Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Ιούνιος 2026¶

IMG_20260627_120957.jpg¶

Ερώτηση 1 (15θ) Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = 3x^3 + 2x^2 + 6x - 5$. 1. Να αιτιολογήσετε ποια από τις επαναληπτικές μεθόδους Newton-Raphson ή Τέμνουσας είναι προτιμότερη για την προσέγγιση μιας ρίζας της εξίσωσης $f(x) = 0$ στο διάστημα $[0, 1]$. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Μέθοδος: [ ]

Να υπολογίσετε την προσέγγιση της ρίζας μετά από 2 επαναλήψεις της μεθόδου Newton, χρησιμοποιώντας ως αρχική τιμή το $x_0 = 0.5556$. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Προσέγγιση ρίζας: [ ]
Δίνεται το μη γραμμικό σύστημα εξισώσεων $$F(x, y) = \begin{cases} 3x^2 - 6y + 5 = 0, \\ 3x + 2y^2 - 6 = 0. \end{cases}$$ Επίσης δίνονται τα διανύσματα $x_1^T = [-1 \ \ \frac{3}{8}]$ και $x_2^T = [\frac{-3}{4} \ \ 1]$. Ποιο από τα δύο είναι καταλληλότερο ως αρχική προσέγγιση για τη μέθοδο Newton στο παραπάνω σύστημα. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Αρχική προσέγγιση: [ ]

IMG_20260627_121050.jpg¶

Ερώτηση 2 (25Β) Έστω το μητρώο A=[3 -1 0 -1; -1 5 1 -1; 0 1 5 1; -1 -1 1 4] και το διάνυσμα b=[5; -3; 1; 2]. 1. Μας ενδιαφέρει η επίλυση του συστήματος Ax = b με άμεσες μεθόδους. i. Ποια μέθοδο θα επιλέγατε για την επίλυση του γραμμικού συστήματος. Cholesky ή LU; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Άμεση μέθοδος: [ ]

ii. Να εφαρμόσετε τη μέθοδο Cholesky και να βρείτε την πρώτη στήλη του κάτω τριγωνικού παράγοντα Cholesky L, όπου A = LL^T. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: L(:,1) = [ ]

iii. Να γράψετε κώδικα MATLAB που να επιλύει το σύστημα Ax = b με τη μέθοδο που επιλέξατε στο (i). Προσοχή: Η χρήση της mldivide επιτρέπεται μόνο για την επίλυση τριγωνικών συστημάτων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

Μας ενδιαφέρει η επίλυση του συστήματος Ax = b με επαναληπτικές μεθό- δους.
Να αιτιολογήσετε αν συγκλίνει η μέθοδος Gauss-Seidel για το σύστημα Ax = b. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: [ ]

IMG_20260627_121110.jpg¶

ii. Να εκτελέσετε ένα βήμα της μεθόδου δύναμης με αρχική εκτίμηση $x_0 = [1; 0; 0; 1]$. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την προσεγγιστική ιδιοτιμή και το διάνυσμα $x_1$. Στη συνέχεια να υπολογίσετε τη νόρμα-1 του καταλοίπου, $r$, για το διάνυσμα $x_1$. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: $x_1 = \boxed{}$ $r = \boxed{}$

Έστω ότι εκτελούμε τις εντολές MATLAB svd(A) και eig(A). Τα αποτελέσματα είναι, αντίστοιχα, [6.18363 ; 5.42957 ; 3.87105 ; 1.51575] και [1.51575 ; 3.87105 ; 5.42957 ; 6.18363 ]. i. Ποια τιμή θα επιστρέψει η εντολή MATLAB cond(A); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: cond(A) = $\boxed{}$

ii. Να εφαρμόσετε δύο βήματα της μεθόδου δύναμης, με αρχικό διάνυσμα $x_0 = \text{ones}(4,1)$, και να υπολογίσετε το απόλυτο σφάλμα $|\lambda_i - \lambda_{\text{max}}|$ για κάθε επανάληψη. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: $\lambda_1 = \boxed{}$ $\lambda_2 = \boxed{}$ $|\lambda_1 - \lambda_{\text{max}}| = \boxed{}$ $|\lambda_2 - \lambda_{\text{max}}| = \boxed{}$

Ερώτηση 3 (10β) Το πλήθος αριθμητικών πράξεων κάποιας συνάρτησης στο MATLAB μοντελοποιείται ως πολυώνυμο βαθμού 3 ή λιγότερο, δηλ. $f(n) = a_1n^3 + a_2n^2 + a_3n + a_4$. Υπάρχουν επίσης διαθέσιμες μετρήσεις των πράξεων για 4 διαφορετικές τιμές του $n$:

$n$	$f(n)$
20	16549
40	129889
60	436029
80	1030969

Να βρείτε τη μορφή Lagrange του πολυωνύμου $g(x)$, που παρεμβάλει την $f$ στις παραπάνω τιμές του $n$. ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

[δυσανάγνωστο] ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ [δυσανάγνωστο] ΝΟΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

IMG_20260627_121127.jpg¶

\[g(x) = \fbox{\hspace{4cm}}\]

Εκτελούμε την εντολή MATLAB a = e*poly(r) όπου r είναι το διάνυσμα των ριζών του πολυωνύμου $f(n)$ και c είναι μια σταθερά. Στόχος είναι να υπολογιστούν οι συντελεστές $a_i$, $i = 1,\dots,4$ του πολυωνύμου $f(n)$. Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης της εντολής είναι a = [2 1 7 9]. Να προσδιοριστεί η μέγιστη απόσταση $h$ μεταξύ διαδοχικών κόμβων στο διάστημα $[20, 80]$, ώστε το μέγιστο σφάλμα της τμηματικά γραμμικής παρεμβολής να είναι μικρότερο ή ίσο από 1e-5.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Το $h = \fbox{\hspace{4cm}}$

Ερώτηση 4 ♣ (20β), Χ.Ε. Μαυρίστε ή σημειώστε Χ στο κουτάκι όσα από τα παρακάτω υποερωτήματα ισχύουν στη γενική περίπτωση (εκτός αν δηλώνεται κάτι διαφορετικό). Δεν υπάρχει αρνητική βαθμολογία. Προσοχή: Για να βαθμολογηθούν, 3 από τα υποερωτήματα που θα επιλέξετε εσείς, θα χρειαστούν και ΕΠΑΡΚΗ αιτιολόγηση (δείτε το επόμενο ερώτημα). - [ ] Η χρήση κόμβων Chebyshev για παρεμβολή πολυωνύμων αυξάνει την πιθανότητα εμφάνισης του φαινομένου Runge. - [ ] Όλα τα 5 (μη τετριμμένα) προτεινόμενα είναι σωστά. - [ ] Κανένα από τα 5 (μη τετριμμένα) προτεινόμενα δεν είναι σωστά. - [ ] Αν το Α είναι αντιστρέψιμο και η εντολή min(abs(diag(A))) επιστρέφει 0, τότε είναι βέβαια ότι θα αποτύχει η μέθοδος Jacobi για την επίλυση συστήματος $Ax = b$. - [ ] Αν ένα μητρώο είναι ανακλαστής Householder τότε είναι συμμετρικό. - [ ] Η πράξη Inf - Inf στη MATLAB επιστρέφει NaN. - [ ] Η μεταβλητή Α έχει αρχικοποιηθεί στη MATLAB με ένα μητρώο που είναι γνωστό ότι είναι αντιστρέψιμο. Τότε από τις εντολές [Q,R]=qr(A); min(abs(diag(R)))>0 επιστρέφεται πάντα το λογικό 1.

Ερώτηση 5 (15β) Στο προηγούμενο ερώτημα, επιλέξτε ακριβώς 3 (μη τετριμμένα) υποερωτήματα που απαντήσατε (είτε θετικά είτε αρνητικά) καλύτερα, σημειώστε τους λατ. αριθμούς I, II, III αριστερά από το αντίστοιχο κουτάκι και αιτιολογήστε τα συνοπτικά παρακάτω. Προσοχή: Μην επιχειρήσετε να αιτιολογήσετε περισσότερες ερωτήσεις γιατί δεν θα ληφθούν υπόψη. Οι απαντήσεις πρέπει να εξηγούν επαρκώς και συνοπτικά και να μην είναι μια απλή αναδιατύπωση της έκφρασης.

ΚΙΝΗΤΑ ΚΑΡΤΕΣ

IMG_20260627_121149.jpg¶

Αν έχετε επιλέξει ότι είναι όλα σωστά ή όλα λάθος, τότε πρέπει να επιλέξετε 3 από τις ερωτήσεις που δεν είναι του τύπου όλα σωστά ή όλα λάθος και να τις απαντήσετε. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. Ι (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. ΙΙ (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. ΙΙΙ (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

Ερώτηση 6 (15%) Δίνεται το ολοκλήρωμα $$ \int_{0}^{2} (3 \sin(x) + x^2) \, dx $$ και η ακριβής τιμή του: $I_{ex} = 6.915$.

Χρησιμοποιώντας τον απλό (βασικό) κανόνα μέσου σημείου, να υπολογίσετε την αριθμητική προσέγγιση του ολοκληρώματος, $I_{num}$, και να βρείτε το απόλυτο σφάλμα της προσέγγισης. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Τιμή προσέγγισης: [ ] Απόλυτο σφάλμα: [ ]
Χρησιμοποιώντας τον σύνθετο κανόνα Simpson και θεωρώντας ότι $\max_{x \in [0,2]} |f^{(4)}(x)| \approx 3.0000\text{e+}00$ να προσδιορίσετε τον ελάχιστο άρτιο αριθμό ισομεγεθών υποδιαστημάτων, $n$, που απαιτούνται ώστε το μέγιστο σφάλμα προσέγγισης να είναι μικρότερο από $6.0000\text{e-}02$. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Χρειάζονται τουλάχιστον $n =$ [ ] υποδιαστήματα (Προσοχή: το $n$ πρέπει να είναι άρτιος αριθμός.).

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2026-06¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα 1¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

$f(x)=3x^3+2x^2+6x-5$, $f'=9x^2+4x+6>0$, $f''=18x+4>0$ στο $[0,1]$. Μοναδική πραγματική ρίζα $\approx0.60274$. Αριθμοί με Python.

Η $f'$ είναι απλή πολυωνυμική και δεν μηδενίζεται ($f'\ge6$). Η Newton-Raphson έχει τετραγωνική σύγκλιση (η τέμνουσα $\approx1.618$) με μία μόνο αρχική τιμή. Μέθοδος: Newton-Raphson. (Η τέμνουσα θα ήταν αποδεκτή αν η παράγωγος ήταν ακριβή. Εδώ δεν είναι.)
$x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)$ από $x_0=0.5556$: $x_1=0.60419$, $x_2=0.60275$. Προσέγγιση ρίζας $\approx0.6027$ ($f(x_2)\approx1.5\cdot10^{-5}$).
$J=\begin{pmatrix}6x&-6\3&4y\end{pmatrix}$.
$x_1=(-1,3/8)$: $J=\begin{pmatrix}-6&-6\3&1.5\end{pmatrix}$, $\det=-9+18=9$, $\kappa_2\approx9.1$.
$x_2=(-3/4,1)$: $J=\begin{pmatrix}-4.5&-6\3&4\end{pmatrix}$, $\det=-18+18=0$ ⇒ ιδιάζον, το βήμα Newton δεν ορίζεται. Καταλληλότερο το $x_1=(-1,\,3/8)^T$.

Θέμα 2¶

Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε) · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

1.¶

i. Άμεση μέθοδος: Cholesky
Αιτιολόγηση: Ο πίνακας $A$ είναι συμμετρικός ($A = A^T$) και αυστηρά διαγώνια κυρίαρχος με θετικά διαγώνια στοιχεία ($a_{11}=3 > |-1|+0+|-1|=2$, $a_{22}=5 > 1+1+1=3$, $a_{33}=5 > 0+1+1=2$, $a_{44}=4 > 1+1+1=3$). Συνεπώς, είναι θετικά ορισμένος (SPD). Για συμμετρικούς θετικά ορισμένους πίνακες, η παραγοντοποίηση Cholesky είναι προτιμότερη από την LU, διότι εκμεταλλεύεται τη συμμετρία απαιτώντας το μισό υπολογιστικό κόστος ($\approx \frac{1}{3}n^3$ πράξεις αντί για $\approx \frac{2}{3}n^3$) και είναι απόλυτα αριθμητικά ευσταθής χωρίς να απαιτείται οδήγηση (pivoting).

ii. Πρώτη στήλη του Cholesky $L$ ($A = LL^T$):
Από τον τύπο της παραγοντοποίησης $A = L L^T$: - $l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{3}$ - $l_{21} = \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{-1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ - $l_{31} = \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{0}{\sqrt{3}} = 0$ - $l_{41} = \frac{a_{41}}{l_{11}} = \frac{-1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: $L(:,1) = \begin{bmatrix} \sqrt{3} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1.7321 \\ -0.5774 \\ 0 \\ -0.5774 \end{bmatrix}$

iii. Κώδικας MATLAB:

% Επίλυση Ax = b με Cholesky A = R'*R όπου R = chol(A) (άνω τριγωνικός)
% άρα L = R' (κάτω τριγωνικός)
R = chol(A);
% Επίλυση L*y = b (R'*y = b) με εμπρός αντικατάσταση
y = R' \ b;
% Επίλυση R*x = y με πίσω αντικατάσταση
x = R \ y;

2.¶

i. Σύγκλιση μεθόδου Gauss-Seidel:
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Η μέθοδος Gauss-Seidel συγκλίνει για κάθε αρχική προσέγγιση $x^{(0)}$.
Αιτιολόγηση: Ο πίνακας $A$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος (καθώς και αυστηρά διαγώνια κυρίαρχος). Σύμφωνα με το θεώρημα των Ostrowski-Reich, για κάθε συμμετρικό θετικά ορισμένο πίνακα, η επαναληπτική μέθοδος Gauss-Seidel συγκλίνει εγγυημένα (η φασματική ακτίνα του πίνακα επανάληψης είναι $\rho(T_{GS}) < 1$).

ii. Βήμα μεθόδου δύναμης με $x_0 = [1; 0; 0; 1]$:
- Υπολογισμός $y_1 = A x_0$: $$y_1 = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 5 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 5 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(1) - 1(1) \\ -1(1) - 1(1) \\ 0(1) + 1(1) \\ -1(1) + 4(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$ - Προσεγγιστική ιδιοτιμή (με χρήση της άπειρης νόρμας ή του πηλίκου Rayleigh): Αν κανονικοποιούμε με τη νόρμα $\| \cdot \|_\infty$: $\|y_1\|_\infty = \max(|2|, |-2|, |1|, |3|) = 3$. Τότε: $$x_1 = \frac{y_1}{3} = \begin{bmatrix} 2/3 \\ -2/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.6667 \\ -0.6667 \\ 0.3333 \\ 1 \end{bmatrix}$$ Και η προσεγγιστική ιδιοτιμή είναι $\lambda_1 = 3$ (με πηλίκο Rayleigh: $\lambda_1 = \frac{x_0^T A x_0}{x_0^T x_0} = \frac{2 + 3}{1 + 1} = 2.5$).

 Αν η κανονικοποίηση γίνεται με την Ευκλείδεια νόρμα ($\|y_1\|_2 = \sqrt{4+4+1+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.2426$):
 $$x_1 = \frac{y_1}{\|y_1\|_2} = \begin{bmatrix} 2/\sqrt{18} \\ -2/\sqrt{18} \\ 1/\sqrt{18} \\ 3/\sqrt{18} \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.4714 \\ -0.4714 \\ 0.2357 \\ 0.7071 \end{bmatrix}$$
 Τότε $\lambda_1 = x_1^T A x_1 = \frac{y_1^T A y_1}{y_1^T y_1} = \frac{75}{18} \approx 4.1667$.

 *Με βάση την τυπική σχολική σύμβαση κανονικοποίησης με το μέγιστο στοιχείο ($\|\cdot\|_\infty$):*
 $\lambda_1 = 3$, $x_1 = [2/3; -2/3; 1/3; 1]$.
 Υπολογισμός του διανύσματος καταλοίπου $r = A x_1 - \lambda_1 x_1$:
 $$A x_1 = \frac{1}{3} A y_1 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3(2) - (-2) + 0 - 3 \\ -(2) + 5(-2) + 1 - 3 \\ 0 + (-2) + 5(1) + 3 \\ -(2) - (-2) + 1 + 4(3) \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5 \\ -14 \\ 6 \\ 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/3 \\ -14/3 \\ 2 \\ 13/3 \end{pmatrix}$$
 $$r = A x_1 - 3 x_1 = \begin{pmatrix} 5/3 \\ -14/3 \\ 2 \\ 13/3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 \\ -8/3 \\ 1 \\ 4/3 \end{pmatrix}$$
 Νόρμα-1 του καταλοίπου:
 $$\|r\|_1 = \left|-\frac{1}{3}\right| + \left|-\frac{8}{3}\right| + |1| + \left|\frac{4}{3}\right| = \frac{1 + 8 + 3 + 4}{3} = \frac{16}{3} \approx 5.3333$$

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: $x_1 = \begin{bmatrix} 2/3 \\ -2/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{bmatrix}$ (ή κανονικοποιημένο κατά $\ell_2$: $\frac{1}{\sqrt{18}}[2, -2, 1, 3]^T$), $\|r\|_1 = \frac{16}{3} \approx 5.3333$

3.¶

i. Τιμή της cond(A):
Για συμμετρικό πίνακα $A$, ο δείκτης κατάστασης ως προς τη νόρμα 2 ισούται με τον λόγο της μέγιστης προς την ελάχιστη ιδιάζουσα τιμή (ή κατ' απόλυτη τιμή ιδιοτιμή): $$\text{cond}(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} = \frac{6.18363}{1.51575} \approx 4.0796$$ ΑΠΑΝΤΗΣΗ: $\text{cond}(A) \approx 4.0796$ (ή $4.08$)

ii. Δύο βήματα μεθόδου δύναμης με $x_0 = [1; 1; 1; 1]$:
- $\lambda_{\max} \approx 6.18363$. - Βήμα 1: $$y_1 = A x_0 = \begin{pmatrix} 3-1+0-1 \\ -1+5+1-1 \\ 0+1+5+1 \\ -1-1+1+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}$$ Με κανονικοποίηση ως προς τη μέγιστη συνιστώσα ($\|y_1\|_\infty = 7$): $$\lambda_1 = 7$$ $$x_1 = \frac{y_1}{7} = \begin{bmatrix} 1/7 \\ 4/7 \\ 1 \\ 3/7 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.142857 \\ 0.571429 \\ 1 \\ 0.428571 \end{bmatrix}$$ Σφάλμα: $|\lambda_1 - \lambda_{\max}| = |7 - 6.18363| = 0.81637$

Βήμα 2: $$y_2 = A x_1 = \frac{1}{7} A \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3(1) - 4 - 3 \\ -1 + 5(4) + 7 - 3 \\ 4 + 5(7) + 3 \\ -1 - 4 + 7 + 4(3) \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -4 \\ 23 \\ 42 \\ 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4/7 \\ 23/7 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}$$ Μέγιστη συνιστώσα: $$\lambda_2 = \frac{42}{7} = 6$$ Σφάλμα: $|\lambda_2 - \lambda_{\max}| = |6 - 6.18363| = 0.18363$

(Σημείωση: Αν χρησιμοποιηθεί το πηλίκο Rayleigh $\lambda = \frac{x^T A x}{x^T x}$, τότε $\lambda_0 = \frac{15}{4} = 3.75$, $\lambda_1 = \frac{x_1^T A x_1}{x_1^T x_1} = \frac{483}{75} = 6.44$, με $|\lambda_1 - \lambda_{\max}| \approx 0.2564$).

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
$\lambda_1 = 7$, $\lambda_2 = 6$
$|\lambda_1 - \lambda_{\max}| = 0.8164$
$|\lambda_2 - \lambda_{\max}| = 0.1836$

Θέμα 3¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Κόμβοι $20,40,60,80$ (βήμα 20). Παρονομαστές $\prod_{j\ne i}(n_i-n_j)$: $-48000,\ 16000,\ -16000,\ 48000$. $$g(x)=16549\frac{(x-40)(x-60)(x-80)}{-48000}+129889\frac{(x-20)(x-60)(x-80)}{16000}+436029\frac{(x-20)(x-40)(x-80)}{-16000}+1030969\frac{(x-20)(x-40)(x-60)}{48000}.$$ Αριθμητικός έλεγχος: ισούται με $2x^3+x^2+7x+9$ (π.χ. $g(0)=9$, $g(50)=252859$).
Από το a=[2 1 7 9]: $f(n)=2n^3+n^2+7n+9$, $f''(n)=12n+2$, μέγιστο στο $n=80$: $962$. Τμηματικά γραμμική: $|E|\le\frac{h^2}{8}\max|f''|=\frac{962h^2}{8}\le10^{-5}$ ⇒ $h\le\sqrt{8\cdot10^{-5}/962}$. $h\approx2.88\text{e-}04$.

Θέμα 4 (Χ.Ε.)¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Σειρά όπως στην εκφώνηση:

Chebyshev μειώνουν το φαινόμενο Runge. Δεν ισχύει.
Αν $a_{ii}=0$ για κάποιο $i$, η Jacobi απαιτεί διαίρεση με $a_{ii}$ (πίνακας $D^{-1}$ δεν ορίζεται), άρα δεν εφαρμόζεται και αποτυγχάνει, ανεξάρτητα από το ότι το $A$ είναι αντιστρέψιμο (π.χ. $\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}$). Ισχύει.
$H=I-2vv^T/v^Tv$ ⇒ $H^T=H$. Ισχύει.
Inf - Inf ⇒ NaN. Ισχύει.
$A=QR$ αντιστρέψιμο ⇒ $R=Q^TA$ αντιστρέψιμο, άρα $\det R=\prod r_{ii}\ne0$ και κάθε $r_{ii}\ne0$. Ισχύει (σε ακριβή αριθμητική· σε κακώς ορισμένο πίνακα η στρογγύλευση θεωρητικά θα μπορούσε να δώσει $0$, αλλά η εκφώνηση λέει "γνωστό ότι είναι αντιστρέψιμο").
Όλα σωστά / κανένα σωστό: δεν ισχύει (το 1 είναι λάθος και τα 2–5 σωστά).

Θέμα 5¶

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Στην Ερώτηση 5 ζητείται η επιλογή και συνοπτική αλλά επαρκής αιτιολόγηση ακριβώς 3 μη τετριμμένων υποερωτημάτων από την Ερώτηση 4. Επιλέγουμε τα υποερωτήματα I, II, III ως εξής:

I. Υποερώτημα: «Αν το $A$ είναι αντιστρέψιμο και η εντολή `min(abs(diag(A)))` επιστρέφει 0, τότε είναι βέβαιο ότι θα αποτύχει η μέθοδος Jacobi για την επίλυση συστήματος $Ax = b$.»¶

Χαρακτηρισμός: Ισχύει (Αληθής).
Αιτιολόγηση: Η στάσιμη επαναληπτική μέθοδος Jacobi βασίζεται στη διάσπαση $A = D - (L + U)$, όπου $D = \text{diag}(a_{11}, \dots, a_{nn})$. Ο επαναληπτικός τύπος είναι: $$x^{(k+1)} = D^{-1} \left(b + (L + U) x^{(k)}\right)$$ ο οποίος απαιτεί τη διαίρεση κάθε γραμμής με το αντίστοιχο διαγώνιο στοιχείο $a_{ii}$. Εάν $\min(|a_{ii}|) = 0$, υπάρχει τουλάχιστον ένας δείκτης $i$ με $a_{ii} = 0$. Τότε ο πίνακας $D$ δεν αντιστρέφεται (διαίρεση με το μηδέν), καθιστώντας αδύνατη την εκτέλεση του πρώτου κιόλας βήματος της μεθόδου, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι ο πίνακας $A$ ως σύνολο είναι αντιστρέψιμος.

II. Υποερώτημα: «Αν ένα μητρώο είναι ανακλαστής Householder τότε είναι συμμετρικό.»¶

Χαρακτηρισμός: Ισχύει (Αληθής).
Αιτιολόγηση: Ένας μετασχηματισμός (ανακλαστής) Householder ορίζεται ως: $$H = I - 2 \frac{v v^T}{v^T v}$$ όπου $v \neq 0$ διάνυσμα στήλη. Παίρνοντας τον ανάστροφο του πίνακα: $$H^T = \left(I - 2 \frac{v v^T}{v^T v}\right)^T = I^T - 2 \frac{(v v^T)^T}{v^T v} = I - 2 \frac{v v^T}{v^T v} = H$$ Εφόσον $H^T = H$, κάθε μητρώο Householder είναι εξ ορισμού συμμετρικό (καθώς και ορθογώνιο, $H^T H = I$).

III. Υποερώτημα: «Η πράξη `Inf - Inf` στη MATLAB επιστρέφει `NaN`.»¶

Χαρακτηρισμός: Ισχύει (Αληθής).
Αιτιολόγηση: Σύμφωνα με το πρότυπο κινητής υποδιαστολής IEEE 754 διπλής ακρίβειας που εφαρμόζει η MATLAB, η πράξη $\infty - \infty$ αποτελεί μαθηματικά απροσδιόριστη μορφή (indeterminate form). Το αποτέλεσμα τέτοιων μη ορισμένων πράξεων έχει καθοριστεί να αναπαρίσταται από τη μη αριθμητική ειδική τιμή NaN (Not-a-Number).

Θέμα 6¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

$f=3\sin x+x^2$ στο $[0,2]$.

Απλός κανόνας μέσου σημείου: $I\approx(b-a)f(1)=2(3\sin1+1)=7.0488$. $I_{num}\approx7.049$, απόλυτο σφάλμα $|7.0488-6.915|\approx1.34\text{e-}01$.
$|E|\le\frac{(b-a)h^4}{180}\max|f^{(4)}|=\frac{2\,(2/n)^4}{180}\cdot3=\frac{0.5333}{n^4}<0.06$ ⇒ $n^4>8.89$ ⇒ $n>1.73$. Για $n=2$: $E\le0.0333<0.06$ ✓. Ο $n$ πρέπει να είναι άρτιος: $n=2$ υποδιαστήματα.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή