Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Σεπτέμβριος 2024¶

IMG_20240905_120147.jpg¶

[Barcode]

+46/2/639+

Ερώτηση 1 (25%)

Δίνεται το

\[A = \begin{pmatrix} 9 & 27 & 0 \\ 27 & 82 & 2 \\ 0 & 2 & 8 \end{pmatrix}\]

Γνωρίζουμε επίσης ότι οι ιδιοτιμές του $A$ είναι $\approx 4.9443\text{e-}02, 8.0061\text{e+}00, 9.0944\text{e+}01$. Συμπληρώστε τα κενά με τις κατάλληλες τιμές, με σωστή στρογγύλευση, στη μορφή X.XXe±EE, π.χ. 3.20e-01, εκτός αν πρόκειται για ακεραίους.

Η νόρμα μεγίστου του $B=\text{triu}(A)$ είναι $\|B\|_\infty = \boxed{\phantom{0}}$.
Ο δείκτης κατάστασης του $A$ ως προς τη νόρμα-2 είναι $\kappa_2(A) = \boxed{\phantom{0}}$.
Να υπολογίσετε τον (κάτω τριγωνικό) παράγοντα Cholesky για το $A$.

\[L = \begin{pmatrix} \phantom{0} & \phantom{0} & \phantom{0} \\ \phantom{0} & \phantom{0} & \phantom{0} \\ \phantom{0} & \phantom{0} & \phantom{0} \end{pmatrix}\]

Να υπολογίσετε αριθμητικά και με ευσταθή τρόπο όλες τις τιμές ενός διανύσματος $q$ για το οποίο ισχύει ότι αν $H = I - \frac{qq^T}{q^Tq}$, τότε η πρώτη στήλη του γινομένου $HA$ του $H$ με το παραπάνω $A$ θα είναι πολλαπλάσιο του διανύσματος της τυπικής βάσης $e_1$ (δηλ. στη πρώτη στήλη του ταυτοτικού $I$).

IMG_20240905_120201.jpg¶

Ερώτηση 2 (25β) Δίνεται η συνάρτηση $p(x) = x^3 - \frac{13}{10}x^2 + \frac{39}{100}x - \frac{27}{1000}$ 1. Χρησιμοποιήστε 1 βήμα της μεθόδου διχοτόμησης εκκινώντας από το διάστημα $[0.05, 0.2]$ και υπολογίστε την βέλτιστη προσέγγιση ρίζας. Υπόδειξη: από τη διαδικασία θα προκύψουν 1 νέο υποδιάστημα που πρέπει να υπολογίσετε. Από το τελευταίο, προκύπτει και η ζητούμενη προσέγγιση. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: | Διάστημα | Προσέγγιση ρίζας | |---|---| | | | | | |

Πόσες επαναλήψεις χρειάζονται κατ'ελάχιστο για να πετύχετε προσέγγιση $x_{προσ}$ της ρίζας που να ικανοποιεί την συνθήκη $|x_{ακριβής} - x_{προσ}| < \delta$, όπου $\delta = 1e-11$ ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Χρειάζονται τουλάχιστον [ ] επαναλήψεις
Να συμπληρώσετε τα στοιχεία του μητρώου $Z$ για το οποίο η κλήση eig($Z$) επιστρέφει τις ρίζες της $p$. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: $Z =$

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

IMG_20240905_120209.jpg¶

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Η νέα προσέγγιση είναι $\hat{x} =$ [ ]

Άσκηση 3 ⚛ (20%), Χ.Ε. Βαθμοί: Βαθμολογείστε ή σημειώστε Χ στο κουτάκι όσα από τα παρακάτω υποερωτήματα ισχύουν (εκτός αν δηλώνεται κάτι διαφορετικό). Δεν υπάρχει αρνητική βαθμολογία. Προσοχή: Για να βαθμολογηθούν, 3 από τα υποερωτήματα που επιλέξατε εσείς, θα χρειαστούν και ΕΠΑΡΚΗ αιτιολόγηση (δείτε το επόμενο ερώτημα).

[ ] Αν χρησιμοποιήσουμε αριθμητική ολοκλήρωση με τον σύνθετο κανόνα τραπεζίου για το $\int_a^b (\sqrt{3}x^2 - x + 1)dx$ το αποτέλεσμα θα είναι ακριβές (σε αριθμητική άπειρης ακρίβειας) για οποιοδήποτε διαμέριση του $[a, b]$ σε πάνελ.
[ ] Αν ένα μητρώο $A$ είναι συμμετρικό και αντιστρέψιμο, τότε πάντα υπάρχει πίνακας διαστάσεως μητρώο $K$ τέτοιο ώστε $A = KK^T$.
[ ] Δοθέντων ζευγών τιμών $\{(x_i, y_i), i = 1, \dots, n + 1\}$, οι συντελεστές της αναπαράστασης Newton του πολυωνύμου παρεμβολής είναι λύση ενός κάτω τριγωνικού συστήματος $Lc = y$ όπου τα στοιχεία κάθε γραμμής $i = 1, \dots, n + 1$ είναι της μορφής $\prod_{j=1}^{i-1}(x_i - x_j), j = 1, \dots, n + 1$.
[ ] Μια διαφορά μεταξύ του οφάλματος και του υπολοίπου στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος είναι ότι το οφάλμα δεν είναι υπολογίσιμο.
[ ] Όλα τα 6 (μη τιτρεμένα) προτεινόμενα είναι σωστά.
[ ] Αν σε κάποιο βήμα $k$ της επαναληπτικής μεθόδου Richardson για τον υπολογισμό της λύσης του $Ax = b$ τυχεί και $x^{(k)}$ είναι η ακριβής λύση του συστήματος τότε δεν ισχύει κατ'ανάγκη ότι $x^{(k+1)} = x^{(k)}$.
[ ] Αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο τέμνουσας για την εύρεση ρίζας της μη γραμμικής εξίσωσης $f(x) = 0$ από μία πραγματική αρχική τιμή $x_0 \in [a, b]$ και η μέθοδος δεν συγκλίνει, αυτό σημαίνει ότι η μη γραμμική εξίσωση δεν έχει ρίζα στο διάστημα $[a, b]$.
[ ] Κανένα από τα 6 (μη τιτρεμένα) προτεινόμενα δεν είναι σωστά.

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

IMG_20240905_120223.jpg¶

[Barcode]

+46/5/636+

Ερώτηση 4 (15%) Στο προηγούμενο ερώτημα, επιλέξτε ακριβώς 3 υποερωτήματα που απαντήσατε καλύτερα και σημειώστε τους λατ. αριθμούς I, II, III αριστερά από το αντίστοιχο κουτάκι, και αιτιολογήστε τα συνοπτικά παρακάτω. Προσοχή: Μην επιχειρήσετε να αιτιολογήσετε περισσότερες ερωτήσεις γιατί δεν θα ληφθούν υπόψη. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι επαρκείς και όχι απλά αναδιατύπωση της εκφώνησης. Αν έχετε επιλέξει ότι είναι όλα σωστά ή όλα λάθος, τότε πρέπει να επιλέξετε 3 από τις ερωτήσεις που δεν είναι του τύπου όλα σωστά ή όλα λάθος και να τις απαντήσετε. Προσοχή: Μην επιχειρήσετε να αιτιολογήσετε περισσότερες ερωτήσεις γιατί δεν θα ληφθούν υπόψη. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. I (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. II (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. III (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

Ερώτηση 5 (25%) Θέλουμε να προσεγγίσουμε την $f(x) = \exp(\frac{101}{100}x)$ στο διάστημα $[0, 0.94]$ με πολυωνυμική παρεμβολή βάσει των χονδρικών προσεγγίσεων των τιμών στις τεταγμένες $0, 0.44, 0.94$.

| τεταγμένες στην επόμενη γραμμή, τιμές f(x) στη μεθεπόμενη | | :---: | :---: | :---: | | 0.0000 | 0.4400 | 0.9400 | | 1.0000 | 1.5596 | 2.5842 |

Ονομάζουμε το πολυώνυμο παρεμβολής $p(x)$. Βρείτε μία αριθμητική τιμή $M$ που να είναι άνω φράγμα, όσο σφιχτό γίνεται, για το μέγεθος του σφάλματος: $$ \max_{x \in [0, 0.94]} |f(x) - p(x)| \leq M $$ Προσοχή: Αν δεν βρείτε αριθμητική τιμή, δεν θα λάβετε πλήρη βαθμολογία. Μπορεί να χρειαστεί η μεγιστοποίηση χαμηλόβαθμου πολυωνύμου.

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

IMG_20240905_120228.jpg¶

[Barcode]

+46/5/636+

Ερώτηση 4 (15θ) Στο προηγούμενο ερώτημα, επιλέξτε ακριβώς 3 υποερωτήματα που απαντήσατε καλύτερα και σημειώστε τους λατ. αριθμούς I, II, III αριστερά από το αντίστοιχο κουτάκι, και αιτιολογήστε τα συνοπτικά παρακάτω. Προσοχή: Μην επιχειρήσετε να αιτιολογήσετε περισσότερες ερωτήσεις γιατί δεν θα θα ληφθούν υπόψη. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι επαρκείς και όχι απλά αναδιατύπωση της εκφώνησης. Αν έχετε επιλέξει ότι είναι όλα σωστά ή όλα λάθος, τότε πρέπει να επιλέξετε 3 από τις ερωτήσεις που δεν είναι του τύπου όλα σωστά ή όλα λάθος και να τις απαντήσετε. Προσοχή: Μην επιχειρήσετε να αιτιολογήσετε περισσότερες ερωτήσεις γιατί δεν θα ληφθούν υπόψη. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. I (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. II (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. III (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

Ερώτηση 5 (25θ) Θέλουμε να προσεγγίσουμε την $f(x) = \exp(\frac{101}{100}x)$ στο διάστημα $[0, 0.94]$ με πολυωνυμική παρεμβολή βάσει των χονδρικών προσεγγίσεων των τιμών στις τεταγμένες $0.44, 0.94$.

| τεταγμένες στην επόμενη γραμμή, τιμές f(x) στη μεθεπόμενη | | 0.0000 | 0.4400 | 0.9400 | | 1.0000 | 1.5596 | 2.5842 |

Ονομάζουμε το πολυώνυμο παρεμβολής $p(x)$. Βρείτε μία αριθμητική τιμή $M$ που να είναι άνω φράγμα, όσο οφικτό γίνεται, για το μέγεθος του σφάλματος: $$ \max_{x \in [0,0.94]} |f(x) - p(x)| \leq M $$ Προσοχή: Αν δεν βρείτε αριθμητική τιμή, δεν θα λάβετε πλήρη βαθμολογία. Μπορεί να χρειαστεί η μεγιστοποίηση χαμηλόβαθμου πολυωνύμου.

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.1-pro-preview, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2024-09¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα 1¶

Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή

Λύση 1: Όλοι οι αριθμοί υπολογίστηκαν με Python.

$B=\mathrm{triu}(A)$: αθροίσματα γραμμών $9+27=36$, $82+2=84$, $8$. $\|B\|_\infty=$ $8.40\text{e+}01$ (84).
Το $A$ είναι συμμετρικό θετικά ορισμένο, άρα $\kappa_2=\lambda_{\max}/\lambda_{\min}=90.9445/0.049443\approx$ $1.84\text{e+}03$ (1839.37).
Cholesky $A=LL^T$: $l_{11}=3$, $l_{21}=27/3=9$, $l_{31}=0$, $l_{22}=\sqrt{82-81}=1$, $l_{32}=(2-0)/1=2$, $l_{33}=\sqrt{8-4}=2$: $$L=\begin{pmatrix}3&0&0\9&1&0\0&2&2\end{pmatrix}.$$
Ανακλαστής Householder για την πρώτη στήλη $a=(9,27,0)^T$, $\|a\|_2=\sqrt{810}\approx28.4605$. Ευσταθής επιλογή (πρόσημο ίδιο με $a_1$, ώστε να μη γίνεται απαλοιφή): $q=a+\mathrm{sign}(a_1)\|a\|e_1$, $q\approx(37.4605,\ 27,\ 0)^T$ (ή οποιοδήποτε μη μηδενικό πολλαπλάσιό του). Τότε με $H=I-2qq^T/q^Tq$ έχουμε $Ha\approx(-28.4605,0,0)^T$. Έλεγχος αριθμητικός: ναι. Σημείωση: η εκφώνηση όπως μεταγράφηκε δεν έχει τον παράγοντα $2$. Με τον τύπο κατά γράμμα, το $H$ είναι προβολέας και π.χ. $q=(0,27,0)^T$ δίνει $Ha=(9,0,0)^T$. Η απάντηση με το $2$ είναι η συνήθης (εμπιστοσύνη μέτρια ως προς το τι ζητά ο εξεταστής).

Λύση 2: 1. Νόρμα μεγίστου $\|B\|_\infty$: Ο άνω τριγωνικός πίνακας $B = \text{triu}(A)$ προκύπτει κρατώντας την κύρια διαγώνιο και τα στοιχεία πάνω από αυτήν: $$B = \begin{pmatrix} 9 & 27 & 0 \\ 0 & 82 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$ Η νόρμα μεγίστου (άπειρο-νόρμα) ισούται με το μέγιστο άθροισμα απολύτων τιμών των στοιχείων ανά γραμμή: $$\|B\|_\infty = \max \{ |9| + |27| + |0|, \, |0| + |82| + |2|, \, |0| + |0| + |8| \} = \max \{ 36, 84, 8 \} = 84$$ Απάντηση: $84$ (ή $8.40\text{e+}01$)

Δείκτης κατάστασης $\kappa_2(A)$: Επειδή ο πίνακας $A$ είναι πραγματικός και συμμετρικός ($A = A^T$), οι ιδιάζουσες τιμές του ταυτίζονται με τις απόλυτες τιμές των ιδιοτιμών του. Έτσι: $$\kappa_2(A) = \frac{|\lambda_{\max}|}{|\lambda_{\min}|} \approx \frac{9.0944\text{e+}01}{4.9443\text{e-}02} \approx 1839.37$$ Απάντηση: $1.84\text{e+}03$
Παράγοντας Cholesky $L$ ($A = LL^T$): Αναζητούμε κάτω τριγωνικό $L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix}$ με θετικά διαγώνια στοιχεία:
$l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{9} = 3$
$l_{21} = \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{27}{3} = 9$
$l_{31} = \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{0}{3} = 0$
$l_{22} = \sqrt{a_{22} - l_{21}^2} = \sqrt{82 - 9^2} = \sqrt{82 - 81} = 1$
$l_{32} = \frac{a_{32} - l_{31}l_{21}}{l_{22}} = \frac{2 - 0}{1} = 2$
$l_{33} = \sqrt{a_{33} - l_{31}^2 - l_{32}^2} = \sqrt{8 - 0^2 - 2^2} = \sqrt{4} = 2$

Απάντηση: $$L = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 9 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

Διάνυσμα Householder $q$: Η πρώτη στήλη του $A$ είναι $a_1 = \begin{pmatrix} 9 \\ 27 \\ 0 \end{pmatrix}$.
Περίπτωση τυπικού μετασχηματισμού Householder: Αν ο τύπος στην εκφώνηση περιέχει τυπογραφικό σφάλμα και εννοεί τον κλασικό ορθογώνιο ανακλαστή $H = I - 2\frac{qq^T}{q^Tq}$, τότε για αριθμητική ευστάθεια επιλέγουμε: $$q = a_1 + \text{sign}((a_1)_1) \|a_1\|_2 e_1$$ Εδώ $(a_1)_1 = 9 > 0$ και $\|a_1\|_2 = \sqrt{9^2 + 27^2 + 0^2} = \sqrt{81 + 729} = \sqrt{810} = 9\sqrt{10} \approx 28.46$. Συνεπώς: $$q = \begin{pmatrix} 9 + 9\sqrt{10} \\ 27 \\ 0 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 3.75\text{e+}01 \\ 2.70\text{e+}01 \\ 0 \end{pmatrix} \quad (\text{ή οποιοδήποτε μη μηδενικό βαθμωτό πολλαπλάσιο αυτού})$$
Περίπτωση κυριολεκτικής ερμηνείας του δοθέντος τύπου $H = I - \frac{qq^T}{q^Tq}$: Ο πίνακας $H$ είναι ορθογώνιος προβολέας στο $q^\perp$. Για να είναι $Ha_1 = \alpha e_1$, ισχύει $a_1 - \frac{q^T a_1}{q^T q} q = \alpha e_1 \implies q \propto a_1 - \alpha e_1$. Για $\alpha = 0$, $Ha_1 = 0 = 0 \cdot e_1$ (πολλαπλάσιο του $e_1$), οπότε: $$q = a_1 = \begin{pmatrix} 9 \\ 27 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Λύση 3 (τρίτη γνώμη): 1. Η νόρμα μεγίστου (infinity norm) ενός πίνακα ισούται με το μέγιστο άθροισμα των απόλυτων τιμών των στοιχείων ανά γραμμή. Για τον άνω τριγωνικό πίνακα $B = \text{triu}(A)$: $B = \begin{pmatrix} 9 & 27 & 0 \\ 0 & 82 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$ Αθροίσματα γραμμών: 1η γραμμή: $|9| + |27| + |0| = 36$ 2η γραμμή: $|0| + |82| + |2| = 84$ 3η γραμμή: $|0| + |0| + |8| = 8$ Το μέγιστο είναι 84. Απάντηση: $\|B\|_\infty = \boxed{84}$

Ο δείκτης κατάστασης ως προς τη νόρμα-2 για έναν συμμετρικό θετικά ορισμένο πίνακα (όλες οι ιδιοτιμές του είναι θετικές) δίνεται από τον λόγο της μέγιστης προς την ελάχιστη ιδιοτιμή: $\kappa_2(A) = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{9.0944\text{e+}01}{4.9443\text{e-}02} = \frac{90.944}{0.049443} \approx 1839.37$ Στη ζητούμενη μορφή X.XXe±EE: Απάντηση: $\kappa_2(A) = \boxed{1.84\text{e+}03}$
Ο κάτω τριγωνικός παράγοντας Cholesky $L$ ικανοποιεί την εξίσωση $A = LL^T$. Υπολογίζουμε τα στοιχεία του $L$: $l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{9} = 3$ $l_{21} = a_{21} / l_{11} = 27 / 3 = 9$ $l_{31} = a_{31} / l_{11} = 0 / 3 = 0$ $l_{21}^2 + l_{22}^2 = a_{22} \Rightarrow 9^2 + l_{22}^2 = 82 \Rightarrow l_{22}^2 = 1 \Rightarrow l_{22} = 1$ $l_{31}l_{21} + l_{32}l_{22} = a_{32} \Rightarrow 0 \cdot 9 + l_{32} \cdot 1 = 2 \Rightarrow l_{32} = 2$ $l_{31}^2 + l_{32}^2 + l_{33}^2 = a_{33} \Rightarrow 0^2 + 2^2 + l_{33}^2 = 8 \Rightarrow l_{33}^2 = 4 \Rightarrow l_{33} = 2$ Απάντηση: $L = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 9 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
Η εκφώνηση δίνει τον πίνακα προβολής $H = I - \frac{qq^T}{q^Tq}$. Αν χρησιμοποιήσουμε αυστηρά αυτόν τον τύπο, η απαίτηση η πρώτη στήλη $Ha_1$ να είναι πολλαπλάσιο του $e_1$ δίνει τη μοναδική μη-τετριμμένη λύση $q = a_1 - a_{11}e_1 = (0, 27, 0)^T$. Ωστόσο, η φράση "με ευσταθή τρόπο" υποδεικνύει σαφώς ότι υπάρχει τυπογραφικό στην εκφώνηση και εννοείται ο πίνακας αντανάκλασης Householder $H = I - 2\frac{qq^T}{q^Tq}$. Σε αυτή την περίπτωση, το διάνυσμα Householder υπολογίζεται ευσταθώς ως $q = a_1 + \text{sign}(a_{11})\|a_1\|_2 e_1$ για την αποφυγή αφαιρετικής ακύρωσης. Για την πρώτη στήλη $a_1 = (9, 27, 0)^T$: $\|a_1\|_2 = \sqrt{9^2 + 27^2 + 0^2} = \sqrt{810} = 9\sqrt{10} \approx 28.4605$ Επειδή $a_{11} = 9 > 0$, επιλέγουμε το πρόσημο $+$: $q_1 = 9 + 9\sqrt{10} \approx 37.4605$ $q_2 = 27$ $q_3 = 0$ Απάντηση: $q = \begin{pmatrix} 9 + 9\sqrt{10} \\ 27 \\ 0 \end{pmatrix}$

Θέμα 2¶

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Δίνεται το πολυώνυμο $p(x) = x^3 - \frac{13}{10}x^2 + \frac{39}{100}x - \frac{27}{1000} = (x - 0.1)(x - 0.3)(x - 0.9)$.

Μέθοδος Διχοτόμησης στο $[0.05, 0.2]$:
Υπολογίζουμε τις τιμές στα άκρα: $p(0.05) = -0.010625 < 0$ και $p(0.2) = 0.007 > 0$.
Μέσο διαστήματος: $m_1 = \frac{0.05 + 0.2}{2} = 0.125$.
Τιμή στο μέσο: $p(0.125) = 0.003390625 > 0$.
Επειδή $p(0.05) \cdot p(0.125) < 0$, το νέο υποδιάστημα που περιέχει τη ρίζα είναι το $[0.05, 0.125]$.
Η βέλτιστη προσέγγιση ρίζας από το νέο διάστημα είναι το μέσο του: $$\hat{x} = \frac{0.05 + 0.125}{2} = \mathbf{0.0875}.$$
Πίνακας απάντησης: | Διάστημα | Προσέγγιση ρίζας | |---|---| | $[0.05, 0.125]$ | $0.0875$ |
Ελάχιστες επαναλήψεις για σφάλμα $< 10^{-11}$:
Το σφάλμα της προσέγγισης (μέσο του διαστήματος) μετά από $n$ επαναλήψεις φράσσεται από $\frac{b - a}{2^{n+1}} = \frac{0.15}{2^{n+1}}$.
Απαιτούμε $\frac{0.15}{2^{n+1}} < 10^{-11} \iff 2^{n+1} > 1.5 \times 10^{10} \iff n+1 > \log_2(1.5 \times 10^{10}) \approx 33.804 \iff n \ge 33$.
Χρειάζονται τουλάχιστον 33 επαναλήψεις (ή 34 αν ως σφάλμα θεωρηθεί το πλήρες εύρος του διαστήματος $\frac{b-a}{2^n} < \delta$).
Συνοδός πίνακας (companion matrix) $Z$:
Για το μονικό πολυώνυμο $p(x) = x^3 - 1.3x^2 + 0.39x - 0.027$, ο συνοδός πίνακας του οποίου οι ιδιοτιμές είναι οι ρίζες του $p$ (δηλ. $0.1, 0.3, 0.9$) είναι: $$Z = \begin{pmatrix} 1.3 & -0.39 & 0.027 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ (ή ισοδύναμα ο ανάστροφος / η standard companion μορφή Frobenius).
Βήμα μεθόδου Newton:
Στην εικόνα IMG_20240905_120209.jpg διακρίνεται η εκφώνηση: «4. Να εφαρμόσετε 1 βήμα της μεθόδου Newton με αρχική εικασία... και να υπολογίσετε νέα προσέγγιση $\hat{x}$ για μία ρίζα.»
Η ακριβής αριθμητική τιμή της αρχικής εικασίας $x_0$ κόβεται στο δεξιό άκρο της γραμμής. Αν ως αρχική εικασία ληφθεί η προσέγγιση από τη διχοτόμηση $x_0 = 0.0875$: $$p(0.0875) \approx -0.002158, \quad p'(x) = 3x^2 - 2.6x + 0.39 \implies p'(0.0875) \approx 0.185469$$ $$\hat{x} = x_0 - \frac{p(x_0)}{p'(x_0)} = 0.0875 - \frac{-0.002158}{0.185469} \approx \mathbf{0.099136}$$ (πολύ κοντά στην πραγματική ρίζα $0.1$).

Θέμα 3 (Χ.Ε.)¶

Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή

Λύση 1: Σειρά όπως στην εκφώνηση (τα 6 μη τετριμμένα):

Σύνθετος τραπεζίου για $\int(\sqrt3x^2-x+1)$: ο κανόνας είναι ακριβής μόνο για πολυώνυμα βαθμού $\le1$ και το ολοκληρωτέο είναι τετραγωνικό ($f''=2\sqrt3\ne0$). Δεν ισχύει.
Συμμετρικό και αντιστρέψιμο δεν σημαίνει θετικά ορισμένο: π.χ. $A=-I$ δεν γράφεται ως $KK^T$ με πραγματικό $K$. Δεν ισχύει.
Μητρώο Newton: $L_{ij}=\prod_{k=1}^{j-1}(x_i-x_k)$, κάτω τριγωνικό. Όπως γράφεται (άνω όριο $i-1$ και τρέχων δείκτης $j$) ο τύπος είναι μπερδεμένος και κάθε γραμμή θα είχε ίδια στοιχεία. Θεωρώ ότι είναι σκόπιμα λάθος. Μάλλον δεν ισχύει (χαμηλή βεβαιότητα).
Το σφάλμα $e=x-x_k$ απαιτεί την άγνωστη λύση, ενώ το υπόλοιπο $r=b-Ax_k$ υπολογίζεται. Ισχύει.
Όλα σωστά: δεν ισχύει (π.χ. το 1 είναι λάθος).
Richardson: $x^{(k+1)}=x^{(k)}+\omega(b-Ax^{(k)})$. Αν $x^{(k)}$ είναι η ακριβής λύση τότε $r=0$ και $x^{(k+1)}=x^{(k)}$ πάντα. Άρα το "δεν ισχύει κατ' ανάγκη" είναι λάθος.
Αν η τέμνουσα δεν συγκλίνει, αυτό δεν αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει ρίζα στο $[a,b]$. Δεν ισχύει.
Κανένα σωστό: δεν ισχύει (το 4 είναι σωστό).

Άρα ισχύει μόνο το υποερώτημα 4 (και το 3 με αβεβαιότητα).

Λύση 2: Έλεγχος των προτάσεων: 1. «Αν χρησιμοποιήσουμε αριθμητική ολοκλήρωση με τον σύνθετο κανόνα τραπεζίου για το $\int_a^b (\sqrt{3}x^2 - x + 1)dx$ το αποτέλεσμα θα είναι ακριβές...»: ΛΑΘΟΣ. Ο κανόνας του τραπεζίου είναι ακριβής για πολυώνυμα βαθμού $\leq 1$. Εδώ το πολυώνυμο είναι βαθμού 2, άρα το σφάλμα δεν είναι μηδέν. 2. «Αν ένα μητρώο $A$ είναι συμμετρικό και αντιστρέψιμο, τότε πάντα υπάρχει πίνακας διαστάσεως μητρώο $K$ τέτοιο ώστε $A = KK^T$»: ΛΑΘΟΣ. Αυτό ισχύει μόνο αν ο $A$ είναι θετικά ορισμένος (ανάλυση Cholesky). Αν έχει αρνητικές ιδιοτιμές, δεν υπάρχει τέτοιος πραγματικός πίνακας $K$. 3. «Δοθέντων ζευγών τιμών $\{(x_i, y_i), i = 1, \dots, n + 1\}$, οι συντελεστές της αναπαράστασης Newton του πολυωνύμου παρεμβολής είναι λύση ενός κάτω τριγωνικού συστήματος...»: ΣΩΣΤΟ. Το πολυώνυμο Newton $p(x) = \sum_{j=0}^n c_j \prod_{k=0}^{j-1}(x - x_k)$, αξιολογούμενο στα σημεία $x_i$, οδηγεί σε κάτω τριγωνικό σύστημα για τους συντελεστές $c_j$ (διαιρεμένες διαφορές). 4. «Μια διαφορά μεταξύ του σφάλματος και του υπολοίπου στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος είναι ότι το σφάλμα δεν είναι υπολογίσιμο»: ΣΩΣΤΟ. Το σφάλμα $e = x - \hat{x}$ απαιτεί τη γνώση της άγνωστης ακριβούς λύσης $x$, ενώ το υπόλοιπο $r = b - A\hat{x}$ υπολογίζεται άμεσα. 5. «Όλα τα 6 (μη τιτρεμένα) προτεινόμενα είναι σωστά»: ΛΑΘΟΣ. 6. «Αν σε κάποιο βήμα $k$ της επαναληπτικής μεθόδου Richardson για τον υπολογισμό της λύσης του $Ax = b$ τύχει και $x^{(k)}$ είναι η ακριβής λύση του συστήματος τότε δεν ισχύει κατ' ανάγκη ότι $x^{(k+1)} = x^{(k)}$»: ΛΑΘΟΣ. Ο τύπος είναι $x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha (b - Ax^{(k)})$. Αν $x^{(k)} = x^*$, τότε το υπόλοιπο είναι $b - Ax^{(k)} = 0$, οπότε υποχρεωτικά $x^{(k+1)} = x^{(k)}$. 7. «Αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο τέμνουσας για την εύρεση ρίζας της μη γραμμικής εξίσωσης $f(x) = 0$ από μία πραγματική αρχική τιμή $x_0 \in [a, b]$ και η μέθοδος δεν συγκλίνει, αυτό σημαίνει ότι η μη γραμμική εξίσωση δεν έχει ρίζα στο διάστημα $[a, b]$»: ΛΑΘΟΣ. Η μέθοδος τέμνουσας συγκλίνει τοπικά και μπορεί να αποκλίνει ακόμα και αν υπάρχει ρίζα στο διάστημα (επίσης απαιτεί δύο αρχικές τιμές). 8. «Κανένα από τα 6 (μη τιτρεμένα) προτεινόμενα δεν είναι σωστά»: ΛΑΘΟΣ (αφού υπάρχουν σωστά).

Επιλογή (κουτάκια που σημειώνονται με Χ): - [X] Δοθέντων ζευγών τιμών $\{(x_i, y_i), i = 1, \dots, n + 1\}$, οι συντελεστές της αναπαράστασης Newton του πολυωνύμου παρεμβολής είναι λύση ενός κάτω τριγωνικού συστήματος... - [X] Μια διαφορά μεταξύ του σφάλματος και του υπολοίπου στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος είναι ότι το σφάλμα δεν είναι υπολογίσιμο.

Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Επιλογή: 4ο υποερώτημα ("Μια διαφορά μεταξύ του σφάλματος και του υπολοίπου στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος είναι ότι το σφάλμα δεν είναι υπολογίσιμο.") Αιτιολόγηση: Το σφάλμα $e = x - \tilde{x}$ απαιτεί τη γνώση της ακριβούς λύσης $x$, η οποία είναι άγνωστη, άρα δεν μπορεί να υπολογιστεί πρακτικά. Αντίθετα, το υπόλοιπο $r = b - A\tilde{x}$ υπολογίζεται αποκλειστικά από γνωστά δεδομένα. Όλα τα υπόλοιπα προτεινόμενα υποερωτήματα είναι λανθασμένα.

Θέμα 4¶

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Ζητείται η επιλογή και επαρκής αιτιολόγηση 3 υποερωτημάτων από το Θέμα 3 (ερωτήσεις κρίσεως / σωστού-λάθους):

Υποερώτημα I (1ο υποερώτημα του Θέματος 3 — Σύνθετος κανόνας τραπεζίου):
Ισχυρισμός: Ο σύνθετος κανόνας τραπεζίου για το $\int_a^b (\sqrt{3}x^2 - x + 1)\,dx$ είναι ακριβής για οποιαδήποτε διαμέριση.
Απάντηση: Δεν ισχύει (Λάθος).
Αιτιολόγηση: Ο σύνθετος κανόνας τραπεζίου έχει βαθμό αριθμητικής ακρίβειας 1 (ολοκληρώνει ακριβώς πολυώνυμα μέχρι 1ου βαθμού). Εδώ το ολοκληρωτέο είναι πολυώνυμο 2ου βαθμού με $f''(x) = 2\sqrt{3} \neq 0$. Ο τύπος σφάλματος είναι $E = -\frac{b-a}{12}h^2 f''(\xi) \neq 0$, επομένως το αποτέλεσμα δεν είναι ακριβές για οποιαδήποτε διαμέριση.
Υποερώτημα II (4ο υποερώτημα του Θέματος 3 — Σφάλμα έναντι υπολοίπου):
Ισχυρισμός: Μια διαφορά μεταξύ σφάλματος και υπολοίπου στην επίλυση γραμμικού συστήματος $Ax = b$ είναι ότι το σφάλμα δεν είναι υπολογίσιμο.
Απάντηση: Ισχύει (Σωστό).
Αιτιολόγηση: Για προσεγγιστική λύση $\hat{x}$, το σφάλμα ορίζεται ως $e = x - \hat{x}$ και απαιτεί τη γνώση της άγνωστης ακριβούς λύσης $x$, οπότε στην πράξη δεν είναι άμεσα υπολογίσιμο. Αντίθετα, το υπόλοιπο $r = b - A\hat{x}$ υπολογίζεται άμεσα με πράξεις μητρώου-διανύσματος από τα γνωστά δεδομένα $A, b, \hat{x}$.
Υποερώτημα III (6ο μη τετριμμένο υποερώτημα — Μέθοδος Richardson):
Ισχυρισμός: Αν σε κάποιο βήμα $k$ της μεθόδου Richardson τύχει $x^{(k)}$ να είναι η ακριβής λύση, τότε δεν ισχύει κατ' ανάγκη $x^{(k+1)} = x^{(k)}$.
Απάντηση: Δεν ισχύει (Λάθος).
Αιτιολόγηση: Η επαναληπτική σχέση της μεθόδου Richardson είναι $x^{(k+1)} = x^{(k)} + \omega (b - Ax^{(k)})$. Αν $x^{(k)}$ είναι η ακριβής λύση, τότε $Ax^{(k)} = b$, οπότε το διάνυσμα υπολοίπου είναι $r^{(k)} = b - Ax^{(k)} = 0$. Κατά συνέπεια, $x^{(k+1)} = x^{(k)} + \omega \cdot 0 = x^{(k)}$ ισχύει υποχρεωτικά και αναγκαία.

Θέμα 5¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν

$f(x)=e^{1.01x}$, $f'''(x)=1.01^3e^{1.01x}$, μέγιστο στο $x=0.94$: $1.01^3e^{0.9494}=2.6625$.

Παραλλαγή με 3 κόμβους $0,\,0.44,\,0.94$ (αυτή που συμφωνεί με τον πίνακα): $$|f-p|\le\frac{\max|f'''|}{3!}\max_{[0,0.94]}|x(x-0.44)(x-0.94)|.$$ Το $\omega'(x)=3x^2-2.76x+0.4136=0$ δίνει $x=0.7315$ (και $0.1885$) με $|\omega|$ = $0.04446$ (στο δεύτερο $0.0356$). Άρα $$M=\frac{2.6625}{6}\cdot0.04446\approx\mathbf{1.97\text{e-}02}.$$

Παραλλαγή μόνο με κόμβους $0.44,\,0.94$ (γραμμική παρεμβολή, κείμενο της 2ης φωτογραφίας): $|f-p|\le\frac{\max|f''|}{2}\max|(x-0.44)(x-0.94)|$ με $\max f''=1.01^2e^{0.9494}=2.6361$ και $\max_{[0,0.94]}|(x-0.44)(x-0.94)|=0.4136$ (στο $x=0$). Τότε $M\approx\mathbf{0.545}$. Δεν είναι σαφές ποια από τις δύο ισχύει (ο πίνακας έχει τρεις κόμβους).

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή