Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων — Σεπτέμβριος 2024 (β)¶
IMG_5099.jpg¶
Θέματα: Υπολογίστε τα ολοκληρώματα: 1) i) \(\delta(t) * \cos(20\pi t)\) ii) \(\delta^{2}(t) * \sin(20\pi t)\). 2) \(A = \begin{bmatrix} -\pi & 0 \\ 0 & 2+\pi \end{bmatrix}\) μηδενικής καταστάσεως και πότε είναι ευσταθής 3) Βρείτε την zero-state απόκριση
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες σημειώσεις φοιτητή.
(CD) 1) \(y(t) = x(t/2)\), ποια η κρουστική απόκριση. 2) \(y^{(2)}(t) + 2\alpha\, y^{(1)}(t) + 2\alpha\, y(t) = x(t)\) διαφορική εξίσωση, για ποια τιμή του \(\alpha\) είναι 3) \(A = \begin{bmatrix} \dots \end{bmatrix}, \; b = \begin{bmatrix} \; \end{bmatrix}\) Πότε ελέγξιμο το σύστημα; Τι είναι ελεγξιμότητα;
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.1-pro-preview, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2024-09-b¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1 (Πίνακας)¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Στη φωτογραφία IMG_5099.jpg αναγράφεται: «Υπολογίστε τα ολοκληρώματα: 1) i) \(\delta(t) * \cos(20\pi t)\), ii) \(\delta^2(t) * \sin(20\pi t)\)».
- i) Η κρουστική συνάρτηση \(\delta(t)\) αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο της πράξης της συνέλιξης: $\(\delta(t) * \cos(20\pi t) = \cos(20\pi t)\)$
- ii) Στο χειρόγραφο ο εκθέτης είναι \(2\) (κατ' αντιστοιχία με το θέμα CD-2 όπου ο φοιτητής γράφει \(y^{(2)}(t)\) για τη 2η παράγωγο).
- Αν πρόκειται για τη δεύτερη παράγωγο της κρουστικής συνάρτησης \(\delta''(t) = \delta^{(2)}(t)\), από την ιδιότητα παραγώγισης της συνέλιξης ισχύει \(\delta^{(n)}(t) * x(t) = x^{(n)}(t)\). Επομένως: $\(\delta''(t) * \sin(20\pi t) = \frac{d^2}{dt^2}[\sin(20\pi t)] = \frac{d}{dt}[20\pi \cos(20\pi t)] = -(20\pi)^2 \sin(20\pi t) = -400\pi^2 \sin(20\pi t)\)$
- Αν ήταν πρώτη παράγωγος \(\delta'(t)\), το αποτέλεσμα θα ήταν \(20\pi \cos(20\pi t)\).
- Αν διαβαστεί κατά κυριολεξία ως τετράγωνο \(\delta^2(t)\), αυτό δεν αποτελεί καλώς ορισμένη κατανομή στη θεωρία γενικευμένων συναρτήσεων Schwartz.
Θέμα 2 (Πίνακας)¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: Η εκφώνηση είναι ελλιπής. Για \(A=\mathrm{diag}(-\pi,\,2+\pi)\): \(e^{At}=\mathrm{diag}(e^{-\pi t},e^{(2+\pi)t})\), ιδιοτιμές \(-\pi<0\) και \(2+\pi>0\). Το σύστημα δεν είναι ευσταθές (η 2η συνιστώσα αυξάνεται εκθετικά)· ευσταθές θα ήταν μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές είχαν αρνητικό πραγματικό μέρος.
Λύση 2: Για ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα συνεχούς χρόνου σε μορφή μεταβλητών κατάστασης με πίνακα καταστάσεων \(A\): Ο πίνακας είναι διαγώνιος: $\(A = \begin{bmatrix} -\pi & 0 \\ 0 & 2+\pi \end{bmatrix}\)$ Οι ιδιοτιμές του πίνακα \(A\) είναι τα διαγώνια στοιχεία: $\(\lambda_1 = -\pi, \quad \lambda_2 = 2+\pi\)$ Ένα συνεχές σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές (BIBO και εσωτερικά ευσταθές) αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του \(A\) έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό μέρος (\(\text{Re}\{\lambda_i\} < 0\)). Εδώ, επειδή \(\lambda_2 = 2+\pi > 0\), το σύστημα είναι ασταθές.
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Η εκφώνηση είναι ελλιπής ("για ποια τιμή του \(\alpha\) είναι..."). Με βάση το πλαίσιο του μαθήματος, γίνεται η παραδοχή ότι ζητείται να βρεθεί για ποιες τιμές του \(\alpha\) το σύστημα είναι ευσταθές.
Η δοσμένη διαφορική εξίσωση είναι: \(y^{(2)}(t) + 2\alpha y^{(1)}(t) + 2\alpha y(t) = x(t)\)
Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace με μηδενικές αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε τη συνάρτηση μεταφοράς \(H(s)\): \(s^2 Y(s) + 2\alpha s Y(s) + 2\alpha Y(s) = X(s) \implies H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s^2 + 2\alpha s + 2\alpha}\)
Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι ο παρονομαστής της \(H(s)\): \(s^2 + 2\alpha s + 2\alpha = 0\)
Για να είναι το σύστημα (BIBO) ευσταθές, πρέπει όλοι οι πόλοι του (οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης) να έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό μέρος. Σύμφωνα με το κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz για πολυώνυμο 2ου βαθμού της μορφής \(s^2 + a_1 s + a_0 = 0\), οι ρίζες έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος αν και μόνο αν όλοι οι συντελεστές είναι αυστηρά θετικοί. Επομένως, απαιτείται: \(a_1 > 0 \implies 2\alpha > 0 \implies \alpha > 0\) \(a_0 > 0 \implies 2\alpha > 0 \implies \alpha > 0\)
Άρα, το σύστημα είναι ευσταθές για \(\alpha > 0\).
(Σε περίπτωση που η ερώτηση αφορούσε το πότε το σύστημα έχει κρίσιμη απόσβεση, η διακρίνουσα \(\Delta = (2\alpha)^2 - 4(1)(2\alpha) = 4\alpha^2 - 8\alpha\) θα έπρεπε να είναι μηδέν, το οποίο για \(\alpha>0\) δίνει \(\alpha = 2\).)
Θέμα 3 (Πίνακας)¶
Αξιοπιστία: δεν λύθηκε
Δεν λύθηκε: η εκφώνηση είναι ελλιπής.
Θέμα CD-1¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: Για \(x=\delta(t-\tau)\): \(h(t,\tau)=\delta(t/2-\tau)=2\delta(t-2\tau)\). Για \(\tau=0\): \(h(t)=2\delta(t)\). Το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο, άρα η απόκριση εξαρτάται από τη στιγμή \(\tau\) της διέγερσης και δεν περιγράφει πλήρως το σύστημα μέσω συνέλιξης.
Λύση 2: Η συνέλιξη οποιουδήποτε σήματος \(x(t)\) με την κρουστική συνάρτηση \(\delta(t)\) δίνει το ίδιο το σήμα: $\(x(t) * \delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau = x(t)\)$ Επομένως: $\(\delta(t) * \cos(20\pi t) = \cos(20\pi t)\)$
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Η κρουστική απόκριση ενός συστήματος είναι η έξοδος του συστήματος όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση δέλτα του Dirac, δηλαδή \(x(t) = \delta(t)\). Για το σύστημα \(y(t) = x(t/2)\), αντικαθιστώντας \(x(t) = \delta(t)\), παίρνουμε την κρουστική απόκριση: \(h(t) = \delta(t/2)\)
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα κλιμάκωσης της συνάρτησης δέλτα, \(\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)\), με \(a = 1/2\), έχουμε: \(h(t) = \frac{1}{|1/2|}\delta(t) = 2\delta(t)\)
Σημείωση: Το σύστημα \(y(t) = x(t/2)\) είναι χρονικά μεταβαλλόμενο. Επομένως, δεν χαρακτηρίζεται πλήρως από τη μονοδιάστατη κρουστική απόκριση \(h(t)\). Αν ζητείται η γενικευμένη κρουστική απόκριση \(h(t, \tau)\) (η απόκριση τη χρονική στιγμή \(t\) σε κρουστική διέγερση που εφαρμόζεται τη χρονική στιγμή \(\tau\), δηλαδή \(x(t) = \delta(t-\tau)\)), τότε αυτή είναι: \(h(t, \tau) = \delta(t/2 - \tau) = 2\delta(t - 2\tau)\)
Θέμα CD-2¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: Η ερώτηση είναι ελλιπής («για ποια τιμή του \(\alpha\) είναι ...»). Χαρακτηριστικό πολυώνυμο \(s^2+2\alpha s+2\alpha\): ευσταθές (πόλοι με \(\mathrm{Re}<0\)) ⟺ \(\alpha>0\). Διακρίνουσα \(4\alpha^2-8\alpha\): κρίσιμη απόσβεση για \(\alpha=2\), ταλαντωτική απόκριση για \(0<\alpha<2\), υπερ-αποσβεσμένη για \(\alpha>2\).
Λύση 2: Για ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα συνεχούς χρόνου σε μορφή μεταβλητών κατάστασης με πίνακα καταστάσεων \(A\): Ο πίνακας είναι διαγώνιος: $\(A = \begin{bmatrix} -\pi & 0 \\ 0 & 2+\pi \end{bmatrix}\)$ Οι ιδιοτιμές του πίνακα \(A\) είναι τα διαγώνια στοιχεία: $\(\lambda_1 = -\pi, \quad \lambda_2 = 2+\pi\)$ Ένα συνεχές σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές (BIBO και εσωτερικά ευσταθές) αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του \(A\) έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό μέρος (\(\text{Re}\{\lambda_i\} < 0\)). Εδώ, επειδή \(\lambda_2 = 2+\pi > 0\), το σύστημα είναι ασταθές.
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Η εκφώνηση είναι ελλιπής ("για ποια τιμή του \(\alpha\) είναι..."). Με βάση το πλαίσιο του μαθήματος, γίνεται η παραδοχή ότι ζητείται να βρεθεί για ποιες τιμές του \(\alpha\) το σύστημα είναι ευσταθές.
Η δοσμένη διαφορική εξίσωση είναι: \(y^{(2)}(t) + 2\alpha y^{(1)}(t) + 2\alpha y(t) = x(t)\)
Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace με μηδενικές αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε τη συνάρτηση μεταφοράς \(H(s)\): \(s^2 Y(s) + 2\alpha s Y(s) + 2\alpha Y(s) = X(s) \implies H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s^2 + 2\alpha s + 2\alpha}\)
Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι ο παρονομαστής της \(H(s)\): \(s^2 + 2\alpha s + 2\alpha = 0\)
Για να είναι το σύστημα (BIBO) ευσταθές, πρέπει όλοι οι πόλοι του (οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης) να έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό μέρος. Σύμφωνα με το κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz για πολυώνυμο 2ου βαθμού της μορφής \(s^2 + a_1 s + a_0 = 0\), οι ρίζες έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος αν και μόνο αν όλοι οι συντελεστές είναι αυστηρά θετικοί. Επομένως, απαιτείται: \(a_1 > 0 \implies 2\alpha > 0 \implies \alpha > 0\) \(a_0 > 0 \implies 2\alpha > 0 \implies \alpha > 0\)
Άρα, το σύστημα είναι ευσταθές για \(\alpha > 0\).
(Σε περίπτωση που η ερώτηση αφορούσε το πότε το σύστημα έχει κρίσιμη απόσβεση, η διακρίνουσα \(\Delta = (2\alpha)^2 - 4(1)(2\alpha) = 4\alpha^2 - 8\alpha\) θα έπρεπε να είναι μηδέν, το οποίο για \(\alpha>0\) δίνει \(\alpha = 2\).)
Θέμα CD-3¶
Αξιοπιστία: δεν λύθηκε
Δεν λύθηκε: οι πίνακες \(A,b\) λείπουν από τη μεταγραφή.
Θέμα CD-4¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Ελεγξιμότητα: ικανότητα μεταφοράς της κατάστασης από οποιαδήποτε αρχική σε οποιαδήποτε τελική σε πεπερασμένο χρόνο με κατάλληλη είσοδο. Για σύστημα \(n\) καταστάσεων: ελέγξιμο ⟺ \(\mathrm{rank}\,[\,b\;Ab\;\cdots\;A^{n-1}b\,]=n\) (ισοδύναμα PBH: δεν υπάρχει αριστερό ιδιοδιάνυσμα \(q\) του \(A\) με \(q^Tb=0\)).