Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Σεπτέμβριος 2023¶
IMG_20230906_134019.jpg¶
(25) 1) $\(A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 27 \\ 0 & 4 & -8 \\ 27 & -8 & 106 \end{pmatrix}\)$ -ιδιοτιμές του Α : \(\approx 5,8757e-01\) , \(4,8559e+00\) , \(1,4356e+02\)
Συμπληρώστε τα κενά :
i) Η νόρμα του Α είναι \(||A||_1 =\) [ ? ]
ii) Ο δείκτης κατάστασης του Α ως προς τη νόρμα -2 είναι \(\kappa_2(A) =\) [ ? ]
iii) Να υπολογίσετε τον κάτω τριγωνικό παράγοντα Cholesky για το Α, \(L =\) [ ? ]
iv) Από το παραπάνω L, να βρείτε κάτω τριγωνικό M με μηδενικά στην κύρια διαγώνιο και διαγώνιο D τέτοια ώστε \(A = MDM^T\) , \(M =\) [ ? ] , \(D =\) [ ? ]
(25) 2) Δίνεται το διάνυσμα \(f(n)\) αριθμητικών πράξεων κάποιας συνάρτησης στη MATLAB συναρτήσει των (ετών) \(n\) όπως παρακάτω : \(f(16) = 66\) , \(f(17) = 199\) , \(f(18) = 236\)
i) Πολυώνυμο παρεμβολής : \(p(n) =\) [ ? ]
ii) Δίνεται ότι \(f(19) = 290\). Στο παραπάνω \(p(n)\) να προσθέσετε έναν παραπάνω όρο \(\underline{f}(n)\) έτσι ώστε \(q(n) = p(n) + f(n)\) το πολυώνυμο παρεμβολής \(f(n) =\) [ ? ]
iii) Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω 4 τετμημένες και τα 3 δοθέντα υποδιαστήματα που ορίζουν, να υπολογίσετε την τμηματικά γραμμική συνάρτηση παρεμβολής \(L(n)\) για την \(f(n)\).
IMG_20230906_134028.jpg¶
(25) 5) Δίνεται \(A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 0 \\ 3 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) \(b^T = (6 \ -3 \ -1)\)
και το αρχικό διάνυσμα \(x_0 = [1; 0; 0]\) των επαναλήψεων της επίλυσης της \(Ax=b\) με τέσσερις επαναληπτικές μεθόδους.
i) Να εφαρμόσετε 1 βήμα της μεθόδου μεθόδου Jacobi και να υπολογίσετε τις τιμές \(||b - Ax_k||_\infty\) για \(k=0,1\) // Σημείωση: στην μέθοδο Jacobi να χειροποιήσετε το μητρώο μητρώο με τα στοιχεία στις θέσεις \(\begin{pmatrix} * & * & 0 \\ * & * & 0 \\ 0 & 0 & * \end{pmatrix}\) \(p_0 = [2]\) \(p_1 = [?]\)
ii) Να αποδείξετε αν θα συγκλίνει η Gauss-Seidel ή όχι
(20) 3) Multiple
(15) 4) Απαντήσεις των multiple
Screenshot_2023-09-03-17-58-17-973.jpg¶
+110/3/344+
[Barcode]
Ερώτηση 4 (206.Χ.Ε.) Μαυρίστε η σημειώστε Χ στα κουτάκια όσα από τα παρακάτω ερωτήματα ισχύουν στη γενική περίπτωση (εκτός αν δηλώνεται κάτι διαφορετικά). Δεν υπάρχει αρνητική βαθμολογία.
- [ ] Αν χρησιμοποιήσουμε αριθμητική ολοκλήρωση με τον σύνθετο κανόνα Simpson για το \(\int_a^b (x^3+x)dx\) το αποτέλεσμα θα είναι ακριβές (σε αριθμητική ακρίβειας) για οποιοδήποτε διαμέριση του \([a, b]\) σε πάνελ.
- [ ] Αν η μέθοδος Newton εφαρμοστεί για την προσέγγιση μίας ρίζας της εξίσωσης \(x^4-8x^2+16=0\) και η εκτίμηση της διαδικασίας γίνει από \(x_0\) που βρίσκεται κοντά στην εν λόγω ρίζα, τότε η σύγκλιση θα είναι κυβική.
- [ ] Αν οι μεταβλητές b > a > 0 στη MATLAB περιέχουν διαφορετικούς αριθμούς κινητής υποδιαστολής, τότε το μέγιστο δυνατό απόλυτο σφάλμα του υπολογισμού αθροίσματος b+a είναι μεγαλύτερο από το μέγιστο δυνατό απόλυτο σφάλμα του υπολογισμού του b-a.
- [ ] Η μεταβλητή A έχει αρχικοποιηθεί στη MATLAB με ένα μητρώο που είναι γνωστό ότι είναι αντιστρέψιμο. Τότε οι εντολές [L,U,P]=lu(A); triU(U,-1)==zeros(size(A)) επιστρέφουν πάντα το λογικό μητρώο ones(size(A)).
- [ ] Αν στη MATLAB δοθούν οι εντολές (1+eps/2+eps/2==1) θα επιστραφεί 1.
- [ ] Ένα πλεονέκτημα της παρεμβολής με κυβική Hermite \(s(x)\) αντί με πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange \(p(x)\) στο διάστημα \([a,b]\) είναι ότι η \(s(x)\) είναι απείρως παραγωγίσιμη στο \([a,b]\).
- [ ] Ο αλγόριθμος εμπρός αντικατάστασης για την επίλυση του \(Lx = b\) απαιτεί \(O(n^3)\) πράξεις αριθμητικής κινητής υποδιαστολής.
- [ ] Ο δείκτης κατάστασης ενός προβλήματος είναι χρήσιμος γιατί ανευρύνει την ευαισθησία των υπολογισμένων αποτελεσμάτων για μικρές αλλαγές στα δεδομένα εισόδου.
- [ ] Αν A=toeplitz([1,-1], zeros(1,8))+eye(10,1)*eye(1,10) και εφαρμόσουμε την επαναληπτική μέθοδο Gauss-Seidel για την επίλυση του \(Ax = b\), τότε η μέθοδος θα συγκλίνει.
- [ ] Σε κάθε βήμα \(k = 2, ..., n\) ο τύπος της τέμνουσας για την επίλυση της βαθμωτής εξίσωσης \(f(x) = 0\) μπορεί να κατασκευαστεί μέσω του γραμμικού πολυωνύμου παρεμβολής Newton με δεδομένα \(\{(x_{k-2}, f(x_{k-2})), (x_{k-1}, f(x_{k-1}))\}\).
- [ ] Γενικά, σε κάθε βήμα της μεθόδου αντίστροφης δύναμης αντίστροφη επανάληψη) για το υπολογισμό ιδιοζευγών χρειάζεται να επιλυθεί γραμμικό σύστημα .
- [ ] Αν στη διάρκεια επαναληπτικής μεθόδου επίλυσης του τετραγωνικού συστήματος \(Ax = b\) με την στάσιμη μέθοδο \(Mx^{(k)} = Nx^{(k-1)} + b\) υπολογίζεται το \(x^{(k)}\) και το \(r^{(k)} = b - Ax^{(k)}\) και \(e^{(k)} = x - x^{(k)}\) τότε ανεξαρτήτως νόρμας θα ισχύει ότι \(\|r^{(k)}\| \le \|A^{-1}\|\|e^{(k)}\|\).
- [ ] Γενικά, το μέγεθος του βήματος στην προς τα εμπρός Euler για την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων περιορίζεται περισσότερο από την ανάγκη για ευστάθεια παρά από την ζητούμενη ακρίβεια.
Ερώτηση 3 (15 6.Χ.Ε.) Στο προηγούμενο ερώτημα, επιλέξτε ακριβώς 3 υποερωτήματα που απαντήσατε καλύτερα και σημειώστε τους λατ. αριθμούς 1, 11, 111, αριστερά από το αντίστοιχο κουτάκι, και αιτιολογήστε τα σύντομα παρακάτω. Προσοχή: Μην επιχειρήσετε να αιτιολογήσετε περισσότερες ερωτήσεις γιατί δεν θα ληφθούν υπόψη. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. I (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):
ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. II (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση):
ΚΙΝΗΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ. ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ, ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΕΡΟΥΝ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟ/ΑΝΑΦΟΡΑ.
Screenshot_2023-09-03-17-58-32-648.jpg¶
[Barcode]
ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΥΠΟΕΡ. ΙΙΙ (σημειώστε ποιο είναι στην προηγούμενη ερώτηση).
Ερώτηση 4 (25%) Αν $$ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \ 3 & 3 & 0 \ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$ και $$ b^T = (0 \quad 0 \quad 1) $$ και το αρχικό διάνυσμα \(x_0\) είναι μηδενικό και ενδιαφέρει η λύση της \(Ax = b\) με επαναληπτικές μεθόδους: Προσοχή: Για να ληφθούν υπόψη οι απαντήσεις σας, πρέπει να συμπληρώσετε τις ζητούμενες τιμές στα πλαίσια που παρέχονται. 1. Να υπολογίσετε τις τιμές \(||b - Ax_k||_1\) στα βήματα \(k = 0, 1, 2\) της Jacobi. [ ] \(\rho_0 = \quad \quad \quad \quad \quad \rho_1 = \quad \quad \quad \quad \quad \rho_2 =\)
-
Να υπολογίσετε τις τιμές \(||b - Ax_k||_1\) στα βήματα \(k = 0, 1\) της Gauss-Seidel. [ ] \(\rho_0 = \quad \quad \quad \quad \quad \rho_1 =\)
-
Εξηγήστε όσο μπορείτε καλύτερα κατά πόσο φαίνεται από τα παραπάνω αν οι μέθοδοι για το συγκεκριμένο πρόβλημα θα συγκλίνουν και ποιά θα συγκλίνει γρηγορότερα.
...η 5 (25%) Αν $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 1 \ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ b^T = (2 \quad 2 \quad 3) $$ ...να τις κατάλληλες τιμές στη μορφή X.XXe±EE (π.χ. 3.20e-01)
Λύσεις (🟡 community)
Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: φωτογραφίες/PDF λύσεων που ανέβασαν φοιτητές στο Discord (μεταγραφή με AI)
Λύσεις — Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Σεπτέμβριος 2023¶
IMG_20230901_205808.jpg¶
IMG_20230901_205837.jpg¶
Επειδή \(P_2\) ορθογώνιο και άρα \(P_2 = P_2^T\) έχουμε: \(L_2 \cdot P_2 \cdot L_1 \cdot (P_2^T \cdot P_2) \cdot P_1 \cdot A = U \Rightarrow\) \(\Rightarrow P_2 \cdot P_1 \cdot A = (L_2 \cdot P_2 \cdot L_1 \cdot P_2^T)^{-1} \cdot U = \underbrace{(P_2^T)^{-1}}_{=L} \cdot L_1^{-1} \cdot P_2^{-1} \cdot L_2^{-1} \cdot U =\)
Άρα: \(L = P_2 \cdot L_1^{-1} \cdot P_2 \cdot L_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2/3 & 1 & 0 & 0 \\ 2/3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1/2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2/3 & 1 & 0 & 0 \\ 2/3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1/2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\)
\(= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2/3 & 1 & 0 & 0 \\ 2/3 & -1/2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = L \quad \text{και} \quad P = P_2 \cdot P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)