μεταφέρθηκαν· τα Θέματα 1–2 του Μέρους Β του παλαιού αρχείου περιγράφουν μέθοδο χωρίς απάντηση στην ερώτηση του θέματος και απορρίφθηκαν.
📌 Μέρος Α: Θέματα Πίνακα¶
Θέμα 1: Ολοκλήρωμα με Κρουστικές Συναρτήσεις & Παραγώγους Κατανομών¶
Αναλυτική Λύση: 1. Διαχωρίζουμε το ολοκλήρωμα στα δύο επιμέρους μέρη: $\(I = I_1 - I_2 = \int_{-2}^{\infty} \delta(t+3) f(t) \, dt - \int_{-2}^{\infty} \delta^{(m)}(t) f(t) \, dt\)$ 2. Υπολογισμός του \(I_1\): - Η κρουστική συνάρτηση \(\delta(t+3)\) είναι συγκεντρωμένη στο σημείο \(t = -3\). - Το διάστημα ολοκλήρωσης είναι \([-2, +\infty)\). - Επειδή το σημείο \(-3 \notin [-2, +\infty)\) (βρίσκεται αυστηρά αριστερά του κάτω ορίου \(-2\)), η συνάρτηση \(\delta(t+3)\) είναι ταυτοτικά μηδέν σε ολόκληρο το διάστημα ολοκλήρωσης. - Συνεπώς: $\(I_1 = \int_{-2}^{\infty} \delta(t+3) f(t) \, dt = 0\)$ 3. Υπολογισμός του \(I_2\): - Η παράγωγος τάξης \(m\) της κρουστικής συνάρτησης \(\delta^{(m)}(t)\) έχει ιδιομορφία στο σημείο \(t = 0\). - Το σημείο \(t = 0\) περιέχεται στο εσωτερικό του διαστήματος \((-2, +\infty)\). - Από τη θεμελιώδη ιδιότητα των γενικευμένων συναρτήσεων (κατανομών) για την παράγωγο της \(\delta(t)\): $\(\int_{-\infty}^{+\infty} \delta^{(m)}(t) f(t) \, dt = (-1)^m f^{(m)}(0)\)$ - Επειδή το \(t=0\) είναι εσωτερικό σημείο του \([-2, \infty)\), ισχύει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα: $\(I_2 = \int_{-2}^{\infty} \delta^{(m)}(t) f(t) \, dt = (-1)^m f^{(m)}(0)\)$ 4. Τελικό Αποτέλεσμα: $\(I = 0 - (-1)^m f^{(m)}(0) = \mathbf{(-1)^{m+1} f^{(m)}(0)}\)$ 5. Συνθήκη Μη Ορισμού: - Το ολοκλήρωμα δεν ορίζεται εάν η συνάρτηση \(f(t)\) δεν είναι τουλάχιστον \(m\) φορές παραγωγίσιμη στο σημείο \(t=0\) (ή αν η παράγωγος \(f^{(m)}(t)\) παρουσιάζει ασυνέχεια στο \(0\)).
Θέμα 2: Συχνοτικό Περιεχόμενο Σήματος¶
Αναλυτική Λύση: 1. Λόγω αρτιότητας της συνάρτησης συνημιτόνου (\(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\)): $\(x(t) = \cos(-(30t - 2\pi)) = \cos(30t - 2\pi) = \cos(30t)\)$ 2. Το σήμα έχει κυκλική συχνότητα \(\Omega_0 = 30\text{ rad/s}\) και συχνότητα \(f_0 = \frac{30}{2\pi} = \frac{15}{\pi}\text{ Hz}\). 3. Το μετατοπισμένο σήμα \(y(t) = x(t-2)\) είναι: $\(y(t) = \cos(30(t-2)) = \cos(30t - 60)\)$ 4. Ο μετασχηματισμός Fourier του \(x(t)\) είναι: $\(X(j\Omega) = \pi \left[ \delta(\Omega - 30) + \delta(\Omega + 30) \right]\)$ 5. Από την ιδιότητα της χρονικής μετατόπισης \(\mathcal{F}\{x(t-t_0)\} = e^{-j\Omega t_0} X(j\Omega)\) με \(t_0 = 2\): $\(Y(j\Omega) = e^{-j2\Omega} X(j\Omega) = \pi e^{-j60} \delta(\Omega - 30) + \pi e^{j60} \delta(\Omega + 30)\)$ 6. Συχνοτικό Περιεχόμενο: - Φάσμα πλάτους: \(|Y(j\Omega)| = \pi [\delta(\Omega - 30) + \delta(\Omega + 30)]\), δηλαδή δύο διακριτές φασματικές γραμμές στις συχνότητες \(\pm 30\text{ rad/s}\). - Φάσμα φάσης: Προστίθεται γραμμική φασική μετατόπιση \(\angle Y(j\Omega) = -2\Omega\).
Θέμα 3: Έννοια της Ελεγξιμότητας σε ΓΧΑ Συστήματα¶
Απάντηση: - Ορισμός: Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα συνεχούς χρόνου περιγραφόμενο στο χώρο καταστάσεων από την εξίσωση \(\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)\) (\(x \in \mathbb{R}^n, u \in \mathbb{R}^m\)) ονομάζεται πλήρως ελέγξιμο (completely controllable) αν, για οποιαδήποτε αρχική κατάσταση \(x(0) = x_0\) και οποιαδήποτε επιθυμητή τελική κατάσταση \(x_1\), υπάρχει κατάλληλο σήμα εισόδου \(u(t)\) ορισμένο σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα \([0, T]\), το οποίο οδηγεί το σύστημα από την κατάσταση \(x_0\) στην κατάσταση \(x_1\) τη χρονική στιγμή \(T\). - Αλγεβρικό Κριτήριο Kalman: Το σύστημα είναι πλήρως ελέγξιμο αν και μόνο αν η μήτρα ελεγξιμότητας \(\mathcal{C}\): $\(\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \dots & A^{n-1}B \end{bmatrix}\)$ έχει πλήρη βαθμό γραμμών, δηλαδή \(\mathbf{\text{rank}(\mathcal{C}) = n}\) (ισοδύναμα \(\det(\mathcal{C}) \neq 0\) για συστήματα μιας εισόδου).
📌 Μέρος Β: Θέματα CD¶
Θέμα 3: Συνέλιξη με Ιδανικό Βαθυπερατό Φίλτρο¶
Αναλυτική Λύση: 1. Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου \(h(t)\) είναι ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο (Ideal Low-Pass Filter) με εύρος ζώνης \(\Omega_c = 3\pi\text{ rad/s}\): $\(H(j\Omega) = \begin{cases} 1, & |\Omega| < 3\pi \\ 0, & |\Omega| > 3\pi \end{cases}\)$ 2. Το σήμα εισόδου αποτελείται από δύο συνιστώσες: - Συνιστώσα 1: \(2\cos(4\pi t)\) με κυκλική συχνότητα \(\Omega_1 = 4\pi\text{ rad/s}\). - Συνιστώσα 2: \(\sin(2\pi t)\) με κυκλική συχνότητα \(\Omega_2 = 2\pi\text{ rad/s}\). 3. Εφαρμογή του φίλτρου: - Επειδή \(\Omega_1 = 4\pi > 3\pi = \Omega_c\), η συνιστώσα \(2\cos(4\pi t)\) αποκόπτεται πλήρως (\(H(j4\pi) = 0\)). - Επειδή \(\Omega_2 = 2\pi < 3\pi = \Omega_c\), η συνιστώσα \(\sin(2\pi t)\) διέρχεται αναλλοίωτη (\(H(j2\pi) = 1\)). 4. Τελική Έξοδος: $\(y(t) = x(t) * h(t) = \mathbf{\sin(2\pi t)}\)$