Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων — Ιούλιος 2024¶
20240704_133636.jpg¶
-
Υπολογίστε την απόκριση μηδενικής κατάστασης & την απόκριση μηδενικής εισόδου του ΓΧΑ συστήματος $\(y''(t) + 3y(t) = 5x(t), \quad y(0^-) = 1/5.\)$
-
Υπολογίστε την απόκριση συχνότητας του συστήματος : \(y(n) = y(n-1) + x(n) - x(n-1)\).
-
Αποδείξτε ότι \(\mathcal{F}\{e^{j\Omega_0 t}\} = 2\pi\delta(\Omega - \Omega_0)\)
-
Δίνεται η τετράδα \(\{A, b, c, d\}\) & διάνυσμα \(q\): \(q^t A = \mu \cdot q^t, \ \& \ q^t b = 0, \mu \in \mathbb{C}\). Σχολιάστε την Παρατηρησιμότητα του συστήματος. Είναι το σύστημα σταθεροποιήσιμο;
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2024-07¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Στον πίνακα της φωτογραφίας 20240704_133636.jpg αναγράφεται:
«1. Υπολογίστε την απόκριση μηδενικής κατάστασης & την απόκριση μηδενικής εισόδου του ΓΧΑ συστήματος \(y''(t) + 3y(t) = 5x(t), \quad y(0^-) = 1/5.\)»
Διαπιστώνεται ότι δεν δίνεται δεύτερη αρχική συνθήκη \(y'(0^-)\) ούτε συγκεκριμένη συνάρτηση εισόδου \(x(t)\). Υποθέτουμε ότι θεωρείται \(y'(0^-) = 0\) (αρχική ηρεμία ως προς την παράγωγο) και για την απόκριση μηδενικής κατάστασης υπολογίζουμε την κρουστική απόκριση \(h(t)\) (καθώς και τη γενική μορφή συνέλιξης και τη βηματική απόκριση).
1. Κύρια Ανάγνωση: Διαφορική Εξίσωση 2ης Τάξης (\(y''(t) + 3y(t) = 5x(t)\))¶
(α) Απόκριση Μηδενικής Εισόδου (Zero-Input Response, \(y_{zi}(t)\))¶
Θέτουμε \(x(t) = 0\). Εφαρμόζουμε μονόπλευρο μετασχηματισμό Laplace: $\(\mathcal{L}\{y''(t) + 3y(t)\} = 0 \implies s^2 Y_{zi}(s) - s y(0^-) - y'(0^-) + 3 Y_{zi}(s) = 0\)$ $\((s^2 + 3) Y_{zi}(s) = s \cdot \frac{1}{5} + y'(0^-)\)$ Με την υπόθεση \(y'(0^-) = 0\): $\(Y_{zi}(s) = \frac{1}{5} \frac{s}{s^2 + (\sqrt{3})^2}\)$ Αντιστρέφοντας στον χρόνο: $\(y_{zi}(t) = \frac{1}{5} \cos(\sqrt{3}t) u(t)\)$ (Αν \(y'(0^-) = c \neq 0\), τότε \(y_{zi}(t) = \left[\frac{1}{5}\cos(\sqrt{3}t) + \frac{c}{\sqrt{3}}\sin(\sqrt{3}t)\right]u(t)\)).
(β) Απόκριση Μηδενικής Κατάστασης (Zero-State Response, \(y_{zs}(t)\))¶
Θέτουμε μηδενικές αρχικές συνθήκες (\(y(0^-) = 0, y'(0^-) = 0\)): $\((s^2 + 3) Y_{zs}(s) = 5 X(s) \implies H(s) = \frac{Y_{zs}(s)}{X(s)} = \frac{5}{s^2 + 3}\)$ Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι: $\(h(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}}{s^2 + (\sqrt{3})^2}\right\} = \frac{5}{\sqrt{3}} \sin(\sqrt{3}t) u(t)\)$ Για οποιαδήποτε είσοδο \(x(t)\), η απόκριση μηδενικής κατάστασης δίνεται μέσω συνέλιξης: $\(y_{zs}(t) = x(t) * h(t) = \int_{0^-}^{t} x(\tau) \frac{5}{\sqrt{3}} \sin(\sqrt{3}(t-\tau)) \, d\tau\)$ Ειδικότερα, για βηματική είσοδο \(x(t) = u(t)\): $\(Y_{zs}(s) = \frac{5}{s(s^2 + 3)} = \frac{5}{3} \left(\frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 + 3}\right) \implies y_{zs}(t) = \frac{5}{3} \left(1 - \cos(\sqrt{3}t)\right) u(t)\)$
2. Εναλλακτική Ανάγνωση: Διαφορική Εξίσωση 1ης Τάξης (\(y'(t) + 3y(t) = 5x(t)\))¶
Αν ο ένας τόνος στο \(y''(t)\) στον πίνακα ήταν τυχαίος και η εξίσωση ήταν 1ης τάξης (γεγονός που δικαιολογεί πλήρως τη μία μόνο αρχική συνθήκη \(y(0^-) = 1/5\)):
-
Απόκριση Μηδενικής Εισόδου: $\((s + 3) Y_{zi}(s) = y(0^-) = \frac{1}{5} \implies Y_{zi}(s) = \frac{1/5}{s + 3} \implies y_{zi}(t) = \frac{1}{5} e^{-3t} u(t)\)$
-
Απόκριση Μηδενικής Κατάστασης: $\(H(s) = \frac{5}{s + 3} \implies h(t) = 5 e^{-3t} u(t)\)$ $\(y_{zs}(t) = x(t) * 5 e^{-3t} u(t) = \int_0^t 5 e^{-3(t-\tau)} x(\tau) \, d\tau\)$ (Για \(x(t) = u(t)\): \(y_{zs}(t) = \frac{5}{3}(1 - e^{-3t}) u(t)\)).
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Για \(y(n)-y(n-1)=x(n)-x(n-1)\): \(H(e^{j\omega})=\dfrac{1-e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}=1\) για \(\omega\neq0\). Σε ηρεμία προκύπτει \(y(n)-x(n)=y(n-1)-x(n-1)=\dots=0\), άρα \(y=x\). \(H(e^{j\omega})=1\) (ταυτότητα· ο πόλος στο \(z=1\) απλοποιείται με το μηδενικό, αλλά υπάρχει κρυφός οριακά ευσταθής τρόπος).
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Ο αντίστροφος μετασχηματισμός του \(2\pi\delta(\Omega-\Omega_0)\) είναι $\(\frac1{2\pi}\int 2\pi\delta(\Omega-\Omega_0)e^{j\Omega t}d\Omega=e^{j\Omega_0t}\)$ (ιδιότητα δειγματοληψίας του δ). Λόγω μοναδικότητας του μετασχηματισμού Fourier, \(\mathcal F\{e^{j\Omega_0t}\}=2\pi\delta(\Omega-\Omega_0)\).
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Η συνθήκη \(q^TA=\mu q^T\) (\(q\) αριστερό ιδιοδιάνυσμα) με \(q^Tb=0\) σημαίνει (έλεγχος PBH) ότι ο τρόπος \(\mu\) είναι μη ελέγξιμος: \(q^T[\,b\;Ab\cdots]=0\). Αυτό αφορά την ελεγξιμότητα, όχι την παρατηρησιμότητα· για την παρατηρησιμότητα χρειάζεται δεξιό ιδιοδιάνυσμα \(Av=\mu v\) με \(c^Tv=0\), οπότε από τα δεδομένα δεν συμπεραίνεται τίποτα (ίσως διαφορετική ανάγνωση στη μεταγραφή). Σταθεροποιήσιμο: ναι αν \(\mathrm{Re}\,\mu<0\) (ο μη ελέγξιμος τρόπος είναι ήδη ευσταθής)· όχι αν \(\mathrm{Re}\,\mu\ge0\) (εφόσον το \(\mu\) είναι ο μη ελέγξιμος τρόπος).