Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Ιούνιος 2022¶
spectralradius.png¶
Έστω το επαναληπτικό σχήμα
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.
- [ ] Η επαναληπτική διαδικασία δεν θα συγκλίνει, καθώς η φασματική ακτίνα του \(T\) είναι μικρότερη από 1.
- [ ] Η επαναληπτική διαδικασία δεν θα συγκλίνει, καθώς η φασματική ακτίνα του \(T\) είναι μεγαλύτερη από 1.
- [ ] Η επαναληπτική διαδικασία δεν θα συγκλίνει, καθώς \(\|P\|_\infty > 1\).
- [ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2022-06¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα (spectralradius.png — επιλογή σωστής απάντησης)¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Η επανάληψη \(x^k=Px^{k-1}+\hat b\) συγκλίνει για κάθε αρχική τιμή αν και μόνο αν \(\rho(P)<1\).
- Το \(P\) έχει ίχνος \(1+1+\tfrac18-\tfrac18=2\). Οι δύο πρώτες γραμμές είναι ίδιες, οπότε το \(P\) είναι ιδιάζον. Υπολογισμός με Python: ιδιοτιμές \(\{2,0,0,0\}\), άρα \(\rho(P)=2>1\).
- Άρα η επανάληψη δεν συγκλίνει (γενικά, για τυχαία αρχική τιμή).
- Η \(\|P\|_\infty=19.25>1\) δεν αποδεικνύει απόκλιση: \(\|P\|>1\) δεν σημαίνει \(\rho(P)>1\). Η τρίτη επιλογή έχει λάθος αιτιολόγηση.
- Η πρώτη επιλογή είναι λάθος ("μικρότερη από 1").
Σωστή: η 2η επιλογή (δεν συγκλίνει, φασματική ακτίνα μεγαλύτερη από 1). Υποθέτω ότι το \(T\) της εκφώνησης είναι ο πίνακας επανάληψης \(P\) (πιθανό τυπογραφικό).