Μετάβαση στο περιεχόμενο

Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Ιούνιος 2025

IMG_20250618_090600049_HDR.jpg

[Barcode]

+20/2/847+

Ερώτηση 1 (15b)

Δίνεται η συνάρτηση \(f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 5x - 4\)

  1. Να χρησιμοποιήσετε κατάλληλη επαναληπτική μέθοδο για την προσέγγιση της ρίζας της \(f(x)\) στο διάστημα \([0, 2]\). Να υπολογίσετε προσέγγιση για την ρίζα της εξίσωσης μετά από 2 επαναλήψεις της μεθόδου που θα επιλέξετε, χρησιμοποιώντας ως αρχικά σημεία το \(x_0 = 0\) και/ή το \(x_1 = 0.56\), ανάλογα με τις απαιτήσεις της μεθόδου. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Επαναληπτική Μέθοδος: ____________________ Προσέγγιση ρίζας: [ ]

  2. Ποιο από τα δύο βασικά κριτήρια τερματισμού (την απόλυτη τιμή του καταλοίπου ή την απόσταση διαδοχικών προσεγγίσεων) θα επιλέγατε, ώστε η επαναληπτική μέθοδος που εφαρμόσατε να τερματίσει στη δεύτερη επανάληψη με σφάλμα μικρότερο από 6.0249e-01. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Κριτήριο Τερματισμού: ____________________

  3. Δίνεται το μη-γραμμικό σύστημα εξισώσεων:

\[f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 5y - 3 = 0 \\ -5x - 2y^2 - 5 = 0 \end{cases}\]

και τα διανύσματα \(x_1^T = [-1 \quad -\frac{25}{32}]\) και \(x_2^T = [-\frac{25}{16} \quad 1]\). Ποιο από τα διανύσματα είναι το καταλληλότερο για αρχική προσέγγιση της μεθόδου Newton; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Αρχική προσέγγιση: [ ]

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

18 Ιουν 2025, 09:06

IMG_20250618_090609278_AE.jpg

[Barcode]

+20/3/846+

Ερώτηση 2 (15β) Δίνεται το ολοκλήρωμα $$ \int_{1}^{3} (2x^2 + 5\ln(x^2)) \, dx $$ και η ακριβής τιμή του: \(I_{ex} = 30.292\).

  1. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα Simpson να υπολογίσετε την αριθμητική προσέγγιση του ολοκληρώματος, \(I_{simp}\), και να βρείτε το απόλυτο σφάλμα της προσέγγισης. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Τιμή προσέγγισης: [ ] Απόλυτο σφάλμα: [ ]

  2. Χρησιμοποιώντας τη σύνθετη μέθοδο του τραπεζίου, να προσδιορίσετε τον ελάχιστο αριθμό ισομεγεθών υποδιαστημάτων, \(n\), που απαιτούνται ώστε το μέγιστο σφάλμα προσέγγισης να είναι μικρότερο από \(2.0000e-02\). ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Χρειάζονται τουλάχιστον \(n =\) [ ] υποδιαστήματα

Ερώτηση 3 (20β) Δίνεται το μητρώο \(A\): $$ A = \begin{bmatrix} 10 & -4 & 0 & 0 \ -5 & 11 & -2 & 0 \ 0 & 2 & 9 & -4 \ 0 & 0 & -3 & 6 \end{bmatrix} $$

Η εντολή svd(A) επιτρέφει τις τιμές: 15.1348, 11.4554, 6.1074, 3.7965 Η εντολή eig(A) για το παραπάνω επιτρέφει τις τιμές 14.4801, 11.4944, 6, 4.0255 Οι εντολές s=svd(A); p=sum(s.^2) επιτρέφουν: 412

Να απαντήσετε (πάντα με αιτιολόγηση) τα παρακάτω:

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

18 Ιουν 2025, 09:06

IMG_20250618_090620427_AE.jpg

+20/4/845+

  1. Η νόρμα μεγίστου του B=tril(A) είναι \(||B||_\infty=\) [ ].

  2. Ο δείκτης κατάστασης του \(A\) ως προς τη νόρμα-2 είναι \(\kappa_2(A)=\) [ ].

  3. Ο δείκτης κατάστασης του \(A^\top A\) ως προς τη νόρμα-2 είναι \(\kappa_2(A^\top A)=\) [ ].

  4. Έστω ότι στη MATLAB καλούμε [L,U]=lu(A). Να υπολογίσετε και να συμπληρώσετε στις θέσεις τους όλα τα στοιχεία L(:,1:2) και U(1:2,:).

\[L = \begin{bmatrix} & & * & * \\ & & * & * \\ & & * & * \\ & & * & * \end{bmatrix} \quad U = \begin{bmatrix} * & * & * & * \\ * & * & * & * \\ & & & \\ & & & \end{bmatrix}\]

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

18 Ιουν 2025, 09:06

IMG_20250618_090633764_HDR.jpg

[Barcode] [Barcode] +20/5/844+

Ερώτηση 4 (25β) Θέλουμε να προσεγγίσουμε μια \(f \in C^{(3)}[1,3]\) με πολυωνυμική παρεμβολή, βάσει των τιμών της στις τετμημένες \(x\) όπως φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα, αν γνωρίζουμε ότι \(\max_{x\in[1,3]} |f^{(2)}| = 26\) και \(\max_{x\in[1,3]} |f^{(3)}| = 6\). (Υπόδειξη: Οι υπερδέκτες \((i)\) υποδηλώνουν την \(i\)-στη παράγωγο.)

\(x\) \(f(x)\)
\(x_0\) 1 12
\(x_1\) 2 35
\(x_2\) 3 78

  1. Να βρείτε τη δυναμομορφή του πολυωνύμου παρεμβολής \(g(x)\). (Υπόδειξη: Δεν απαιτείται η λύση γραμμικού συστήματος). ΑΠΑΝΤΗΣΗ: \(g(x) = \boxed{} x^2 + \boxed{} x + \boxed{}\)

  2. Να βρείτε ένα άνω φράγμα, \(M_1\), όσο πιο σφιχτό γίνεται, για το μέγεθος του σφάλματος παρεμβολής. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Το \(M_1 = \boxed{}\)

  3. Να βρείτε γραμμικό πολυώνυμο \(w(x)\) που ελαχιστοποιεί το \(\sum_{i=0}^{2} |w(x_i)-f(x_i)|^2\). ΑΠΑΝΤΗΣΗ: \(w(x) = \boxed{} x + \boxed{}\)

  4. Στη συνέχεια θέλουμε να προσεγγίσουμε την \(f\) με ένα τμηματικά γραμμικό πολυώνυμο παρεμβολής, \(S\). (α') Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθμός υποδιαστημάτων που απαιτείται ώστε το μέγιστο σφάλμα της τμηματικά γραμμικής παρεμβολής να είναι μικρό-

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

18 Ιουν 2025, 09:06

IMG_20250618_090644744_AE.jpg

[Barcode]

+20/6/843+

τερο του 3.00e-02; ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Χρειάζονται τουλάχιστον [ ] υποδιαστήματα

(6) Έστω ότι το \(S(x)\) στα δύο πρώτα υποδιαστήματα είναι \(S_1(x)\) για \(x \in [x_0, x_0 + h]\) και \(S_2(x)\) για \(x \in [x_0 + h, x_0 + 2h]\). Χρησιμοποιώντας επιπλέον τις τιμές της \(f\) στις τετμημένες \(x_0 + h\) και \(x_0 + 2h\) να βρείτε τα \(S_1(x)\) και \(S_2(x)\). (Υπόδειξη: Σας συνιστούμε τη χρήση της μορφής Newton για την αναπαράσταση πολυωνύμων.)

| \(f(x_0 + h)\) | 13.72 | | \(f(x_0 + 2h)\) | 15.61 |

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: \(S_1(x) =\) \(S_2(x) =\)

Ερώτηση 5 & (20β), Χ.Ε. Μαυρίστε ή σημειώστε Χ στο κουτάκι όσα από τα παρακάτω υποερωτήματα ισχύουν στην γενική περίπτωση (εκτός αν δηλώνεται κάτι διαφορετικό). Δεν υπάρχει αρνητική βαθμολογία. Προσοχή: Για να βαθμολογηθούν, 3 από τα υποερωτήματα που θα επιλέξετε εσείς, θα χρειαστούν και ΕΠΑΡΚΗ αιτιολόγηση (δείτε το επόμενο ερώτημα).

  • [ ] Οι εντολές ( (1+eps/2)*8-8)/eps επιστρέφουν 1.
  • [ ] Όλα τα 5 (μη τετριμμένα) προτεινόμενα είναι σωστά.
  • [ ] Αν A=tril(rand(n))+n*eye(n);A=A+A'; τότε η επίλυση του \(Ax = b\) απαιτεί \(O(n^3)\) πράξεις αριθμητικής κινητής υποδιαστολής.
  • [ ] Γενικά, η μέθοδος Gauss-Seidel για την επίλυση γραμμικού συστήματος \(Ax = b\) απαιτεί επίλυση τριγωνικού συστήματος ανά επανάληψη για να εφαρμοστεί.
  • [ ] Η μέθοδος μετατοπισμένης αντίστροφης δυνάμεως εφαρμόζεται για την προσέγγιση ιδιοτιμής κοντά σε προκαθορισμένη τιμή μετατόπισης.
  • [ ] Για την προσέγγιση της ρίζας της μη γραμμικής εξίσωσης \(f(x) = 0\), η μέθοδος τέμνουσας αναμένεται να είναι αποδοτικότερη (δηλ. να χρειάζεται λιγότερους υπολογισμούς της \(f\)) από τη μέθοδο διχοτόμησης.
  • [ ] Κανένα από τα 5 (μη τετριμμένα) προτεινόμενα δεν είναι σωστά.

Ερώτηση 6 (15β) ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

IMG_20250618_090655557_HDR.jpg

Στο προηγούμενο ερώτημα, επιλέξτε ακριβώς 3 υποερωτήματα που απαντήσατε καλύτερα και σημειώστε τους λατ. αριθμούς I, II, III αριστερά από το αντίστοιχο κουτάκι. και αιτιολογήστε τα συνοπτικά παρακάτω. Προσοχή: Μην επιχειρήσετε να αιτιολογήσετε περισσότερες ερωτήσεις γιατί δεν θα θα ληφθούν υπόψη. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι επαρκείς και όχι απλά αναδιατύπωση της εκφώνησης. Αν έχετε επιλέξει ότι είναι όλα σωστά ή όλα λάθος, τότε πρέπει να επιλέξετε 3 από τις ερωτήσεις που δεν είναι του τύπου όλα σωστά ή όλα λάθος και να τις απαντήσετε. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. I (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. II (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. III (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

18 Ιουν 2025, 09:06

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2025-06

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα 1

Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε) · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Όλοι οι αριθμοί υπολογίστηκαν με Python. \(f(x)=4x^3+3x^2+5x-4\), \(f'(x)=12x^2+6x+5>0\), \(f''=24x+6>0\) στο \([0,2]\). Η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή, με \(f(0)=-4<0<f(2)\): μοναδική ρίζα \(\approx0.52232\).

  1. Επιλέγω τη μέθοδο Newton (\(x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)\)) με \(x_0=0\) (χρειάζεται μόνο ένα αρχικό σημείο): \(x_1=0.8\), \(x_2=0.57300\). Προσέγγιση ρίζας: \(\approx0.5730\). (Για σύγκριση, η τέμνουσα με \(x_0=0,\ x_1=0.56\) δίνει \(x_2=0.50413\), \(x_3=0.52176\). Ο εξεταστής μάλλον ήθελε Newton: βλ. το 2.)
  2. Υπολογισμοί Newton από \(x_0=0\): \(|x_1-x_0|=0.8\), \(|f(x_1)|=3.968\). Στη 2η επανάληψη: \(|x_2-x_1|=0.2270\) και \(|f(x_2)|=0.602489\), και το \(0.602489<0.60249\) ταιριάζει ακριβώς με το όριο της εκφώνησης. Μετά την 1η επανάληψη κανένα κριτήριο δεν ικανοποιείται, ενώ στη 2η ικανοποιούνται και τα δύο. Η τιμή του ορίου προκύπτει από το κριτήριο του καταλοίπου \(|f(x_k)|\), το οποίο και επιλέγω. Το πραγματικό σφάλμα του \(x_2\) είναι \(0.0507\). Χαμηλή βεβαιότητα για το τι ακριβώς αναμένει η εκφώνηση, γιατί το κριτήριο διαδοχικών προσεγγίσεων επίσης ικανοποιείται.
  3. \(F=(2x^2-5y-3,\ -5x-2y^2-5)\), \(J=\begin{pmatrix}4x&-5\-5&-4y\end{pmatrix}\).
  4. \(x_1=(-1,-25/32)\): \(J=\begin{pmatrix}-4&-5\-5&3.125\end{pmatrix}\), \(\det=-37.5\), \(\kappa_2(J)\approx1.15\) (πολύ καλά ορισμένο).
  5. \(x_2=(-25/16,1)\): \(J=\begin{pmatrix}-6.25&-5\-5&-4\end{pmatrix}\), \(\det=25-25=0\): ιδιάζον \(J\), το βήμα Newton δεν ορίζεται. Καταλληλότερο το \(x_1=(-1,-25/32)^T\).

Θέμα 2

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

\(f(x)=2x^2+5\ln(x^2)=2x^2+10\ln x\) (στο \([1,3]\)).

  1. Simpson (απλός): \(I\approx\frac{b-a}{6}[f(1)+4f(2)+f(3)]=\frac26[2+4(14.9315)+28.9861]=30.2373\). \(I_{simp}\approx30.237\), απόλυτο σφάλμα \(|30.292-30.2373|\approx5.47\text{e-}02\).
  2. \(f''=4-10/x^2\), \(\max_{[1,3]}|f''|=6\) (στο \(x=1\)). Σύνθετο τραπέζιο: \(|E|\le\frac{(b-a)^3}{12n^2}\max|f''|=\frac{8\cdot6}{12n^2}=\frac{4}{n^2}\). Απαιτούμε \(4/n^2<0.02\Rightarrow n^2>200\Rightarrow n>14.14\). \(n=15\) υποδιαστήματα.

Θέμα 3

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

  1. \(B=\mathrm{tril}(A)\), αθροίσματα γραμμών: \(10,\ 5+11=16,\ 2+9=11,\ 3+6=9\). \(\|B\|_\infty=16\) (1.60e+01).
  2. \(\kappa_2(A)=\sigma_{\max}/\sigma_{\min}=15.1348/3.7965=\) 3.986 (\(\approx3.99\text{e+}00\)). (Δεν χρησιμοποιούνται οι ιδιοτιμές, γιατί το \(A\) δεν είναι συμμετρικό.)
  3. $\kappa_2(A^TA)=\kappa_2(A)^2=\ \(**15.89** (\)\approx1.59\text{e+}01$), γιατί οι ιδιοτιμές του \(A^TA\) είναι \(\sigma_i^2\).
  4. Μερική οδήγηση: οι πιθανοί οδηγοί είναι κάθε φορά οι μέγιστοι σε απόλυτη τιμή και δεν χρειάζονται εναλλαγές (\(10>5\), \(9>2\) κλπ.), άρα \(P=I\). Υπολογισμός: \(L_{21}=-0.5\), \(L_{32}=2/9=0.2222\), \(U_{22}=11-2=9\), \(U_{23}=-2\): $\(L(:,1{:}2)=\begin{pmatrix}1&0\-0.5&1\0&0.2222\0&0\end{pmatrix},\quad U(1{:}2,:)=\begin{pmatrix}10&-4&0&0\0&9&-2&0\end{pmatrix}.\)$ (Συμπληρωματικά: \(L_{43}=-0.3176\), \(U_{33}=9.4444\), \(U_{34}=-4\), \(U_{44}=4.7294\).)

Θέμα 4

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν

  1. Newton: \(f[x_0,x_1]=23\), \(f[x_1,x_2]=43\), \(f[x_0,x_1,x_2]=(43-23)/2=10\). \(g(x)=12+23(x-1)+10(x-1)(x-2)=\) \(10x^2-7x+9\) (έλεγχος \(g(3)=78\)).
  2. \(|f-g|\le\frac{\max|f'''|}{3!}\max|(x-1)(x-2)(x-3)|=\frac66\cdot\frac{2\sqrt3}{9}=0.3849\). \(M_1\approx3.85\text{e-}01\). (Το μέγιστο του \(|\omega|\) είναι στα \(x=2\pm1/\sqrt3\).)
  3. Ελάχιστα τετράγωνα (3 σημεία, ευθεία): κλίση \(=\frac{\sum(x_i-2)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-2)^2}=\frac{78-12}{2}=33\), \(\bar y=125/3\), τομή \(=\bar y-33\cdot2=-73/3\). \(w(x)=33x-24.333\) (\(=33x-\tfrac{73}{3}\)).
  4. (α) Τμηματικά γραμμική: \(|f-S|\le\frac{h^2}{8}\max|f''|=\frac{26h^2}{8}<0.03\Rightarrow h<0.09608\). Με \(n=2/h>20.82\): \(n=21\) υποδιαστήματα. (β) Δεν είναι σαφές στη μεταγραφή ποιο είναι το \(f(x_0)\) και το \(h\). Αν \(x_0=1\), \(f(x_0)=12\) (από τον πίνακα) και \(h=2/21\), η μορφή Newton δίνει \(S_1(x)=12+\frac{13.72-12}{h}(x-x_0)=12+18.06(x-1)\), \(S_2(x)=13.72+\frac{15.61-13.72}{h}(x-x_0-h)=13.72+19.845\,(x-1-h)\) με \(h=2/21\). Χαμηλή εμπιστοσύνη (οι υποθέσεις \(x_0,h,f(x_0)\) δεν προκύπτουν σίγουρα από το κείμενο).

Θέμα 5 (Χ.Ε.)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Σειρά όπως στην εκφώνηση (τα 5 μη τετριμμένα):

  1. ((1+eps/2)*8-8)/eps: το \(1+\epsilon/2\) στρογγυλεύεται στο \(1\) (ισοπαλία, προς άρτιο), άρα \((8-8)/\epsilon=0\). Δεν ισχύει (δεν επιστρέφει 1).
  2. Όλα σωστά: δεν ισχύει (το 1 είναι λάθος).
  3. Ο \(A=\mathrm{tril}(\mathrm{rand}(n))+nI;\ A+A^T\) είναι γεμάτος συμμετρικός: η επίλυση (LU ή Cholesky) κοστίζει \(O(n^3)\). Ισχύει.
  4. Gauss-Seidel: \((D+L)x^{(k+1)}=b-Ux^{(k)}\): επίλυση κάτω τριγωνικού συστήματος ανά επανάληψη. Ισχύει.
  5. Μετατοπισμένη αντίστροφη δύναμη: συγκλίνει στην ιδιοτιμή που είναι πιο κοντά στη μετατόπιση \(\sigma\). Ισχύει.
  6. Τέμνουσα: υπεργραμμική σύγκλιση (τάξη \(\approx1.618\)) με 1 υπολογισμό της \(f\) ανά βήμα, ενώ η διχοτόμηση έχει γραμμική σύγκλιση. Ισχύει (γενικά).
  7. Κανένα σωστό: δεν ισχύει.

Θέμα 6

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Στην Ερώτηση 6 ζητείται η επιλογή και συνοπτική αλλά επαρκής αιτιολόγηση ακριβώς 3 μη τετριμμένων υποερωτημάτων από την Ερώτηση 5. Επιλέγουμε τα υποερωτήματα I, II, III ως εξής:

I. Υποερώτημα: «Οι εντολές ((1+eps/2)*8-8)/eps επιστρέφουν 1.»

  • Χαρακτηρισμός: Δεν ισχύει (Ψευδής).
  • Αιτιολόγηση: Στο πρότυπο κινητής υποδιαστολής IEEE 754 διπλής ακρίβειας (όπως χρησιμοποιείται στη MATLAB), το eps (\(= 2^{-52}\)) είναι η απόσταση μεταξύ του 1 και του αμέσως επόμενου αριθμού κινητής υποδιαστολής. Η ποσότητα \(1 + \text{eps}/2\) βρίσκεται ακριβώς στο μέσο του διαστήματος \([1, 1 + \text{eps}]\). Με τον προεπιλεγμένο κανόνα στρογγύλευσης στον πλησιέστερο άρτιο αριθμό (round-to-nearest, ties to even), επειδή το λιγότερο σημαντικό bit του 1 είναι 0 (άρτιο), η παράσταση \(1 + \text{eps}/2\) στρογγυλεύεται ακριβώς στο \(1\). Επομένως, ο υπολογισμός δίνει \(((1 \cdot 8) - 8)/\text{eps} = 0/\text{eps} = 0\), και η έκφραση επιστρέφει \(0\) και όχι \(1\).

II. Υποερώτημα: «Γενικά, η μέθοδος Gauss-Seidel για την επίλυση γραμμικού συστήματος \(Ax = b\) απαιτεί επίλυση τριγωνικού συστήματος ανά επανάληψη για να εφαρμοστεί.»

  • Χαρακτηρισμός: Ισχύει (Αληθής).
  • Αιτιολόγηση: Η στάσιμη επαναληπτική μέθοδος Gauss-Seidel βασίζεται στη διάσπαση του μητρώου \(A = D - L - U\) (όπου \(D\) διαγώνιος, \(L\) αυστηρά κάτω τριγωνικός και \(U\) αυστηρά άνω τριγωνικός). Ο πίνακας διάσπασης είναι ο \(M = D - L\), ο οποίος είναι κάτω τριγωνικός. Ο επαναληπτικός τύπος γράφεται: $\((D - L) x^{(k+1)} = U x^{(k)} + b\)$ Συνεπώς, για την εύρεση του νέου διανύσματος \(x^{(k+1)}\) σε κάθε βήμα απαιτείται η επίλυση ενός κάτω τριγωνικού γραμμικού συστήματος μέσω της μεθόδου εμπρός αντικατάστασης (forward substitution), με υπολογιστικό κόστος \(\mathcal{O}(n^2)\) πράξεων ανά επανάληψη.

III. Υποερώτημα: «Η μέθοδος μετατοπισμένης αντίστροφης δυνάμεως εφαρμόζεται για την προσέγγιση ιδιοτιμής κοντά σε προκαθορισμένη τιμή μετατόπισης.»

  • Χαρακτηρισμός: Ισχύει (Αληθής).
  • Αιτιολόγηση: Η μέθοδος μετατοπισμένης αντίστροφης επανάληψης (shifted inverse power method) εφαρμόζει τη μέθοδο των δυνάμεων στον πίνακα \((A - \sigma I)^{-1}\), όπου \(\sigma\) είναι η παράμετρος μετατόπισης (shift). Αν οι ιδιοτιμές του \(A\) είναι \(\lambda_i\), οι αντίστοιχες ιδιοτιμές του \((A - \sigma I)^{-1}\) είναι \(\mu_i = \frac{1}{\lambda_i - \sigma}\). Η κυρίαρχη ιδιοτιμή (εκείνη με το μέγιστο μέτρο \(|\mu_i|\)) αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή \(\lambda_i\) που ελαχιστοποιεί την απόσταση \(|\lambda_i - \sigma|\). Κατά συνέπεια, η μέθοδος συγκλίνει στο ιδιοζεύγος της ιδιοτιμής που βρίσκεται εγγύτερα στην τιμή μετατόπισης \(\sigma\).

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή