Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Ιούλιος 2024¶
IMG_7222.jpg¶
Ερώτηση 1 (256) +54/2/575+
Δίνεται το
Γνωρίζουμε επίσης ότι οι ιδιοτιμές του \(A\) είναι \(\approx 1.6019\text{e-}01, 1.8485\text{e+}01, 2.7354\text{e+}01\). Συμπληρώστε τα κενά με τις κατάλληλες τιμές, με σωστή στρογγύλευση, στη μορφή X.XXe±EE, π.χ. 3.20e-01, εκτός αν είναι πρόκειται για ακέραιους.
-
Η νόρμα-2 του \(A\) είναι \(\|A\|_2=\) [ ]
-
Ο δείκτης κατάστασης του \(A\) ως προς τη νόρμα-2 είναι \(\kappa_2(A)=\) [ ]
-
Να υπολογίσετε τον (κάτω τριγωνικό) παράγοντα Cholesky για το \(A\).
IMG_7223.jpg¶
[Barcode]
Ερώτηση 2 (25β) +54/3/574+ Δίνεται η συνάρτηση $\(f(x) = \begin{cases} 2x + 5 & \text{αν } 1 \le x \le 1.5 \\ 4x + 2 & \text{αν } 1.5 \le x \le 2 \end{cases}\)$ Η ακριβής τιμή αυτού του ολοκληρώματος υπολογίζεται εύκολα ότι είναι: \(I_{ex} = \int_1^2 f(x)dx = 8.2500\)
- να υπολογίσετε τις αριθμητικές προσεγγίσεις του ολοκληρώματος και τα αντίστοιχα απόλυτα σφάλματα χρησιμοποιώντας τις εξής μεθόδους/κανόνες και να : (α) Τραπεζίου: ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Τιμή προσέγγισης: [ ] Απόλυτο σφάλμα: [ ]
(β) Simpson. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Τιμή προσέγγισης: [ ] Απόλυτο σφάλμα: [ ]
(γ) το άθροισμα των προσεγγίσεων τραπεζίου για τα δύο υποδιαστήματα που φαίνονται στον ορισμό της \(f\). ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Τιμή προσέγγισης: [ ] Απόλυτο σφάλμα: [ ]
- Αξιολογήστε τα σφάλματα συγκρίνοντάς τα μεταξύ τους. Πως εξηγούνται τα αποτελέσματα με βάση τη θεωρία;
ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.
IMG_7224.jpg¶
Ερώτηση 3 ♣ (20δ), Χ.Ε. (επιλέξω 8) Μαυρίστε ή σημειώστε Χ στο κουτάκι όσα από τα παρακάτω υποερωτήματα ισχύουν στη γενική περίπτωση (εκτός αν δηλώνεται κάτι διαφορετικό). Δεν υπάρχει αρνητική βαθμολογία. Προσοχή: Για να βαθμολογηθούν, τρία από τα υποερωτήματα που θα επιλέξετε εσείς, θα χρειαστούν και αιτιολόγηση (δείτε το επόμενο ερώτημα). - [ ] Αν στη διάρκεια επαναληπτικής μεθόδου επίλυσης του τετραγωνικού συστήματος \(Ax = b\) με την στάσιμη μέθοδο \(Mx^{(k)} = Nx^{(k-1)} + b\) υπολογίσετε το \(x^{(k)}\) και το \(r^{(k)} = b - Ax^{(k)}\) και \(e^{(k)} = x - x^{(k)}\) τότε ανεξαρτήτως νόρμας θα ισχύει ότι \(\|r^{(k)}\| \le \|A^{-1}\|\|e^{(k)}\|\).. - [ ] Η παραγοντοποίηση Cholesky μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του γραμμικού προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων. - [ ] Η παραγοντοποίηση QR είναι πάντα πίσω ευσταθής αλγόριθμος. - [ ] Αν χρησιμοποιήσουμε αριθμητική ολοκλήρωση με τον σύνθετο κανόνα μέσου σημείου για το \(\int_a^b (a^2x + b)dx\) το αποτέλεσμα θα είναι ακριβές (σε αριθμητική άπειρης ακρίβειας) για οποιοδήποτε διαμέριση του \([a, b]\) σε πάνελ. - [ ] Αν η μέθοδος Newtοn εφαρμοστεί για την προσέγγιση μίας ρίζας της εξίσωσης \(x^4 - 8x^2 + 16 = 0\) και η εκκίνηση της διαδικασίας γίνει από \(x_0\) που βρίσκεται κοντά στην εν λόγω ρίζα, τότε η σύγκλιση θα είναι τετραγωνική. - [ ] Σε κάθε βήμα της προς τα εμπρός Euler για την επίλυση συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων \(\frac{dy}{dt} = Ay(t), y(0) = c\), είναι απαραίτητη η επίλυση γραμμικού συστήματος. - [ ] Γενικά, για τον υπολογισμό προσέγγισης ιδιοδιανύσματος με τη μέθοδο δύναμης, δεν πολλαπλασιάζουμε το διάνυσμα με βαθμωτό για να μην αλλάξουν οι ιδιοτιμές. - [ ] Ο αλγόριθμος Richardson συγκλίνει όταν εφαρμόζεται στην επίλυση μεγάλων συστημάτων με αντισυμμετρικά διαγώνια κυρίαρχα μητρώα. - [ ] Ο υπολογισμός της MATLAB εντολής A\b γίνεται πάντα μέσω της παραγοντοποίησης LU με μερική οδήγηση. - [ ] Η πίσω ευστάθεια είναι χρήσιμη γιατί αναδεικνύει την ευαισθησία των υπολογισμένων αποτελεσμάτων για μικρές αλλαγές στα δεδομένα εισόδου. - [ ] Ένα πλεονέκτημα της παρεμβολής με κυβική Hermite \(s(x)\) αντί με πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange \(p(x)\) στο διάστημα \([a, b]\) είναι ότι η \(s(x)\) είναι απείρως παραγωγίσιμη στο \([a, b]\). - [ ] Αν το μητρώο ενός γραμμικού συστήματος \(Ax = b\) έχει μόνον θετικές ιδιοτιμές τότε ο αλγόριθμος συζυγούς κλίσης (CG) συγκλίνει . - [ ] Αν στη MATLAB δοθούν οι εντολές (1/realmin-inf==inf) θα επιστραφεί 1.
Ερώτηση 4 (15δ) Στο προηγούμενο ερώτημα, επιλέξτε ακριβώς 3 υποερωτήματα που απαντήσατε καλύτερα και σημειώστε τους λατ. αριθμούς Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, αριστερά από το αντίστοιχο κουτάκι. και αιτιολογήστε τα σύντομα παρακάτω. Προσοχή: Μην επιχειρήσετε να αιτιολογήσετε περισσότερες ερωτήσεις γιατί δεν θα ληφθούν υπόψη. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. Ι (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):
ΚΙΝΗΤΑ ΚΑΘΙΣΤΑ, ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡ-
Λύσεις (🟡 community)
Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: φωτογραφίες/PDF λύσεων που ανέβασαν φοιτητές στο Discord (μεταγραφή με AI)
Λύσεις — Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Ιούλιος 2024¶
IMG_20240707_224840.jpg¶
\(p = -x^3 - 3x^2 - 9x + 1 = f(x)\)
! NOTE !
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| \(-3\) | \(7\) |
| \(0\) | \(1\) |
| \(2\) | \(-23\) |
\(p_1(x) = ax + b\)
\(y_1 \frac{x-x_2}{x_1-x_2} + y_0 \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = 7 \frac{x-0}{-3-0} + 1 \cdot \frac{x+3}{0+3}\)
\(= -\frac{7}{3}x + \frac{1}{3}x + 1 = -\frac{6}{3}x + 1 = \boxed{-2x+1}\)
\(\left. \begin{array}{c|c|c|c} x & y & \text{Πρώτος βαθμός} & \text{β βαθμός} \\ \hline x_0 & -3 & 7 & \\ x_1 & 0 & 1 & \boxed{f_{0,1} = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} = \frac{1-7}{0+3} = \frac{-6}{3} = -2} \\ x_2 & 2 & -23 & \boxed{f_{1,2} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{-23-1}{2-0} = \frac{-24}{2} = -12} & \boxed{f_{0,1,2} = \frac{f_{1,2}-f_{0,1}}{x_2-x_0}} \end{array} \right.\)
\(= \frac{-12+2}{2+3} = \frac{-10}{5} = -2\)
\(p_2(x) = 7 + 2(x+3) + 2(x+3)(x-0)\) \(= 7 - 2x - 6 - 2x^2 - 6x\) \(= 1 - 2x - 2x^2 - 6x = 1 - 8x - 2x^2\)
\(\left. \begin{array}{l} \sum_{i=0}^{n} f(x_i) \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} (x-x_j) \\ \text{Newton 1o order} \\ p_1(x) = f_0 + f_{0,1}(x-x_0) \\ p_2(x) = f_0 + f_{0,1}(x-x_0) \\ \quad + f_{0,1,2}(x-x_0)(x-x_1) \\ f_{0,1} = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \end{array} \right.\)