Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Ιούνιος 2023

IMG_20230615_150923.jpg

[Barcode]

+56/2/669+

IMG_20230903_180216.jpg

Άσκηση 1 (25%) Δίνονται οι τετμημένες \([-2, -1, 3]\). Δίνεται επίσης πολυώνυμο \(f(x)\) με συντελεστές (από το μεγιστοβάθμιο ως το σταθερό όρο) \(p = [-1, 3, 2, -2]\). Οι τιμές του στις παραπάνω τετμημένες είναι: \([14, 0, 4]\). Να βρείτε τους συντελεστές του πολυωνύμου παρεμβολής \(p_1(x) = ax + b\) για τις πρώτες δύο τετμημένες συμπληρώνοντας τα στοιχεία που λείπουν: \(a = \quad , \quad b = \quad .\)

Σε βάση τις τιμές σε όλες τις τετμημένες, να γράψετε πολυώνυμο παρεμβολής \(N(x)\) σε παραράσταση Newton $N(x) = $

\(l(x)\) είναι πολυώνυμο με ρίζες όλες τις τετμημένες και \(\max_{x \in [-2,3]} |l(x)| = M\), να υπολογίσετε ένα σφιχτό φράγμα για το \(\max_{x \in [-2,3]} |N(x) - p(x)|\). \(\max_{x \in [-2,3]} |N(x) - p(x)| \leq\)

Να γράψετε τμηματικά γραμμική συνάρτηση παρεμβολής \(g(x)\) για την παραπάνω \(f\) χρησιμοποιώντας τα παρακάτω: $\(g(x) = \begin{cases} \quad , & x \in [\quad , \quad] \\ \quad , & x \in [\quad , \quad] \end{cases}\)$

Screenshot_458.png

[Barcode]

+56/2/669+

Ερώτηση 1 (25%)

Αν

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]

και

\[b^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

και το αρχικό διάνυσμα \(x_0\) είναι μηδενικό και ενδιαφέρει η λύση της \(Ax = b\) με επαναληπτικές μεθόδους: Προσοχή: Για να ληφθούν υπόψη οι απαντήσεις σας, πρέπει να συμπληρώσετε τις ζητούμενες τιμές στα πλαίσια που παρέχονται.

1. Να υπολογίσετε τις τιμές \(\|b - Ax_k\|_1\) στα βήματα \(k = 0, 1, 2\) της Jacobi.

\(\rho_0 =\) [ ] \(\rho_1 =\) [ ] , \(\rho_2 =\) [ ]

1. Να υπολογίσετε τις τιμές \(\|b - Ax_k\|_1\) στα βήματα \(k = 0, 1\) της Gauss-Seidel.

\(\rho_0 =\) [ ] \(\rho_1 =\) [ ] ,

1. Εξηγήστε όσο μπορείτε καλύτερα κατά πόσο φαίνεται από τα παραπάνω αν οι μέθοδοι για το συγκεκριμένο πρόβλημα θα συγκλίνουν και ποια θα συγκλίνει γρηγορότερα.

Λύσεις (🟡 community)

Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: φωτογραφίες/PDF λύσεων που ανέβασαν φοιτητές στο Discord (μεταγραφή με AI)

Λύσεις — Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Ιούνιος 2023

IMG_20230829_211322.jpg

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad b^T = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad b = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[x^{(0)} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad D^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}\]

Ιακωβί : $\(T = D^{-1}(L+U) =\)$

\[T = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -3 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\]

\[= \begin{pmatrix} 0 & -1/3 & -2/3 \\ -1 & 0 & 0 \\ -2/3 & 0 & 0 \end{pmatrix} = T\]

\[L = -tril(A, -1) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

\[U = -triu(A, 1) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

\[k=0 \quad x^{(k+1)} = D^{-1}(L+U)x^{(k)} + D^{-1}b \Rightarrow x^{(1)} = \begin{pmatrix} 0 & -1/3 & -2/3 \\ -1 & 0 & 0 \\ -2/3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\]

\[= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1/3 \end{pmatrix}\]

\[\|b - Ax^{(1)}\|_1 = \left\| \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1/3 \end{pmatrix} \right\|_1 = \left\| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\|_1 = 1\]

\[k=1 \quad x^{(k+1)} = D^{-1}(L+U)x^{(k)} + D^{-1}b \Rightarrow x^{(2)} = \begin{pmatrix} 0 & -1/3 & -2/3 \\ -1 & 0 & 0 \\ -2/3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1/3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1/3 \end{pmatrix} =\]

\[= \begin{pmatrix} -2/9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/9 \\ 0 \\ 1/3 \end{pmatrix} \quad \|b - Ax^{(2)}\|_1 = \left\| \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2/9 \\ 0 \\ 1/3 \end{pmatrix} \right\|_1 = \left\| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5/9 \end{pmatrix} \right\|_1 =\]

\[= \left\| \begin{pmatrix} -2/3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\|_1 = 2/3 \quad \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{6}{9} + \frac{4}{9} - \frac{10}{9}\]

\[\|b - Ax^{(2)}\|_1 = \left\| \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2/9 \\ 0 \\ 1/3 \end{pmatrix} \right\|_1 = \left\| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ -2/3 \\ 5/9 \end{pmatrix} \right\|_1 = \left\| \begin{pmatrix} 0 \\ 2/3 \\ 4/9 \end{pmatrix} \right\|_1 = 10/9\]

\[k=2 \quad x^{(k+1)} = D^{-1}(L+U)x^{(k)} + D^{-1}b \Rightarrow x^{(3)} = \begin{pmatrix} 0 & -1/3 & -2/3 \\ -1 & 0 & 0 \\ -2/3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2/9 \\ 0 \\ 1/3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1/3 \end{pmatrix} =\]

\[= \begin{pmatrix} -2/9 \\ 2/9 \\ 4/27 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/9 \\ 2/9 \\ 13/27 \end{pmatrix} \quad \|b - Ax^{(3)}\|_1 = \left\| \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2/9 \\ 2/9 \\ 13/27 \end{pmatrix} \right\|_1 = \left\| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 14/27 \end{pmatrix} \right\|_1 =\]

\[= \left\| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 14/27 \end{pmatrix} \right\|_1 = 14/27\]

IMG_20230829_211437.jpg

\[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad b^T = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ $$b = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\]

1. \(\|A\|_\infty = 0,04e+02 = 4 \quad K(A) = \|A\|\|A^{-1}\| = 4 \cdot 4 = 16\)

2. \(\|A^{-1}\|_\infty \approx 4 \quad \|E\|_\infty < 1,06 \cdot 10^{-6} \quad \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{K(A)}{1-K(A)\frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right) \Rightarrow E \quad 0\) \(A E \mid y = b \mid \Delta b = 0\) \(\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{16}{1 - 16 \cdot \frac{1,06 \cdot 10^{-6}}{4}} \left( \frac{1,06 \cdot 10^{-6}}{4} \right) = \frac{16}{1 - 4 \cdot 1,06 \cdot 10^{-6}} \cdot \frac{1,06 \cdot 10^{-6}}{4} = \frac{16}{4} \cdot \frac{1,06 \cdot 10^{-6}}{1 - 4,24 \cdot 10^{-6}}\) \(\approx 4,24 \cdot 10^{-6}\) \(\frac{4,24 \cdot 10^{-6}}{1 - 4,24 \cdot 10^{-6}} = \frac{4,24 \cdot 10^{-6}}{999.995,76 \cdot 10^{-6}} = 4,24 \cdot e-06\)

3. \(PA = LU \Rightarrow P_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow P_1 A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\) Εφόσον η 2η δεν έχει στοιχείο στον 1ο στύλο δεν περίσσεται πολλαπλασιαστής Μητρώο οπότε \(P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow P_2 P_1 A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) Άρα το L θα είναι το ταυτοτικό μητρώο \(L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad U = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) \(P = P_2 P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) \(P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)

IMG_20230829_211513.jpg

Εστω σημεία: \([-3, 0, 2]\) \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 1\) Τιμές: \([7, 1, -23]\) \(x^3 - 2x^2 + 4x - 7\)

1. \(x_1 = 3\) \(x_2\) για τις τετμημένες οι τιμές του πολυωνύμου \(f(x)\) είναι \(7, 1\) Αρα \(ax_1 + b = y_1\) } => \(-3a + b = 7\) } => \(-3a + 1 = 7\) } => \(-3a = 6\) => \(a = -2\) \(ax_2 + b = y_2\) } \(b = 1\) } \(b = 1\) } \(b = 1\) \(a = -2\) \(b = 1\)

2. Πολυώνυμο παρεμβολής \(N(x)\) σε Newton: \(x_0 = -3\) \(f(x_0) = 7\) \(x_1 = 0\) \(f(x_1) = 1\) \(x_2 = 2\) \(f(x_2) = -23\) \(f(x_0, x_1) = \frac{7 - (-1)}{-3 - 0} = \frac{8}{-3} = -\frac{8}{3}\) \(f(x_1, x_2) = \frac{-23 - 1}{2 - 0} = \frac{-24}{2} = -12\) \(f(x_0, x_1, x_2) = \frac{-12 - (-8/3)}{2 - (-3)} = \frac{-28/3}{5} = -\frac{28}{15}\)

\(N(x) = f(x_0) + (x - x_0) \cdot f(x_0, x_1) + (x - x_0)(x - x_1) \cdot f(x_0, x_1, x_2) = 7 + (x - (-3)) \cdot (-\frac{8}{3}) + (x - (-3))(x - 0) \cdot (-\frac{28}{15}) = 7 - \frac{8}{3}(x + 3) - \frac{28}{15}x(x + 3) = 7 - \frac{8}{3}x - 8 - \frac{28}{15}x^2 - \frac{28}{5}x = -\frac{28}{15}x^2 - \frac{124}{15}x - 1 \Rightarrow n = 2\)

1. \(\max_{x \in [-3, 2]} |N(x) - P(x)| \leq \frac{\max_{x \in [-3, 2]} |N^{(n+1)}(x)|}{(n+1)!} \cdot h^{n+1} \Rightarrow \frac{M}{3!} \cdot (\frac{5}{2})^3 = \frac{M}{6} \cdot \frac{125}{8} = \frac{125M}{48}\) \(N'(x) = -\frac{56}{15}x - \frac{124}{15}\) \(N''(x) = -\frac{56}{15}\) \(N'''(x) = 0\)

2. Για \(x \in [-3, 0]\): \(g_1(x) = f(-3) + \frac{f(0) - f(-3)}{0 - (-3)} (x - (-3)) = 7 + \frac{1 - 7}{3}(x + 3) = 7 - \frac{6}{3}(x + 3) = 7 - 2x - 6 = (-2x + 1)\) Για \(x \in [0, 2]\): \(g_2(x) = f(0) + \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} (x - 0) = 1 + \frac{-23 - 1}{2}x = 1 - 12x\)

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

---

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή