Μετάβαση στο περιεχόμενο

Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Φεβρουάριος 2026

IMG_5923.png

[Barcode]

+96/2/29+

Ερώτηση 1 (1.5β) Δίνεται η συνάρτηση $\(f(x) = 4x + 5\log(2x)\)$ στο διάστημα \([4, 6]\) για την οποία ισχύει \(f(x) > 0\) για κάθε \(x \in [4, 6]\) και \(\max_{x \in [4,6]} |f^{(4)}(x)| = 0.117\), και ζητείται η αριθμητική προσέγγιση του εμβαδού \(I\) της περιοχής μεταξύ της γραφικής παράστασης της \(f(x)\) και του άξονα-\(x\).

  1. Χρησιμοποιώντας το βασικό (απλό) κανόνα Μέσου Σημείου να υπολογίσετε κατά προσέγγιση το \(I\). ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Τιμή προσέγγισης: [ ]

  2. Χρησιμοποιώντας το σύνθετο κανόνα Simpson να επαναυπολογίσετε κατά προσέγγιση, το \(I\), χρησιμοποιώντας 2 ίσα υποδιαστήματα στο \([4, 6]\). ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Τιμή προσέγγισης: [ ]

  3. Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο αριθμό ισομεγεθών υποδιαστημάτων, \(n\), που απαιτούνται ώστε το σφάλμα προσέγγισης, χρησιμοποιώντας τον σύνθετο κανόνα Simpson, να είναι κατά μέγιστο \(3.0000e-01\). ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Χρειάζονται τουλάχιστον \(n =\) [ ] υποδιαστήματα

Ερώτηση 2 (1.5β) Δίνεται η συνάρτηση \(f(x) = 2x^3 + 6x^2 + 3x - 3\)

  1. Να απoλογήσετε ποια από τις επαναληπτικές μεθόδους Newton ή Τέμνουσας αποτελεί τη βέλτιστη επιλογή για την προσέγγιση της ρίζας της \(f(x)\) στο διάστημα \([0, 2]\). ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Επαναληπτική Μέθοδος: [ ]

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

IMG_5924.png

[Barcode] +96/3/28+

  1. Να υπολογίσετε προσέγγιση για την ρίζα της εξίσωσης μετά από 2 επαναλήψεις της μεθόδου που επιλέξατε στο ερώτημα 1. χρησιμοποιώντας ως αρχικά σημεία το \(x_0 = 0\) και το \(x_1 = 0.56\), ανάλογα με τις απαιτήσεις της μεθόδου. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Προσέγγιση ρίζας: [ ]

  2. Δίνεται το μη-γραμμικό σύστημα εξισώσεων: $\(f(x) = \begin{cases} -5x^2 + 4y + 2 = 0 \\ -3x - 5y^2 - 5 = 0 \end{cases}\)$ και τα διανύσματα \(x_1^T = [\frac{3}{25} \ -1]\) και \(x_2^T = [1 \ \frac{3}{50}]\). Ποιο από τα διανύσματα είναι το καταλληλότερο για αρχική προσέγγιση της μεθόδου Newton; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Αρχική προσέγγιση: [ ]

Ερώτηση 3 ▲ (20%), Χ.Ε. Μαυρίστε ή σημειώστε Χ στο κουτάκι όσα από τα παρακάτω υποερωτήματα ισχύουν στη γενική περίπτωση (εκτός αν δηλώνεται κάτι διαφορετικό). Δεν υπάρχει αρνητική βαθμολογία. Προσοχή: Για να βαθμολογηθούν, 3 από τα υποερωτήματα που θα επιλέξετε εσείς, θα χρειαστούν και ΕΠΑΡΚΗ αιτιολόγηση (δείτε το επόμενο ερώτημα). - [ ] Η χρήση κόμβων Chebyshev για παρεμβολή πολυωνύμων αυξάνει την πιθανότητα εμφάνισης του φαινομένου Runge. - [ ] Όταν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνάρτηση roots της MATLAB για την προσέγγιση ριζών μη γραμμικής εξίσωσης, δεν χρειάζεται να δοθεί αρχική προσέγγιση. - [ ] Η μέθοδος CG για την επίλυση του \(Ax = b\) χαρακτηρίζεται ως matrix-free γιατί συγκλίνει για συμμετρικά μητρώα ανεξάρτητα από τις ιδιοτιμές τους. - [ ] Η μεταβλητή F έχει αρχικοποιηθεί στη MATLAB με ένα μητρώο που τυχαίνει να είναι ορθογώνιο. Επειδή αυτό δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων και χρειάζεται η παραγοντοποίηση LU, εκτελούνται οι εντολές [L,U,P]=lu(F);. Τότε ισχύει ότι diag(L) θα είναι ένα διάνυσμα μονάδων.

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

IMG_5925.png

[Barcode]

+96/4/27+

  • [ ] Κανένα από τα 5 (μη τετριμμένα) προτεινόμενα δεν είναι σωστά.
  • [ ] Η πράξη realmax+realmin-realmax==0 στη MATLAB επιστρέφει logical 1.
  • [ ] Όλα τα 5 (μη τετριμμένα) προτεινόμενα είναι σωστά.

Ερώτηση 4 (15β) Στο προηγούμενο ερώτημα, επιλέξτε ακριβώς 3 υποερωτήματα που απαντήσατε καλύτερα, σημειώστε τους λατ. αριθμούς Ι, ΙΙ, ΙΙΙ αριστερά από το αντίστοιχο κουτάκι και αιτιολογήστε τα συνοπτικά παρακάτω. Προσοχή: Μην επιχειρήσετε να αιτιολογήσετε περισσότερες ερωτήσεις γιατί δεν θα θα ληφθούν υπόψη. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι επαρκείς και όχι απλά αναδιατύπωση της εκφώνησης. Αν έχετε επιλέξει ότι είναι όλα σωστά ή όλα λάθος, τότε πρέπει να επιλέξετε 3 από τις ερωτήσεις που δεν είναι του τύπου όλα σωστά ή όλα λάθος και να τις απαντήσετε. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. Ι (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. ΙΙ (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. ΙΙΙ (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

Ερώτηση 5 (20β) Δίνεται ο παρακάτω κώδικας MATLAB: 1. A=[1 4 2 2; 4 2 1 2; 2 1 4 2; 2 2 2 3]; 2. b=2*A(:,2)+A(:,4); 3. C=diag([8; 6; 2; 4])+A; 4. x=C\b; 1. Να αιτιολογήσετε σε ποια από τις γνωστές άμεσες μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων θα βασιστεί η MATLAB για την επίλυση του συστήματος στο

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

IMG_5926.png

[Barcode] +96/6/25+

  1. Να βρείτε τη μορφή Newton του πολυωνύμου παρεμβολής \(g(x)\). ΑΠΑΝΤΗΣΗ: \(g(x)=\) [ ]

  2. Να βρείτε ένα άνω φράγμα, \(M_1\), όσο πιο σφιχτό γίνεται, για το μέγεθος του σφάλματος παρεμβολής. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Το \(M_1 =\) [ ]

  3. Να βρείτε γραμμικό πολυώνυμο \(w(x)\) που ελαχιστοποιεί το \(\sum_{i=0}^{2} |w(x_i)-f(x_i)|^2\). ΑΠΑΝΤΗΣΗ: \(w(x) =\) [ ] \(x +\) [ ]

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2026-02

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα 1

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν

\(f(x)=4x+5\ln(2x)\) στο \([4,6]\) (το log της MATLAB είναι φυσικός λογάριθμος). Αριθμοί με Python.

  1. Απλός κανόνας μέσου σημείου: \(I\approx(b-a)f\!\left(\tfrac{a+b}{2}\right)=2f(5)=2(20+5\ln10)=\) \(63.026\).
  2. Σύνθετος Simpson με \(n=2\) (\(h=1\)): \(I\approx\frac h3[f(4)+4f(5)+f(6)]=\) \(62.958\).
  3. \(|E|\le\frac{(b-a)h^4}{180}\max|f^{(4)}|=\frac{2\,h^4}{180}\cdot0.117\) με \(h=2/n\). Για \(n=2\): \(E\le0.0013\le0.3\). Ο Simpson θέλει άρτιο \(n\), άρα το ελάχιστο έγκυρο \(n\) είναι 2: \(n=2\) υποδιαστήματα. (Ακόμη και \(n=1\) θα ικανοποιούσε την ανισότητα \(0.0208/n^4\le0.3\), αλλά δεν ορίζεται σύνθετος Simpson με περιττό πλήθος.)

Θέμα 2

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

\(f(x)=2x^3+6x^2+3x-3\), \(f'=6x^2+12x+3>0\), \(f''=12x+12>0\) στο \([0,2]\), \(f(0)=-3\), \(f(2)=43\). Μοναδική πραγματική ρίζα \(\approx0.47569\).

  1. Η \(f'\) είναι πολυωνυμική, άρα φτηνή, και δεν μηδενίζεται στο \([0,2]\) (\(f'\ge3\)). Η Newton έχει τετραγωνική σύγκλιση και θέλει ένα αρχικό σημείο, ενώ η τέμνουσα έχει τάξη \(\approx1.618\). Επιλέγω Newton. Δεν είναι σίγουρο τι περιμένει ο εξεταστής (η τέμνουσα δεν χρειάζεται παράγωγο, και η Newton από το \(x_0=0\) κάνει πρώτα υπερπήδηση, επειδή \(f(0)f''(0)<0\)).
  2. Newton με \(x_0=0\): \(x_1=1.0\), \(x_2=0.61905\). Προσέγγιση \(\approx0.6190\). (Αν χρησιμοποιηθεί τέμνουσα με \(x_0=0\), \(x_1=0.56\): \(x_2=0.42936\), \(x_3=0.47234\).)
  3. \(F=(-5x^2+4y+2,\ -3x-5y^2-5)\), \(J=\begin{pmatrix}-10x&4\-3&-10y\end{pmatrix}\).
  4. \(x_1=(3/25,-1)\): \(J=\begin{pmatrix}-1.2&4\-3&10\end{pmatrix}\), \(\det=-12+12=0\) ⇒ ιδιάζον.
  5. \(x_2=(1,3/50)\): \(J=\begin{pmatrix}-10&4\-3&-0.6\end{pmatrix}\), \(\det=6+12=18\), \(\kappa_2\approx6.8\). Καταλληλότερο το \(x_2=(1,\,3/50)^T\).

Θέμα 3 (Χ.Ε.)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Φαίνονται 4 συγκεκριμένα υποερωτήματα στη μεταγραφή (μαζί με τα "όλα/κανένα σωστά"). Ίσως λείπει κάποιο.

  1. Κόμβοι Chebyshev μειώνουν το φαινόμενο Runge. Δεν ισχύει.
  2. Η roots εφαρμόζεται σε πολυώνυμα και υπολογίζει τις ρίζες μέσω ιδιοτιμών του companion πίνακα, χωρίς αρχική προσέγγιση. Ισχύει.
  3. Η CG λέγεται matrix-free γιατί χρειάζεται μόνο γινόμενα \(Ax\) (όχι αποθήκευση του \(A\)). Συγκλίνει για συμμετρικά θετικά ορισμένα και η ταχύτητα εξαρτάται από τις ιδιοτιμές. Δεν ισχύει.
  4. [L,U,P]=lu(F) για ορθογώνιο \(F\) (\(m\times n\)): το \(L\) είναι \(m\times\min(m,n)\), κάτω τριγωνικό με μονάδες στη διαγώνιο. Ισχύει.
  5. realmax+realmin-realmax==0: \(\text{realmax}+\text{realmin}\) στρογγυλεύεται σε \(\text{realmax}\) (το realmin είναι πολύ μικρότερο από το ulp), άρα το αποτέλεσμα είναι \(0\). Ισχύει.
  6. Όλα σωστά: δεν ισχύει. Κανένα σωστό: δεν ισχύει.

Θέμα 4

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Στην Ερώτηση 4 ζητείται η επιλογή και συνοπτική αλλά επαρκής αιτιολόγηση ακριβώς 3 μη τετριμμένων υποερωτημάτων από την Ερώτηση 3. Επιλέγουμε τα υποερωτήματα I, II, III ως εξής:

I. Υποερώτημα: «Η χρήση κόμβων Chebyshev για παρεμβολή πολυωνύμων αυξάνει την πιθανότητα εμφάνισης του φαινομένου Runge.»

  • Χαρακτηρισμός: Δεν ισχύει (Ψευδής).
  • Αιτιολόγηση: Το φαινόμενο Runge (μεγάλες ταλαντώσεις και απόκλιση του πολυωνύμου παρεμβολής κοντά στα άκρα του διαστήματος) εμφανίζεται κατά τη χρήση ισαπεχόντων κόμβων (equispaced nodes) υψηλού βαθμού. Αντιθέτως, οι κόμβοι Chebyshev (οι ρίζες των πολυωνύμων Chebyshev 1ου είδους) πυκνώνουν προς τα άκρα του διαστήματος και ελαχιστοποιούν το \(\max_{x \in [-1, 1]} \prod_{i=0}^n |x - x_i|\), ελαχιστοποιώντας έτσι το σφάλμα παρεμβολής Lagrange και καταστέλλοντας πλήρως το φαινόμενο Runge (δεν το αυξάνουν).

II. Υποερώτημα: «Όταν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνάρτηση roots της MATLAB για την προσέγγιση ριζών μη γραμμικής εξίσωσης, δεν χρειάζεται να δοθεί αρχική προσέγγιση.»

  • Χαρακτηρισμός: Ισχύει (Αληθής).
  • Αιτιολόγηση: Η συνάρτηση roots(p) της MATLAB χρησιμοποιείται αποκλειστικά για πολυωνυμικές εξισώσεις, λαμβάνοντας ως είσοδο μόνο το διάνυσμα των συντελεστών του πολυωνύμου. Κατασκευάζει τον πίνακα συνοδείας (companion matrix) του πολυωνύμου και υπολογίζει ταυτόχρονα όλες τις ρίζες (πραγματικές και μιγαδικές) ως ιδιοτιμές αυτού του πίνακα (μέσω του αλγορίθμου QR), χωρίς να απαιτείται καμία αρχική προσέγγιση (initial guess) από τον χρήστη.

III. Υποερώτημα: «Η πράξη realmax+realmin-realmax==0 στη MATLAB επιστρέφει logical 1.»

  • Χαρακτηρισμός: Ισχύει (Αληθής).
  • Αιτιολόγηση: Στο πρότυπο διπλής ακρίβειας IEEE 754 της MATLAB, realmax \(\approx 1.7977 \times 10^{308}\) και realmin \(\approx 2.2251 \times 10^{-308}\). Το ulp (unit in the last place) του realmax είναι \(2^{971} \approx 2 \times 10^{292}\). Επειδή το realmin είναι απείρως μικρότερο από το ulp του realmax, η πρόσθεση realmax + realmin στρογγυλεύεται αναπόφευκτα ακριβώς στο realmax (underflow στο επίπεδο διακριτοποίησης του realmax). Συνεπώς, (realmax + realmin) - realmax ισούται με realmax - realmax = 0, και η λογική ισότητα με το \(0\) επιστρέφει logical 1 (true).

Θέμα 5 (μόνο το πρώτο υποερώτημα)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

\(A\) συμμετρικό, \(C=A+\mathrm{diag}(8,6,2,4)\): $\(C=\begin{pmatrix}9&4&2&2\4&8&1&2\2&1&6&2\2&2&2&7\end{pmatrix}.\)$ Το \(C\) είναι συμμετρικό με θετική διαγώνιο και οι ιδιοτιμές του (υπολογισμός Python) είναι \(3.89,\,5.00,\,6.49,\,14.62>0\): συμμετρικό θετικά ορισμένο. Η mldivide (\) ελέγχει συμμετρία και θετική διαγώνιο και δοκιμάζει παραγοντοποίηση Cholesky \(C=LL^T\), που πετυχαίνει. Τότε λύνει δύο τριγωνικά συστήματα. Μέθοδος: Cholesky.

Τα επόμενα υποερωτήματα του Θέματος 5 και το ερώτημα παρεμβολής (μορφή Newton του \(g(x)\), φράγμα σφάλματος \(M_1\), ελάχιστα τετράγωνα \(w(x)\)) δεν λύθηκαν: δεν υπάρχουν στη μεταγραφή οι τιμές/κόμβοι, ούτε η εκφώνηση.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή