Μετάβαση στο περιεχόμενο

Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — 2023

2023.pdf

+56/2/669+

Ερώτηση 1 (25δ) Αν

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]

και

\[b^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

και το αρχικό διάνυσμα \(x_0\) είναι μηδενικό και ενδιαφέρει η λύση της \(Ax = b\) με επαναληπτικές μεθόδους: Προσοχή: Για να ληφθούν υπόψη οι απαντήσεις σας, πρέπει να συμπληρώσετε τις ζητούμενες τιμές στα πλαίσια που παρέχονται.

  1. Να υπολογίσετε τις τιμές \(\|b - Ax_k\|_1\) στα βήματα \(k = 0, 1, 2\) της Jacobi.
\(\rho_0 =\) \(\rho_1 =\) \(\rho_2 =\)
  1. Να υπολογίσετε τις τιμές \(\|b - Ax_k\|_1\) στα βήματα \(k = 0, 1\) της Gauss-Seidel.
\(\rho_0 =\) \(\rho_1 =\) ,
  1. Εξηγήστε όσο μπορείτε καλύτερα κατά πόσο φαίνεται από τα παραπάνω αν οι μέθοδοι για το συγκεκριμένο πρόβλημα θα συγκλίνουν και ποιά θα συγκλίνει γρηγορότερα.

Ερώτηση 2 (25δ) Δίνονται οι τετμημένες [-3, 0, 2]. Δίνεται επίσης πολυώνυμο \(f(x)\) με συντελεστές (από το μεγιστοβάθμιο ως το σταθερό όρο) \(p = [-1, -3, -2, 1]\). Οι τιμές του στις παραπάνω τετμημένες είναι: [7, 1, -23].

  1. Να βρείτε τους συντελεστές του πολυωνύμου παρεμβολής \(p_1(x) = ax + b\) για τις πρώτες δύο τετμημένες συμπληρώνοντας τα στοιχεία που λείπουν:
\(a =\) \(b =\)
  1. Με βάση τις τιμές σε όλες τις τετμημένες, να γράψετε πολυώνυμο παρεμβολής \(N(x)\) σε αναπαράσταση Newton:

\(N(x) =\)

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

+56/3/668+

  1. Αν \(\ell(x)\) είναι πολυώνυμο με ρίζες όλες τις τετμημένες και \(\max_{x \in [-3, 2]} |f(x)| = M\), να υπολογίσετε ένα σφιχτό φράγμα για το \(\max_{x \in [-3, 2]} |N(x) - p(x)|\).
\[\max_{x \in [-3, 2]} |N(x) - p(x)| \le\]
  1. Να γράψετε τμηματικά γραμμική συνάρτηση παρεμβολής \(g(x)\) για την παραπάνω \(f\) συμπληρώνοντας τα παρακάτω:
\[g(x) = \begin{cases} [ & ], x \in [ & , & ] \\ [ & ], x \in [ & , & ] \end{cases}\]

Ερώτηση 3 (25δ) Αν

\[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]
\[b^T = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}\]

Συμπληρώστε τα κενά με τις κατάλληλες τιμές στη μορφή X.XXe±EE (π.χ. 3.20e-01)

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

+56/4/667+

  1. Η νόρμα μεγίστου του \(A\) είναι \(\|A\|_\infty =\) [ ]

  2. Δίνεται επιπλέον ότι \(\|A^{-1}\|_\infty \approx 4.00\text{e}+00\) και θέτουμε ότι \(x, y\) είναι οι λύσεις των \((A + E)y = b\) και \(Ax = b\) όπου \(\|E\|_\infty < 1.06\text{e}-06\). Να βρείτε (με αιτιολόγηση) ένα σφικτό άνω φράγμα για το παρακάτω (ΧΩΡΙΣ να υπολογίσετε τα \(x, y\)) και να το γράψετε στο κουτάκι στη μορφή X.XXe±EE:

\[\frac{\|y - x\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \text{[ ]}\]
  1. Να υπολογίσετε τα (τετραγωνικά) μητρώα \(L, U, P\) όπου \(PA = LU\) και \(L\) κάτω τριγωνικό με 1 στη διαγώνιο, \(U\) άνω τριγ. και \(P\) μητρώο μετάθεσης.
\[L = \begin{pmatrix} & & \\ & & \\ & & \end{pmatrix} \quad U = \begin{pmatrix} & & \\ & & \\ & & \end{pmatrix} \quad P = \begin{pmatrix} & & \\ & & \\ & & \end{pmatrix}\]

Ερώτηση 4 ♣ (20δ.Χ.Ε.) Μαυρίστε ή σημειώστε Χ στο κουτάκι όσα από τα παρακάτω υποερωτήματα ισχύουν στη γενική περίπτωση (εκτός αν δηλώνεται κάτι διαφορετικό). Δεν υπάρχει αρνητική βαθμολογία.

  • [ ] Γενικά, το μέγεθος του βήματος στην προς τα εμπρός Euler για την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων περιορίζεται περισσότερο από την ανάγκη για ευστάθεια παρά από την ζητούμενη ακρίβεια.

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

+56/5/666+

  • [ ] Η μεταβλητή Α έχει αρχικοποιηθεί στη MATLAB με ένα μητρώο που είναι γνωστό ότι είναι αντιστρέψιμο. Τότε οι εντολές [L,U,P]=lu(A); tril(U,-1)==zeros(size(A)) επιστρέφουν πάντα το λογικό μητρώο ones(size(A)).
  • [ ] Αν οι μεταβλητές b > a > 0 στη MATLAB περιέχουν διαφορετικούς αριθμούς κινητής υποδιαστολής, τότε το μέγιστο δυνατό απόλυτο σφάλμα του υπολογισμένου αθροίσματος b+a είναι μεγαλύτερο από το μέγιστο δυνατό απόλυτο σφάλμα του υπολογισμένου του b-a.
  • [ ] Ο δείκτης κατάστασης ενός προβλήματος είναι χρήσιμος γιατί αναδεικνύει την ευαισθησία των υπολογισμένων αποτελεσμάτων για μικρές αλλαγές στα δεδομένα εισόδου.
  • [ ] Αν στη MATLAB δοθούν οι εντολές (1+eps/2+eps/2==1 ) θα επιστραφεί 1.
  • [ ] Αν \(A=\text{toeplitz}([1, -1, \text{zeros}(1,8)]) + \text{eye}(10,1)*\text{eye}(1,10)\) και εφαρμόσουμε την επαναληπτική μέθοδο Gauss-Seidel για την επίλυση του \(Ax = b\), τότε η μέθοδος θα συγκλίνει.
  • [ ] Ο αλγόριθμος εμπρός αντικατάστασης για την επίλυση του \(Lx = b\) απαιτεί \(\mathcal{O}(n^3)\) πράξεις αριθμητικής κινητής υποδιαστολής.
  • [ ] Αν στη διάρκεια επαναληπτικής μεθόδου επίλυσης του τετραγωνικού συστήματος \(Ax = b\) με την στάσιμη μέθοδο \(M x^{(k)} = N x^{(k-1)} + b\) υπολογίσετε το \(x^{(k)}\) και το \(r^{(k)} = b - Ax^{()}\) και \(e^{(k)} = x - x^{(k)}\) τότε ανεξαρτήτως νόρμας θα ισχύει ότι \(\|r^{(k)}\| \le \|A^{-1}\| \|e^{(k)}\|\)..
  • [ ] Ένα πλεονέκτημα της παρεμβολής με κυβική Hermite \(s(x)\) αντί με πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange \(p(x)\) στο διάστημα \([a, b]\) είναι ότι η \(s(x)\) είναι απείρως παραγωγίσιμη στο \([a, b]\).
  • [ ] Αν χρησιμοποιήσουμε αριθμητική ολοκλήρωση με τον σύνθετο κανόνα Simpson για το \(\int_a^b (x^3 + x) dx\) το αποτέλεσμα θα είναι ακριβές (σε αριθμητική άπειρης ακρίβειας) για οποιαδήποτε διαμέριση του \([a, b]\) σε πάνελ.
  • [ ] Σε κάθε βήμα \(k = 2, \dots,\) ο τύπος της τέμνουσας για την επίλυση της βαθμωτής εξίσωσης \(f(x) = 0\) μπορεί να κατασκευαστεί μέσω του γραμμικού πολυωνύμου παρεμβολής Newton με δεδομένα \(\{(x_{k-2}, f(x_{k-2})), (x_{k-1}, f'(x_{k-1}))\}\).
  • [ ] Αν η μέθοδος Newton εφαρμοστεί για την προσέγγιση μίας ρίζας της εξίσωσης \(x^4 - 8x^2 + 16 = 0\) και η εκκίνηση της διαδικασίας γίνει από \(x_0\) που βρίσκεται κοντά στην εν λόγω ρίζα, τότε η σύγκλιση θα είναι κυβική.
  • [ ] Γενικά, σε κάθε βήμα της μεθόδου αντίστροφης δύναμης αντίστροφη επανάληψη για το υπολογισμό ιδιοζευγών χρειάζεται να επιλυθεί γραμμικό σύστημα .

Ερώτηση 5 (15 β.Χ.Ε.) Στο προηγούμενο ερώτημα, επιλέξτε ακριβώς 3 υποερωτήματα που απαντήσατε καλύτερα και σημειώστε τους λατ. αριθμούς I, II, III, αριστερά από το αντίστοιχο κουτάκι. και αιτιολογήστε τα σύντομα παρακάτω. Προσοχή: Μην επιχειρήσετε να αιτιολογήσετε περισσότερες ερωτήσεις γιατί δεν θα θα ληφθούν υπόψη.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. I (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. II (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. III (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):

ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2023

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα 1

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Jacobi: \(x_{k+1}=D^{-1}(b-(A-D)x_k)\) με \(D=3I\). Gauss-Seidel: \(x_{k+1}=L^{-1}(b-Ux_k)\) με \(L=\mathrm{tril}(A)\), \(U=\mathrm{triu}(A,1)\). Υπολογισμοί με Python.

  1. Jacobi: \(x_0=0\), \(x_1=(0,0,\tfrac13)\), \(x_2=(-\tfrac29,0,\tfrac13)\). Τα υπόλοιπα \(\|b-Ax_k\|_1\): \(\rho_0=1\), \(\rho_1=2/3\approx0.667\), \(\rho_2=4/9\approx0.444\).
  2. Gauss-Seidel: \(x_1=(0,0,\tfrac13)\), και \(\rho_0=1\), \(\rho_1=2/3\approx0.667\) (το δεύτερο βήμα δίνει \(x_2=(-\tfrac29,0,\tfrac{13}{27})\) με \(\rho_2=8/27\approx0.296\)).
  3. Τα υπόλοιπα μειώνονται και στις δύο μεθόδους. Στα \(k=0,1\) είναι ίδια. Η διαφορά φαίνεται στο \(k=2\): Jacobi \(0.444\) και GS \(0.296\). Οι φασματικές ακτίνες των πινάκων επανάληψης είναι \(\rho(T_J)=2/3\) και \(\rho(T_{GS})=4/9=\rho(T_J)^2\). Και οι δύο είναι \(<1\), άρα και οι δύο συγκλίνουν και η Gauss-Seidel συγκλίνει γρηγορότερα (περίπου διπλάσιος ρυθμός ανά βήμα σε \(\log\)). Τα \(k=0,1,2\) μόνα τους δεν αποδεικνύουν σύγκλιση. Η απόδειξη είναι \(\rho<1\) και όχι η διαγώνια υπεροχή, γιατί η γραμμή 1 έχει \(3=1+2\) (όχι αυστηρή).

Θέμα 2

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

  1. Ευθεία από \((-3,7),(0,1)\): \(a=(1-7)/3=-2\), \(b=1\). \(a=-2,\ b=1\) (\(p_1=-2x+1\)).
  2. Διηρημένες διαφορές: \(f[x_0,x_1]=-2\), \(f[x_1,x_2]=(−23−1)/2=-12\), \(f[x_0,x_1,x_2]=(-12+2)/(2+3)=-2\). \(N(x)=7-2(x+3)-2(x+3)x\) (έλεγχος: \(N(2)=7-10-20=-23\)). Ισοδύναμα \(-2x^2-8x+1\).
  3. Η \(f=-x^3-3x^2-2x+1\) είναι κυβική, άρα \(f'''\equiv-6\). Το σφάλμα παρεμβολής είναι \(f(x)-N(x)=\frac{f'''(\xi)}{3!}\ell(x)=-\ell(x)\) με \(\ell(x)=(x+3)x(x-2)\). Το σφάλμα είναι ακριβώς \(|\ell(x)|\) και χρειάζεται το \(\max_{[-3,2]}|\ell|\). Το \(\ell'=3x^2+2x-6=0\) δίνει \(x=(-1\pm\sqrt{19})/3\). Στο \(x\approx-1.7863\) έχουμε \(|\ell|\approx8.2088\) (στο άλλο κρίσιμο σημείο \(\approx4.06\)). \(\max|N-p|\le 8.21\) (και ισχύει ισότητα). Το \(M\) της εκφώνησης δεν χρειάζεται όταν ξέρουμε το \(f'''\). Η εκφώνηση είναι ασαφής ως προς το πώς πρέπει να εκφραστεί το φράγμα με το \(M\), γι' αυτό η εμπιστοσύνη για τη μορφή της απάντησης είναι μέτρια προς υψηλή.
  4. Τμηματικά γραμμική: στο \([-3,0]\) η ευθεία \(-2x+1\). Στο \([0,2]\) η κλίση είναι \((-23-1)/2=-12\). \(g(x)=-2x+1,\ x\in[-3,0]\) και \(g(x)=-12x+1,\ x\in[0,2]\).

Θέμα 3

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

  1. \(\|A\|_\infty=\) μέγιστο άθροισμα γραμμής \(=\max(4,1,4)=\) 4 (σε μορφή X.XXe±EE: 4.00e+00).
  2. Θεώρημα διαταραχής: για \((A+E)y=b\), \(Ax=b\): $\(\frac{\|y-x\|}{\|x\|}\le\frac{\|A^{-1}\|\|E\|}{1-\|A^{-1}\|\|E\|}.\)$ Με \(\|A^{-1}\|\|E\|<4\cdot1.06\cdot10^{-6}=4.24\cdot10^{-6}\) προκύπτει \(\approx4.24\cdot10^{-6}/(1-4.24\cdot10^{-6})=4.2400\cdot10^{-6}\). \(\le 4.24\text{e-}06\). (Ισοδύναμα \(\kappa\|E\|/\|A\|=16\cdot1.06\text{e-}6/4=4.24\text{e-}06\), \(\kappa_\infty=4\cdot4=16\).)
  3. Μερική οδήγηση: στη στήλη 1 το μέγιστο είναι το \(3\) (γραμμή 3), που γίνεται 1η γραμμή. Οι άλλες δύο έχουν \(0\) στη στήλη 1 (πολλαπλασιαστές \(0\)). Στη στήλη 2 pivot είναι το \(1\) της αρχικής γραμμής 1 (έναντι \(0\) της γραμμής 2). Υπολογισμός με Python: $\(P=\begin{pmatrix}0&0&1\1&0&0\0&1&0\end{pmatrix},\quad L=I,\quad U=\begin{pmatrix}3&1&0\0&1&3\0&0&1\end{pmatrix}.\)$ (Έλεγχος: \(PA=U\), γραμμές \(A_3,A_1,A_2\). Οι πολλαπλασιαστές είναι όλοι \(0\), άρα \(L=I\).)

Θέμα 4 (Χ.Ε.)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Σειρά όπως στην εκφώνηση:

  1. Euler προς τα εμπρός — βήμα περιορισμένο περισσότερο από ευστάθεια παρά ακρίβεια: ισχύει (γενικά, π.χ. σε δύσκαμπτα προβλήματα, το όριο \(h\) για ευστάθεια είναι πιο αυστηρό). Χαμηλή βεβαιότητα, εξαρτάται από τη διατύπωση "γενικά".
  2. [L,U,P]=lu(A); tril(U,-1)==zeros(size(A)) — το \(U\) είναι άνω τριγωνικό, άρα το αυστηρά κάτω τμήμα είναι μηδέν: ισχύει (επιστρέφει πίνακα μονάδων).
  3. Σφάλμα του \(b+a\) μεγαλύτερο από του \(b-a\) (με \(b>a>0\)): το σφάλμα στρογγύλευσης είναι \(\le\tfrac{\epsilon}{2}|\text{αποτέλεσμα}|\) και \(b+a>b-a\): ισχύει.
  4. Ο δείκτης κατάστασης δείχνει την ευαισθησία σε διαταραχές των δεδομένων: ισχύει.
  5. 1+eps/2+eps/2==1: υπολογίζεται αριστερά προς δεξιά, \((1+\epsilon/2)=1\) (στρογγύλευση στο άρτιο) και μετά \(1+\epsilon/2=1\): ισχύει (επιστρέφει 1).
  6. \(A=\mathrm{tridiag}(-1,1,-1)\) με \(a_{11}=2\): δεν είναι συμμετρικά θετικά ορισμένο (\(\lambda_{\min}\approx-0.91\)) ούτε διαγώνια υπέρτερο. Υπολογισμός: \(\rho(T_{GS})\approx3.64>1\). Δεν ισχύει (δεν συγκλίνει).
  7. Εμπρός αντικατάσταση: \(O(n^2)\) πράξεις, όχι \(O(n^3)\): δεν ισχύει.
  8. \(r=Ae\Rightarrow\|r\|\le\|A\|\|e\|\), όχι με το \(\|A^{-1}\|\) (αυτό δίνει \(\|e\|\le\|A^{-1}\|\|r\|\)): δεν ισχύει.
  9. Η κυβική Hermite είναι μόνο \(C^1\), ενώ το πολυώνυμο Lagrange είναι άπειρα παραγωγίσιμο: δεν ισχύει.
  10. Σύνθετος Simpson για \(\int(x^3+x)\): ο Simpson είναι ακριβής για πολυώνυμα βαθμού \(\le3\) σε κάθε πάνελ, άρα ακριβές για οποιαδήποτε διαμέριση: ισχύει.
  11. Η τέμνουσα χρησιμοποιεί \(f(x_{k-1})\), όχι \(f'(x_{k-1})\): δεν ισχύει.
  12. \(x^4-8x^2+16=(x^2-4)^2\) έχει διπλές ρίζες \(\pm2\): η Newton συγκλίνει μόνο γραμμικά (όχι κυβικά): δεν ισχύει.
  13. Αντίστροφη επανάληψη: κάθε βήμα λύνει σύστημα \((A-\sigma I)y=x\): ισχύει.

Θέμα 5

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Στην Ερώτηση 5 ζητείται η επιλογή και σύντομη αιτιολόγηση ακριβώς 3 υποερωτημάτων από την Ερώτηση 4. Επιλέγουμε τα υποερωτήματα I, II, III ως εξής:

I. Υποερώτημα: «Ο αλγόριθμος εμπρός αντικατάστασης για την επίλυση του \(Lx = b\) απαιτεί \(\mathcal{O}(n^3)\) πράξεις αριθμητικής κινητής υποδιαστολής.»

  • Χαρακτηρισμός: Δεν ισχύει (Ψευδής).
  • Αιτιολόγηση: Για κάτω τριγωνικό σύστημα \(n \times n\), η προς τα εμπρός αντικατάσταση (forward substitution) υπολογίζει διαδοχικά τα στοιχεία \(x_i = \frac{1}{L_{ii}} \left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} L_{ij} x_j\right)\) για \(i = 1, \dots, n\). Το συνολικό πλήθος πράξεων (flops) είναι \(\sum_{i=1}^n (2i - 1) = n^2 = \mathcal{O}(n^2)\) και όχι \(\mathcal{O}(n^3)\). Πολυπλοκότητα \(\mathcal{O}(n^3)\) απαιτείται μόνο για την παραγοντοποίηση \(LU\) γενικού πυκνού μητρώου και όχι για την επίλυση τριγωνικού συστήματος.

II. Υποερώτημα: «Αν χρησιμοποιήσουμε αριθμητική ολοκλήρωση με τον σύνθετο κανόνα Simpson για το \(\int_a^b (x^3 + x) dx\) το αποτέλεσμα θα είναι ακριβές (σε αριθμητική άπειρης ακρίβειας) για οποιαδήποτε διαμέριση του \([a, b]\) σε πάνελ.»

  • Χαρακτηρισμός: Ισχύει (Αληθής).
  • Αιτιολόγηση: Ο κανόνας Simpson (απλός και σύνθετος) έχει βαθμό ακρίβειας 3, δηλαδή ολοκληρώνει ακριβώς πολυώνυμα βαθμού \(\le 3\). Ο τύπος του σφάλματος αποκοπής για τον σύνθετο κανόνα Simpson είναι: $\(E = -\frac{(b - a) h^4}{180} f^{(4)}(\xi), \quad \xi \in (a, b)\)$ Για την ολοκληρωτέα συνάρτηση \(f(x) = x^3 + x\), η 4η παράγωγος είναι \(f^{(4)}(x) \equiv 0\). Συνεπώς, το σφάλμα είναι ταυτοτικά μηδέν (\(E = 0\)) ανεξάρτητα από τον αριθμό των υποδιαστημάτων/πάνελ της διαμέρισης.

III. Υποερώτημα: «Αν η μέθοδος Newton εφαρμοστεί για την προσέγγιση μίας ρίζας της εξίσωσης \(x^4 - 8x^2 + 16 = 0\) και η εκκίνηση της διαδικασίας γίνει από \(x_0\) που βρίσκεται κοντά στην εν λόγω ρίζα, τότε η σύγκλιση θα είναι κυβική.»

  • Χαρακτηρισμός: Δεν ισχύει (Ψευδής).
  • Αιτιολόγηση: Η εξίσωση γράφεται \((x^2 - 4)^2 = (x - 2)^2 (x + 2)^2 = 0\). Οι ρίζες της είναι \(r = \pm 2\), με πολλαπλότητα \(m = 2 > 1\). Για πολλαπλή ρίζα (όπου \(f'(r) = 0\)), η κλασική μέθοδος Newton \(x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\) χάνει την τετραγωνική σύγκλιση και συγκλίνει μόνο γραμμικά με ασυμπτωτικό συντελεστή σύγκλισης: $\(\lim_{k \to \infty} \frac{|e_{k+1}|}{|e_k|} = 1 - \frac{1}{m} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq 0\)$ Επομένως, η σύγκλιση δεν είναι κυβική.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή