Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Φεβρουάριος 2021¶

-_.png¶

Ερώτηση 1 / 4 (Συμπλήρωση Κενών (Χαλαρή Ταυτοποίηση) — 5 βαθμοί)

Αν $g$ είναι ο μικρότερος κανονικοποιημένος αριθμός κινητής υποδιαστολής σε διπλή ακρίβεια, ποιό είναι ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος $k$ για τον οποίον ισχύει ότι $g \times 2^{-k} > 0$;

Ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος θα είναι [ ].

Ερώτηση 2 / 4 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί)

Αν το μητρώο $A$ είναι τριγωνικό, τότε η νόρμα $\|A\|_2$ του μητρώου είναι ίση με την φασματική του ακτίνα.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 3 / 4 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί)

Αν ένα μητρώο $A$ είναι διαγώνιο τότε η νόρμα-2 του μητρώου είναι πάντα ίση με τη νόρμα Frobenius του μητρώου.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

1.1.jpg¶

Αν όλα τα στοιχεία του αντιστρέψιμου μητρώου A και του δεξιού μέλους b στο γραμμικό σύστημα Ax=b είναι αριθμοί κινητής υποδιαστολής, τότε σε αριθμητική απείρως ακρίβειας, ισχύουν ποιά από τα παρακάτω:

[ ] Αν αφήσουμε την CG (μέθοδος συζυγών κλίσεων) να τρέξει για ικανό (αλλά πεπερασμένο) αριθμό επαναλήψεων, τότε το διάνυσμα y που θα επιστρέψει ως λύση θα ικανοποιεί ακριβώς τη συνθήκη $||Ay-b||=0$.
[ ] Αν λύσουμε με την LU χωρίς οδήγηση θα επιστραφεί λύση y που θα ικανοποιεί ακριβώς τη συνθήκη $||Ay-b||=0$.
[ ] Αν το αφήσουμε τη μέθοδο Gauss-Seidel να τρέξει για ικανό (αλλά πεπερασμένο) αριθμό επαναλήψεων, τότε το διάνυσμα y που θα επιστρέψει ως λύση θα ικανοποιεί ακριβώς τη συνθήκη $||Ay-b||=0$.
[ ] Αν το αφήσουμε τη μέθοδο Jacobi να τρέξει για ικανό (αλλά πεπερασμένο) αριθμό επαναλήψεων, τότε το διάνυσμα y που θα επιστρέψει ως λύση θα ικανοποιεί ακριβώς τη συνθήκη $||Ay-b||=0$.

1.2.jpg¶

Ο λόγος που δεν προτιμάται η μέθοδος των κανονικών εξισώσεων για την επίλυση γενικών προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων είναι:

[ ] Επειδή έχει πολύ μεγάλο κόστος σε σχέση με τις άλλες μεθόδους.
[ ] Επειδή το πλήθος των ψηφίων που μπορεί να χαθούν λόγω σφαλμάτων στους υπολογισμούς στην υπολογισμένη (με κανονικές εξισώσεις) λύση μπορεί να είναι διπλάσια από τα ψηφία που χάνονται με άλλες μεθόδους.
[ ] Επειδή η LU για την επίλυση του συστήματος των κανονικών εξισώσεων θα χρειαστεί οδήγηση.
[ ] Επειδή δεν μπορεί να εφαρμοστεί η Cholesky για την επίλυση του συστήματος των κανονικών εξισώσεων.

10.jpg¶

[ ] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & \text{NaN} & 0 \\ 1 & 6 & 12 & 12 \end{pmatrix}$
[ ] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 16 & 0 & 0 \\ 1 & 25 & \text{NaN} & 0 \\ 1 & 36 & 144 & 144 \end{pmatrix}$
[ ] $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & \text{NaN} & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}$
[ ] Η σωστή τιμή είναι -5
[ ] Η σωστή τιμή είναι 6
[ ] Η σωστή τιμή είναι 50
[ ] Η σωστή τιμή είναι 5

2.jpg¶

Δίνεται τετραγωνικό μητρώο 500 × 500, με τις εξής τιμές: 1 στις "ζυγές" θέσεις (2k,2k), (-1) στις "μονές" θέσεις (2k-1,2k-1) της κύριας διαγωνίου. Σε κάθε μία από τις υπόλοιπες διαγωνίους, τα στοιχεία είναι (1/k) όπου k είναι η διαγώνιος. Ποιά μέθοδος είναι η καταλληλότερη για την επίλυση γραμμικού συστήματος με αυτό το μητρώο?

Για παράδειγμα, αν n=3, το μητρώο θα είναι $A = \begin{pmatrix} -1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/2 & 1 & 1/2 \\ 1/3 & 1/2 & -1 \end{pmatrix}$

[ ] Με παραγοντοποίηση LDL
[ ] Με παραγοντοποίηση LU χωρίς οδήγηση
[ ] Με παραγοντοποίηση LU με μερική οδήγηση
[ ] με παραγοντοποίηση Cholesky

6.jpg¶

Δίνονται οι παρακάτω εξισώσεις, ως προς την μεταβλητή $X = [x, y]^T \in \mathbb{R}^2$ : $f(X) = -4y^2 + \sin(2\pi x) + 1$ και $g(X) = \cos(\pi x) + 2xy$. Δίνεται επίσης μία αρχική προσέγγιση για τη λύση: $X^{(0)} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0.5 \end{pmatrix}$. Με βάση μόνον αυτά τα στοιχεία, να επιλέξετε μια καλή για την εκκίνηση της διαδικασίας προσέγγισης της κοινής ρίζας $(x_\rho, y_\rho)$ τέτοια ώστε $f(x_\rho, y_\rho) = g(x_\rho, y_\rho) = 0$.

[ ] $X^{(1)} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0.5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6.28 & -4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
[ ] $X^{(1)} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0.5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6.28 & 1 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
[ ] $X^{(1)} = -\begin{pmatrix} 6.28 & 1 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
[ ] $X^{(1)} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6.28 & -4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

9.jpg¶

ρώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 20 βαθμοί)

Δίνονται οι κόμβοι -3, 1, 2, 3, η συνάρτηση f(x)= -x^3 -x^2 + 2 x, και οι τιμές της στους ανωτέρω κόμβους: 12, 0, -8, -30. Αν θέσουμε $b = [12, 0, -8, -30]^T$ και $d$ είναι οι συντελεστές του πολυωνύμου παρεμβολής Newton στους εν λόγω κόμβους, να επιλέξετε ποιό είναι το μητρώο $A$ για το οποίο ισχύει ότι $Ad = b$, εφόσον συμπληρωθεί σωστά η τιμή που σημειώνεται με NaN. Επίσης να επιλέξετε την ορθή τιμή που θα πρέπει να αντικαταστήσει το εν λόγω NaN:

[ ] $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 8 & 5 & 6 \ 1 & 5 & \text{NaN} & 12 \ 1 & 6 & 12 & 24 \end{pmatrix} $$
[ ] $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 4 & 0 & 0 \ 1 & 5 & \text{NaN} & 0 \ 1 & 6 & 12 & 12 \end{pmatrix} $$
[ ] $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 16 & 0 & 0 \ 1 & 25 & \text{NaN} & 0 \ 1 & 36 & 144 & 144 \end{pmatrix} $$

Screenshot_2365.png¶

Έστω το μητρώο

\[A = \begin{pmatrix} 0.0000 & 0.0000 & 0.0000 & -0.1260 \\ 1.0000 & 0.0000 & 0.0000 & 1.0180 \\ 0.0000 & 1.0000 & 0.0000 & -2.8775 \\ 0.0000 & 0.0000 & 1.0000 & 3.2000 \end{pmatrix}\]

και

\[x = \begin{pmatrix} 1.0000 \\ 1.0000 \\ 1.0000 \\ 1.0000 \end{pmatrix}\]

καθώς και ότι το $A^6 x$, μετά από κανονικοποίηση, θα είναι το διάνυσμα

\[y = \begin{pmatrix} -0.0626 \\ 0.4753 \\ -1.1966 \\ 1.0000 \end{pmatrix}\]

που λαμβάνεται ως μια σχετικά καλή προσέγγιση ιδιοδιανύσματος του $A$. Χρησιμοποιώντας αυτές τις πληροφορίες και λίγες ακόμα πράξεις αλλά χωρίς χρήση της eig ή ορισχουν, επιλέξτε από τα παρακάτω μίαν αντιστοιχα καλή προσέγγιση της μέγιστης σε μέτρο ιδιοτιμής του

[ ] 2.0062
[ ] 3.0057
[ ] 1.0536
[ ] 2.2111

a6bf4842ebae79fe.jpg¶

Ερώτηση 4 / 4 (σωστό / λάθος — 5 βαθμοί)

Ένα τμηματικά γραμμικό πολυώνυμο στο διάστημα [a,b] είναι τουλάχιστον μία φορά παραγωγίσιμο σε κάθε σημείο του διαστήματος.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Λύσεις (🟡 community)

Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: φωτογραφίες/PDF λύσεων που ανέβασαν φοιτητές στο Discord (μεταγραφή με AI)

Λύσεις — Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Φεβρουάριος 2021¶

134.png¶

Ερώτηση: 1 (Βαθμός: 5.00 / 5.00) (Σωστό / Λάθος)

Αν το μητρώο $A$ είναι διαγώνιο με διαγώνια στοιχεία $α_{11} \ge α_{22} \ge \dots \ge α_{nn}$, τότε $\|A\|_2 = α_{11}$.

Απάντηση

[ ] Σωστό (λάθος)
[x] Λάθος (σωστό) όχι - είναι το μέγιστο σε απόλυτη τιμή στοιχείο

136.png¶

Ερώτηση: 3 (Βαθμός: 5.00 / 5.00) (Σωστό / Λάθος)

Αν στο $n \times n$ γραμμικό σύστημα $Ax = b$ το $A$ περιέχει στη διαγώνιο την τιμή $n^2$ και τα υπόλοιπα στοιχεία της γραμμής είναι μια μετάθεση των ακεραίων $\{1,2,...,n-1\}$, τότε η Gauss-Seidel για την επίλυση του συστήματος θα συγκλίνει.

Απάντηση - [x] Σωστό (σωστό) - [ ] Λάθος (λάθος)

137.png¶

Ερώτηση: 4 (Βαθμός: 0.00 / 5.00) (Σωστό / Λάθος)

Αν $A \in \mathbb{R}^{100 \times 10}$, το $Q$ στην οικονομική παραγοντοποίηση QR του $A$ επιστρέφει ορθογώνια βάση για τον $\mathbb{R}^{100}$. Υπενθύμιση: η οικονομική παραγοντοποίηση επιστρέφεται στη MATLAB με την εντολή qr(A,0).

Απάντηση - [ ] Σωστό (λάθος) - [ ] Λάθος (σωστό)

151141839_694915181186316_6758111219394878283_n.png¶

Ερώτηση: 4 (Βαθμός: 5.00 / 5.00) (Σωστό / Λάθος)

Έστω ότι με κάποια μέθοδο βρήκατε προσέγγιση, $\bar{x}$, της λύσης, $x_{sol}$, της μη γραμμικής εξίσωσης $f(x) = 0$, για την οποία ισχύει ότι $|f(\bar{x})| \approx 10^{-5}$. Τότε ισχύει πάντα ότι $|\bar{x} - x_{sol}| \approx 10^{-5}$.

Απάντηση - [ ] Σωστό (λάθος) - [x] Λάθος (σωστό)

151280467_959716284833542_1117736600160779837_n.png¶

Ερώτηση: 1 (Βαθμός: 0.00 / 5.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση))

Αν γνωρίζετε για ένα μητρώο ότι $\|A\|_1 = 10$ και $\|A^{-1}\|_1 = 10^{10}$, τότε ποιο από τα παρακάτω ισχύει γενικά;

Απάντηση - [x] Η λύση που θα υπολογιστεί αν χρησιμοποιήσετε έναν πίσω ευσταθή αλγόριθμο θα έχει μικρό εμπρός σχετικό σφάλμα. (λάθος)

[ ] Η λύση που θα υπολογιστεί με οποιαδήποτε από τις μεθόδους που γνωρίζετε θα έχει μεγάλο εμπρός σχετικό σφάλμα. (σωστό)
[ ] Ο δείκτης κατάστασης του μητρώου θα είναι περίπου $10^{-10}$. (λάθος)
[ ] Το μητρώο θα έχει τουλάχιστον μία πολύ μεγάλη ιδιοτιμή. (λάθος)

151463580_1325354804513279_7501205681934620668_n.png¶

Ερώτηση: 2 (Βαθμός: 0.00 / 5.00) (Σωστό / Λάθος)

Δίνεται ένα τριδιαγώνιο μητρώο με κύρια διαγώνιο ίση με 0 και όλα τα υπόλοιπα μη μηδενικά στοιχεία ίσα με 1. Τότε όλες οι ιδιοτιμές θα είναι όλες μικρότερες σε απόλυτη τιμή από 2.

Απάντηση - [ ] Σωστό (σωστό) - [x] Λάθος (λάθος)

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή