Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Σεπτέμβριος 2020¶

106258598_854244608437900_3132848370085546431_n.png¶

Δίνεται η συνάρτηση fun1.m σε MATLAB. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

[ ] function [ q ] = fun1(A,b) [m,n]= size(A); j = size(b,1); if m~=n || j ~= m error('stop..'); end E = chol(A); q = E(E'\b);

[ ] Οποιοδήποτε τετραγωνικό μητρώο A και αν δοθεί σαν είσοδος, η συνάρτηση fun1.m θα επιστρέψει τιμή εξόδου.
[ ] Οποιοδήποτε τετραγωνικό μητρώο A και διάνυσμα b και αν δοθούν σαν είσοδο, η συνάρτηση fun1.m θα επιστρέψει τιμή εξόδου.
[ ] Αν η συνάρτηση fun1.m επιστρέψει τιμή εξόδου, τότε αυτή θα αντιπροσωπεύει τη λύση του συστήματος Aq=b και το A θα είναι συμμετρικά θετικά ορισμένο.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

118692217_318089106279703_4624607178699026930_n.jpg¶

Α6 ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ Η ΥΠΟΒΟΛΗ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ στην αντίστοιχη ΕΡΓΑΣΙΑ

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μονάδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Έστω πίνακας $A \in \mathbb{R}^{6 \times 6}$ για το οποίο ισχύει $A^T = A$. Έστω ότι εκτελούμε την εντολή MATLAB [~,D,~]=eig(A), για το $A$ και προκύπτει:

\[D = \begin{bmatrix} 1.0000 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -0.7401 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -0.9460 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.1941 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.0000 \end{bmatrix}\]

[ ] Το A έχει όλες τις ιδιοτιμές του θετικές από τη στιγμή που υπάρχει η παραγοντοποίηση $LL^T$ για το μητρώο αυτό.
[ ] Το A έχει όλες τις ιδιοτιμές του αρνητικές από τη στιγμή που υπάρχει τουλάχιστον ένα αρνητικό στοιχείο στην κύρια διαγώνιο του D.
[ ] Το A έχει 2 θετικές ιδιοτιμές και 4 αρνητικές.
[ ] Το A δεν είναι αντιστρέψιμο.

[Ακύρωση] [Υποβολή]

Σελίδα 1 από 1 3:10 μμ 26/5/2026

120362298_339711877238781_4789244784091370346_n.png¶

Ερώτηση 2 / 4 (Συμπλήρωση Κενών (Χαλαρή Ταυτοποίηση) — 5 βαθμοί)

Αν $g$ είναι ο μικρότερος κανονικοποιημένος αριθμός κινητής υποδιαστολής σε διπλή ακρίβεια, ποιό είναι ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος $k$ για τον οποίον ισχύει ότι $g \times 2^{-k} > 0$;

Ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος θα είναι [ ].

Προσωρινή αποθήκευση Ακύρωση Υποβολή < Προηγούμενο Επόμενο >

120369205_364679564571935_8241927653466722277_n.png¶

Έστω μητρώα $A,D \in \Re^{n \times n}$ και διάνυσμα $b \in \Re^{n \times 1}$, τα οποία κατασκευάζονται σύμφωνα με τις εντολές MATLAB που παρατίθενται παρακάτω. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

n = randi([10,100]); A = rand(n); D = triu(A)+triu(A)' ; b = randn(n,1);

[ ] Για την επίλυση του συστήματος $Dx=b$, καταλληλότερη παραγοντοποίηση είναι η LU, καθώς το εν λόγω μητρώο συντελεστών είναι αντιστρέψιμο.
[ ] Για την επίλυση του συστήματος $Dx=b$, καταλληλότερη παραγοντοποίηση είναι η Cholesky, καθώς το εν λόγω μητρώο συντελεστών είναι συμμετρικό θετικά ορισμένο.
[ ] Για την επίλυση του συστήματος $Dx=b$, καταλληλότερη παραγοντοποίηση είναι η LDL, καθώς το εν λόγω μητρώο συντελεστών είναι συμμετρικό.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

2.PNG¶

Έστω πίνακας $A \in \mathbb{R}^{6 \times 6}$ για το οποίο ισχύει $A^T = A$. Έστω ότι εκτελούμε την εντολή MATLAB [~,D,~]=ldl(A), για το $A$ και προκύπτει

\[ D = \begin{bmatrix} 1.0000 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -0.7401 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -0.9460 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.1941 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.0000 \end{bmatrix} \]

[ ] Το $A$ έχει όλες τις ιδιοτιμές του θετικές από τη στιγμή που υπάρχει η παραγοντοποίηση ldl για το μητρώο αυτό.
[ ] Το $A$ έχει όλες τις ιδιοτιμές του αρνητικές από τη στιγμή που υπάρχει τουλάχιστον ένα αρνητικό στοιχείο στην κύρια διαγώνιο του $D$.
[ ] Το $A$ έχει 2 θετικές ιδιοτιμές και 4 αρνητικές.
[ ] Το $A$ δεν είναι αντιστρέψιμο.

9.png¶

Υπολειπόμενος χρόνος: 57:19

1

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Έστω ότι εκτελούνται οι ακόλουθες εντολές Matlab:

\[n = 1:4; \quad G = \text{diag}(n) + \text{eye}(4);$$ $$s1 = \text{sum}(\text{sum}(G)); \quad s2 = \text{sum}(\text{diag}(G));$$ $$f = (s1 \sim= s2);\]

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

[x] Η μεταβλητή f θα περιέχει την τιμή 0 logical.
[ ] Η μεταβλητή f θα περιέχει την τιμή 1 logical.
[ ] Η μεταβλητή s1 θα περιέχει την τιμή 10.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

[Σχήμα: Περιβάλλον Matlab με επεξεργαστή κώδικα και παράθυρο εντολών που δείχνει f = logical 0]

Screenshot_2020-09-28_at_7.46.39_PM.png¶

Δίνονται οι παρακάτω εξισώσεις, ως προς την μεταβλητή $X = [x, y]^T \in \mathbb{R}^2$ : $f(X) = -4 y^2 + \sin(2 \pi x) + 1$ και $g(X) = \cos(\pi x) + 2 x y$ . Δίνεται επίσης μία αρχική προσέγγιση για τη λύση: $X^{(0)} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0.5 \end{pmatrix}$. Με βάση μόνον αυτά τα στοιχεία, να επιλέξετε μια καλή για την εκκίνηση της διαδικασίας προσέγγισης της κοινής ρίζας $(x_\rho, y_\rho)$ τέτοια ώστε $f(x_\rho, y_\rho) = g(x_\rho, y_\rho) = 0$.

[ ] $X^{(1)} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0.5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6.28 & -4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
[ ] $X^{(1)} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0.5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6.28 & 1 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
[ ] $X^{(1)} = - \begin{pmatrix} 6.28 & 1 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
[ ] $X^{(1)} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6.28 & -4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

Screenshot_23.png¶

Ερ2

Έστω η συνάρτηση $p(x) = (1.0000)x^3 + (-0.9479)x^2 + (-7.2084)x + (15.2605)$ Διαλέξτε α) το καλύτερο από τα παρακάτω διαστήματα για την εκκίνηση της μεθόδου διχοτόμησης, και β) το μητρώο μέσω του οποίου μπορείτε να βρείτε τις ρίζες του πολυωνύμου καλώντας την eig

[ ] [-2.00, 0.00]
[ ] [1.00, 4.00]
[ ] [0.00, 5.00]
[ ] [3.00, 5.00]
[ ] $\begin{bmatrix} 0.0000 & -1.0000 & 0.0000 \\ 0.0000 & 0.0000 & -1.0000 \\ 0.9479 & 7.2084 & -15.2605 \end{bmatrix}$
[ ] $\begin{bmatrix} 0.0000 & 0.0000 & -15.2605 \\ 1.0000 & 0.0000 & 7.2084 \\ 0.0000 & 1.0000 & 0.9479 \end{bmatrix}$
[ ] $\begin{bmatrix} 0.0000 & 0.0000 & -15.2605 \\ -1.0000 & 0.0000 & 7.2084 \\ 0.0000 & -1.0000 & 0.9479 \end{bmatrix}$
[ ] $\begin{bmatrix} -0.0000 & 1.0000 & -0.0000 \\ -0.0000 & -0.0000 & 1.0000 \\ 0.9479 & 7.2084 & -15.2605 \end{bmatrix}$

Screenshot_24.png¶

Για τα ζεύγη σημείων

\[(0,0), (1,-1), (2,2), (3,4),$$ $$\underbrace{}_{x_0,y_0} \quad \underbrace{}_{x_1,y_1} \quad \underbrace{}_{x_2,y_2} \quad \underbrace{}_{x_3,y_3}\]

να βρεθεί ποια από τις παρακάτω απαντήσεις αντιστοιχεί στο πολυώνυμο αναπαράστασης Lagrange.

[ ] $x(x-1)(x-2)2 - x(x-1)(x-3) - \frac{x(x-2)(x-3)}{2}$
[ ] $\frac{x(x-1)(x-2)}{3}2 - x(x-1)(x-3) - \frac{x(x-2)(x-3)}{2}$
[ ] $\frac{x(x-1)(x-2)}{3}2 + x(x-1)(x-3) - \frac{x(x-2)(x-3)}{2}$
[ ] $\frac{x(x-1)(x-2)}{3}2 - x(x-1)(x-3) + 2\frac{x(x-2)(x-3)}{2}$

Screenshot_25.png¶

Στον αριθμητικό υπολογισμό του

\[\int_{0}^{0.5} (4t^2 + t + 2)dt,\]

το καλύτερο άνω φράγμα στο σφάλμα της μεθόδου μέσου σημείου είναι

[ ] $\frac{5}{192}$
[ ] $\frac{7}{384}$
[ ] $\frac{e}{48}$
[ ] $\frac{1}{24}$

Screenshot_26.png¶

Έστω μητρώα $A,D \in \Re^{n \times n}$ και διάνυσμα $b \in \Re^{n \times 1}$, τα οποία κατασκευάζονται σύμφωνα με τις εντολές MATLAB που παρατίθενται παρακάτω. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

n = randi([10,100]); A = rand(n); D = triu(A)+triu(A)' ;
b = randn(n,1);

[ ] Για την επίλυση του συστήματος Dx=b, καταλληλότερη παραγοντοποίηση είναι η LU, καθώς το εν λόγω μητρώο συντελεστών είναι αντιστρέψιμο.
[ ] Για την επίλυση του συστήματος Dx=b, καταλληλότερη παραγοντοποίηση είναι η Cholesky, καθώς το εν λόγω μητρώο συντελεστών είναι συμμετρικό θετικά ορισμένο.
[ ] Για την επίλυση του συστήματος Dx=b, καταλληλότερη παραγοντοποίηση είναι η LDL, καθώς το εν λόγω μητρώο συντελεστών είναι συμμετρικό.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

a.jpg¶

ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ Η ΥΠΟΒΟΛΗ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ στην αντίστοιχη ΕΡΓΑΣΙΑ

1

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Έστω το επαναληπτικό σχήμα

\[x^k = P x^{k-1} + \hat{b}, \quad P = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.1 & 0.9 \\ 0.1 & 0.2 & 0 \\ 0.3 & 0.1 & 0.2 \end{bmatrix}.\]

. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

[ ] Η επαναληπτική διαδικασία θα συγκλίνει, καθώς $\|P\|_1 > 1$.
[ ] Η επαναληπτική διαδικασία θα συγκλίνει, καθώς $\|P\|_1 < 1$.
[ ] Η επαναληπτική διαδικασία θα συγκλίνει, καθώς $\|P\|_\infty < 1$.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

a.png¶

ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ Η ΥΠΟΒΟΛΗ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ στην αντίστοιχη ΕΡΓΑΣΙΑ

1

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Έστω το επαναληπτικό σχήμα

\[x^k = P x^{k-1} + \hat{b}, \quad P = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.1 & 0.9 \\ 0.1 & 0.2 & 0 \\ 0.3 & 0.1 & 0.2 \end{bmatrix}.\]

. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

[ ] Η επαναληπτική διαδικασία θα συγκλίνει, καθώς $\|P\|_1 > 1$.
[ ] Η επαναληπτική διαδικασία θα συγκλίνει, καθώς $\|P\|_1 < 1$.
[ ] Η επαναληπτική διαδικασία θα συγκλίνει, καθώς $\|P\|_\infty < 1$.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

analysh.png¶

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Στον αριθμητικό υπολογισμό του

\[ \int_{0}^{0.5} (4t^2 + t + 2)dt, \]

το καλύτερο άνω φράγμα στο σφάλμα της μεθόδου μέσου σημείου είναι

[ ] $\frac{5}{192}$
[ ] $\frac{7}{384}$
[ ] $\frac{6}{48}$
[ ] $\frac{1}{24}$

analysh1.png¶

Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης Προβολή Άσκησης

Α3 Υπολειπόμενος χρόνος: 10:17

ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ Η ΥΠΟΒΟΛΗ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ στην αντίστοιχη ΕΡΓΑΣΙΑ

1

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Για τα ζεύγη σημείων $$(0, 1), (1, -1), (2, 4),$$ $$x_0,y_0 \quad x_1,y_1 \quad x_2,y_2$$ να βρεθεί ποια από τις παρακάτω απαντήσεις αντιστοιχεί στο πολυώνυμο αναπαράστασης Newton.

[ ] $2 - 2x + 3.5x(x - 1)$
[ ] $1 - 2x + 3.5x(x - 1)$
[ ] $1 + 2x + 3.5x(x - 1)$
[ ] $1 - 2x + 3.5x(x - 1)(x - 2)$

Ακύρωση Υποβολή

askhsh_2.PNG¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 20 βαθμοί)

Δίνονται οι κόμβοι -2, -1, 3, 4, η συνάρτηση f(x)= 2 x^3 -3 x^2 + x -3, και οι τιμές της στους ανωτέρω κόμβους: -33, -9, 27, 81. Αν θεωρήσουμε $b = [-33, -9, 27, 81]^T$ και $d$ είναι οι συντελεστές του πολυωνύμου παρεμβολής Newton στους εν λόγω κόμβους, να επιλέξετε ποιό είναι το μητρώο $A$ για το οποίο ισχύει ότι $Ad = b$, εφόσον συμπληρωθεί σωστά η τιμή που σημειώνεται με NaN. Επίσης να επιλέξετε την ορθή τιμή που θα πρέπει να αντικαταστήσει το εν λόγω NaN:

[ ] $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 5 & 6 \ 0 & 0 & \text{NaN} & 30 \ 0 & 0 & 0 & 30 \end{pmatrix} $$
[ ] $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 25 & \text{NaN} & 0 \ 1 & 36 & 900 & 900 \end{pmatrix} $$
[ ] $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 5 & 6 \ 1 & 5 & \text{NaN} & 30 \ 1 & 6 & 30 & 60 \end{pmatrix} $$
[x] $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 5 & \text{NaN} & 0 \ 1 & 6 & 30 & 30 \end{pmatrix} $$
[x] Η σωστή τιμή είναι 21
[ ] Η σωστή τιμή είναι 20
[ ] Η σωστή τιμή είναι 800
[ ] Η σωστή τιμή είναι 13

askhsh_3.PNG¶

Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υπολογισμού (CΕΙD111) Προβολή Άσκησης

Α3 Υπολειπόμενος χρόνος: 2:41

1

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Έστω τα διανύσματα $u, v \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$ για τα οποία το $u$ περιέχει ακριβώς ένα μηδενικό στοιχείο και το $v$ κανένα. Έστω ότι εκτελούνται οι ακόλουθες εντολές Matlab για τα $u, v$:

\[A = u*v'; \quad g = \text{length}(\text{find}(A==0));\]

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

[x] Η μεταβλητή g θα περιέχει το μηδενικό διάνυσμα αντίστοιχων διαστάσεων.
[ ] Το g θα περιέχει την τιμή 6.
[ ] Το g θα περιέχει την τιμή 3.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

Προσωρινή αποθήκευση Ακύρωση Υποβολή

askhsh_5.PNG¶

Α5 Υπολειπόμενος χρόνος: 10:13

1

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μονάδική Απάντηση) — 15 βαθμοί)

Δίνονται $A = \begin{bmatrix} 0.0000 & 0.0000 & 0.0000 & -0.8258 \\ 1.0000 & 0.0000 & 0.0000 & 4.1697 \\ 0.0000 & 1.0000 & 0.0000 & -7.3664 \\ 0.0000 & 0.0000 & 1.0000 & 5.1200 \end{bmatrix}$ και $x = \begin{bmatrix} 1.0000 \\ 1.0000 \\ 1.0000 \\ 1.0000 \end{bmatrix}$ καθώς και ότι το $A^4x$, μετά από

κανονικοποίηση, θα είναι $\begin{bmatrix} -0.2098 \\ 1.0000 \\ -1.5856 \\ 0.8409 \end{bmatrix}$ είναι μια σχετικά καλή προσέγγιση ιδιοδιανύσματος του

$A$. Χρησιμοποιώντας αυτές τις πληροφορίες και λίγες ακόμα πράξεις, επιλέξτε από τα παρακάτω μίαν αντίστοιχα καλή προσέγγιση της μέγιστης σε μέτρο ιδιοτιμής του.

[ ] 3.8927
[ ] 1.0244
[ ] 5.1116
[ ] 3.2740

Προσωρινή αποθήκευση Ακύρωση Υποβολή

askhsh_6.PNG¶

Α6 Υπολειπόμενος χρόνος: 5:48

1

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 15 βαθμοί)

Έστω μητρώο $A \in \mathbb{R}^{3\times3}$. Έστω επίσης ότι κατά την εκτέλεση των ακόλουθων εντολών Matlab για το $A$,

\[\text{AP} = \text{A} + \text{A}'; \quad [\sim,\text{h},\sim] = \text{ldl}(\text{AP});\]

προκύπτει

\[h = \begin{bmatrix} 6 & 32.2000 & 0 \\ 32.2000 & 8.4000 & 0 \\ 0 & 0 & -1.2672 \end{bmatrix}\]

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

[ ] Το μητρώο AP δεν αντιστρέφεται.
[ ] Το μητρώο AP έχει δύο θετικές ιδιοτιμές και μία αρνητική.
[x] Το μητρώο AP έχει δύο αρνητικές ιδιοτιμές και μία θετική.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

b.jpg¶

Για τα ζεύγη σημείων

[ (0, 0),\ (1, -1),\ (2, 2),\ (3, 4), ] [ x_0, y_0 \quad x_1, y_1 \quad x_2, y_2 \quad x_3, y_3 ]

να βρεθεί ποια από τις παρακάτω απαντήσεις αντιστοιχεί στο πολυώνυμο αναπαράστασης Lagrange.

[ ] $ x(x-1)(x-2)2 - x(x-1)(x-3) - \frac{x(x-2)(x-3)}{2} $
[ ] $ \frac{x(x-1)(x-2)}{3}2 - x(x-1)(x-3) - \frac{x(x-2)(x-3)}{2} $
[ ] $ \frac{x(x-1)(x-2)}{3}2 + x(x-1)(x-3) - \frac{x(x-2)(x-3)}{2} $
[ ] $ \frac{x(x-1)(x-2)}{3}2 - x(x-1)(x-3) + 2\frac{x(x-2)(x-3)}{2} $

Ακύρωση Υποβολή

ff.PNG¶

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Έστω ότι θέλουμε να προσεγγίσουμε γραμμικό σύστημα με μητρώο συντελεστών

\[A = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 4 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & 9 \end{bmatrix},\]

μέσω κάποιας επαναληπτικής διαδικασίας, για οποιοδήποτε δεξί μέλος $b \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

[ ] Η μέθοδος Gauss-Seidel θα συγκλίνει καθώς το $A$ είναι συμμετρικό θετικά ορισμένο.
[ ] Η μέθοδος Jacobi δεν θα συγκλίνει καθώς το $A$ δεν είναι αυστηρά διαγώνια κυρίαρχο.
[ ] Η μέθοδος Jacobi θα συγκλίνει καθώς το $A$ είναι μη αναγώγισιμα διαγώνια κυρίαρχο.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

image0.jpg¶

Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης Προβολή Άσκησης

A1 Υπολειπόμενος χρόνος: 4:55

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μονή Απάντηση) — 10 βαθμοί)

Ερ1 Αν το $y = 0.1094$ χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση του ακριβούς $x = 0.1090$. Επιλέξτε την τιμή που είναι πλησιέστερη στο σχετικό σφάλμα στο $y$.

[ ] 0.0031
[ ] 0.0041
[ ] 0.0028
[ ] 0.0034

[Ακύρωση] [Υποβολή]

image0.png¶

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Έστω ότι θέλουμε να προσεγγίσουμε γραμμικό σύστημα με μητρώο συντελεστών

\[A = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 4 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & 9 \end{bmatrix},\]

μέσω κάποιας επαναληπτικής διαδικασίας, για οποιοδήποτε δεξί μέλος $b \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

[ ] Η μέθοδος Gauss-Seidel θα συγκλίνει καθώς το $A$ είναι συμμετρικό θετικά ορισμένο.
[ ] Η μέθοδος Jacobi δεν θα συγκλίνει καθώς το $A$ δεν είναι αυστηρά διαγώνια κυρίαρχο.
[ ] Η μέθοδος Jacobi θα συγκλίνει καθώς το $A$ είναι μη αναγώγισιμα διαγώνια κυρίαρχο.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

nikso.JPG¶

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Έστω ότι θέλουμε να προσεγγίσουμε γραμμικό σύστημα με μητρώο συντελεστών

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 5 \end{bmatrix},\]

μέσω κάποιας επαναληπτικής διαδικασίας, για οποιοδήποτε δεξί μέλος $b \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$. Να επιλέξετε

[ ] Η μέθοδος Jacobi δεν θα συγκλίνει καθώς το $A$ δεν είναι αυστηρά διαγώνια κυρίαρχο.
[ ] Η μέθοδος Gauss-Seidel θα συγκλίνει καθώς το $A$ είναι μη αναγώγισιμα διαγώνια κυρίαρχο.
[ ] Η μέθοδος Jacobi θα συγκλίνει καθώς το $A$ είναι συμμετρικό θετικά ορισμένο.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

Ακύρωση Υποβολή

num_sep2020.pdf¶

Ερώτηση 1 / 4 (Συμπλήρωση Κενών (Χαλαρή Ταυτοποίηση) — 5 βαθμοί)

Αν $g$ είναι ο μικρότερος κανονικοποιημένος αριθμός κινητής υποδιαστολής σε διπλή ακρίβεια, ποιό είναι ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος $k$ για τον οποίον ισχύει ότι $g \times 2^{-k} > 0$;

Ο μεγαλύτερος θετικός ακέραιος θα είναι [ ]

Ερώτηση 2 / 4 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί)

Αν το μητρώο $A$ είναι τριγωνικό, τότε η νόρμα $\|A\|_2$ του μητρώου είναι ίση με την φασματική του ακτίνα.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

A1 Υπολειπόμενος χρόνος: 1:09:23

Ερώτηση 3 / 4 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί)

Αν ένα μητρώο $A$ είναι διαγώνιο τότε η νόρμα-2 του μητρώου είναι πάντα ίση με τη νόρμα Frobenius του μητρώου.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

A1 Υπολειπόμενος χρόνος: 1:09:09

Ερώτηση 4 / 4 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί)

Ο παράγοντας U της παραγοντοποίησης LU του μητρώου A είναι το άνω τριγωνικό τμήμα του A.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

A2 Υπολειπόμενος χρόνος: 1:08:28

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 20 βαθμοί)

Δίνονται οι κόμβοι -2, 1, 2, 3, η συνάρτηση $f(x)= 2\ x^\wedge3\ -x^\wedge2\ -3\ x\ -2$, και οι τιμές της στους ανωτέρω κόμβους: -16, -4, 4, 34. Αν θέσουμε $b = [-16, -4, 4, 34]^T$ και $d$ είναι οι συντελεστές του πολυωνύμου παρεμβολής Newton στους εν λόγω κόμβους, να επιλέξετε ποιό είναι το μητρώο $A$ για το οποίο ισχύει ότι $Ad = b$, εφόσον συμπληρωθεί σωστά η τιμή που σημειώνεται με NaN. Επίσης να επιλέξετε την ορθή τιμή που θα πρέπει να αντικαταστήσει το εν λόγω NaN:

[ ] $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 6 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & \text{NaN} & 10 \\ 1 & 5 & 10 & 20 \end{pmatrix}$
[ ] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & \text{NaN} & 0 \\ 1 & 5 & 10 & 10 \end{pmatrix}$
[ ] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 9 & 0 & 0 \\ 1 & 16 & \text{NaN} & 0 \\ 1 & 25 & 100 & 100 \end{pmatrix}$
[ ] $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & \text{NaN} & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}$
[ ] Η σωστή τιμή είναι 4
[ ] Η σωστή τιμή είναι 32
[ ] Η σωστή τιμή είναι 5
[ ] Η σωστή τιμή είναι -3

Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης (CEID111) Προβολή Άσκησης

A3 Υπολειπόμενος χρόνος: 57:35

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Έστω τα διανύσματα $u, v \in \Re^{3 \times 1}$ για τα οποία το $u$ περιέχει ακριβώς ένα μηδενικό στοιχείο και το $v$ κανένα. Έστω ότι εκτελούνται οι ακόλουθες εντολές Matlab για τα $u, v$:

\[A = u * v'; \quad g = \text{length}(\text{find}(A==0));\]

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

[ ] Η μεταβλητή g θα περιέχει το μηδενικό διάνυσμα αντίστοιχων διαστάσεων.
[ ] Το g θα περιέχει την τιμή 6.
[ ] Το g θα περιέχει την τιμή 3.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

A4 Υπολειπόμενος χρόνος: 31:56

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 10 βαθμοί)

Δίνονται οι παρακάτω εξισώσεις, ως προς την μεταβλητή $X = [x, y]^T \in \mathbb{R}^2$: $f(X) = x^2 - y + 1$ και $g(X) = 3y + \cos(\pi x) - 4$. Δίνεται επίσης μία αρχική προσέγγιση για τη λύση: $X^{(0)} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{pmatrix}$. Με βάση μόνον αυτά τα στοιχεία, να επιλέξετε μια καλή για την εκκίνηση της διαδικασίας προσέγγισης της κοινής ρίζας $(x_\rho, y_\rho)$ τέτοια ώστε $f(x_\rho, y_\rho) = g(x_\rho, y_\rho) = 0$.

[ ] $X^{(1)} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3.14 & 3 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0.75 \\ -2.5 \end{pmatrix}$
[ ] $X^{(1)} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -3.14 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0.75 \\ -2.5 \end{pmatrix}$
[ ] $X^{(1)} = -\begin{pmatrix} 1 & -3.14 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0.75 \\ -2.5 \end{pmatrix}$
[ ] $X^{(1)} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3.14 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.75 \\ -2.5 \end{pmatrix}$

A5 Υπολειπόμενος χρόνος: 31:16

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 15 βαθμοί)

Δίνονται $A = \begin{bmatrix} 0.0000 & 0.0000 & 0.0000 & -0.8258 \\ 1.0000 & 0.0000 & 0.0000 & 4.1697 \\ 0.0000 & 1.0000 & 0.0000 & -7.3664 \\ 0.0000 & 0.0000 & 1.0000 & 5.1200 \end{bmatrix}$ και $x = \begin{bmatrix} 1.0000 \\ 1.0000 \\ 1.0000 \\ 1.0000 \end{bmatrix}$ καθώς και ότι το $A^4 x$, μετά από κανονικοποίηση, θα είναι $\begin{bmatrix} -0.2098 \\ 1.0000 \\ -1.5856 \\ 0.8409 \end{bmatrix}$ είναι μια σχετικά καλή προσέγγιση ιδιοδιανύσματος του $A$. Χρησιμοποιώντας αυτές τις πληροφορίες και λίγες ακόμα πράξεις, επιλέξτε από τα παρακάτω μίαν αντίστοιχα καλή προσέγγιση της μέγιστης σε μέτρο ιδιοτιμής του.

[ ] 3.8927
[ ] 1.0244
[ ] 5.1116
[ ] 3.2740

A6 Υπολειπόμενος χρόνος: 30:46

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 15 βαθμοί)

Έστω μητρώο $A \in \Re^{3 \times 3}$. Έστω επίσης ότι κατά την εκτέλεση των ακόλουθων εντολών Matlab για το $A$,

\[\text{AP} = A + A'; \quad [\sim, \text{h}, \sim] = \text{ldl}(\text{AP});\]

προκύπτει

\[h = \begin{bmatrix} 6 & 32.2000 & 0 \\ 32.2000 & 8.4000 & 0 \\ 0 & 0 & -1.2672 \end{bmatrix}\]

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

[ ] Το μητρώο AP δεν αντιστρέφεται.
[ ] Το μητρώο AP έχει δύο θετικές ιδιοτιμές και μία αρνητική.
[ ] Το μητρώο AP έχει δύο αρνητικές ιδιοτιμές και μία θετική.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 15 βαθμοί)

Δίνονται $A = \begin{bmatrix} 0.0000 & 0.0000 & 0.0000 & -0.8258 \\ 1.0000 & 0.0000 & 0.0000 & 4.1697 \\ 0.0000 & 1.0000 & 0.0000 & -7.3664 \\ 0.0000 & 0.0000 & 1.0000 & 5.1200 \end{bmatrix}$ και $x = \begin{bmatrix} 1.0000 \\ 1.0000 \\ 1.0000 \\ 1.0000 \end{bmatrix}$ καθώς και ότι το $A^4 x$, μετά από κανονικοποίηση, θα είναι $\begin{bmatrix} -0.2098 \\ 1.0000 \\ -1.5856 \\ 0.8409 \end{bmatrix}$ είναι μια σχετικά καλή προσέγγιση ιδιοδιανύσματος του $A$. Χρησιμοποιώντας αυτές τις πληροφορίες και λίγες ακόμα πράξεις, επιλέξτε από τα παρακάτω μίαν αντίστοιχα καλή προσέγγιση της μέγιστης σε μέτρο ιδιοτιμής του.

[ ] 3.8927
[ ] 1.0244
[ ] 5.1116
[ ] 3.2740

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 10 βαθμοί)

Δίνονται οι παρακάτω εξισώσεις, ως προς την μεταβλητή $X = [x, y]^T \in \mathbb{R}^2$: $f(X) = x^2 + y^2 - 1$ και $g(X) = 5x^2 + 21y^2 - 9$. Δίνεται επίσης μία αρχική προσέγγιση για τη λύση: $X^{(0)} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Με βάση μόνον αυτά τα στοιχεία, να επιλέξετε μια καλή για την εκκίνηση της διαδικασίας προσέγγισης της κοινής ρίζας $(x_\rho, y_\rho)$ τέτοια ώστε $f(x_\rho, y_\rho) = g(x_\rho, y_\rho) = 0$.

[ ] $X^{(1)} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 20 \\ 2 & 42 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ 32 \end{pmatrix}$
[ ] $X^{(1)} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 20 & 42 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ 32 \end{pmatrix}$
[ ] $X^{(1)} = -\begin{pmatrix} 4 & 20 \\ 2 & 42 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ 32 \end{pmatrix}$
[ ] $X^{(1)} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 20 & 42 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 32 \end{pmatrix}$

Ερώτηση 1 / 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 5 βαθμοί)

Δίνεται τετραγωνικό μητρώο $500 \times 500$, με τις εξής τιμές: 1 στις "ζυγές" θέσεις (2k,2k), (-1) στις "μονές" θέσεις (2k-1,2k-1) της κύριας διαγωνίου. Σε κάθε μία από τις υπόλοιπες διαγωνίους, τα στοιχεία είναι (1/k) όπου k είναι η διαγώνιος. Ποιά μέθοδος είναι η καταλληλότερη για την επίλυση γραμμικού συστήματος με αυτό το μητρώο;

Για παράδειγμα, αν n=3, το μητρώο θα είναι $A = \begin{pmatrix} -1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/2 & 1 & 1/2 \\ 1/3 & 1/2 & -1 \end{pmatrix}$

[ ] Με παραγοντοποίηση LDL
[ ] Με παραγοντοποίηση LU χωρίς οδήγηση
[ ] Με παραγοντοποίηση LU με μερική οδήγηση
[ ] Με παραγοντοποίηση Cholesky

Ερώτηση 2 / 4 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί)

Αν ένα μητρώο $A$ είναι διαγώνιο τότε $\|A\|_2 = \|A\|_1$.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 3 / 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 5 βαθμοί)

Αν αφαιρέσουμε τον μικρότερο κανονικοποιημένο θετικό αριθμό κινητής υποδιαστολής από το έψιλον της μηχανής (όλα σε αριθμ. κινητής υποδιαστολής διπλής ακρίβειας) το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με:

[ ] το έψιλον της μηχανής.
[ ] τον ελάχιστον θετικό κανονικοποιημένο αριθμό κινητής υποδιαστολής.
[ ] NaN
[ ] 0

Ερώτηση 4 / 4 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί)

Αν $\kappa_p(A)$ είναι ο δείκτης κατάστασης ενός μητρώου ως προς τη νόρμα p, τότε $\kappa_p(\gamma A) = \kappa_p(A)$ για οποιοδήποτε $\gamma \in \mathbb{R}$.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 15 βαθμοί)

Δίνονται $A = \begin{bmatrix} 0.0000 & 0.0000 & 0.0000 & -0.8258 \\ 1.0000 & 0.0000 & 0.0000 & 4.1697 \\ 0.0000 & 1.0000 & 0.0000 & -7.3664 \\ 0.0000 & 0.0000 & 1.0000 & 5.1200 \end{bmatrix}$ και $x = \begin{bmatrix} 1.0000 \\ 1.0000 \\ 1.0000 \\ 1.0000 \end{bmatrix}$ καθώς και ότι το $A^4 x$, μετά από κανονικοποίηση, θα είναι $\begin{bmatrix} -0.2098 \\ 1.0000 \\ -1.5856 \\ 0.8409 \end{bmatrix}$ είναι μια σχετικά καλή προσέγγιση ιδιοδιανύσματος του $A$. Χρησιμοποιώντας αυτές τις πληροφορίες και λίγες ακόμα πράξεις, επιλέξτε από τα παρακάτω μίαν αντίστοιχα καλή προσέγγιση της μέγιστης σε μέτρο ιδιοτιμής του.

[ ] 3.8927
[ ] 1.0244
[ ] 5.1116
[ ] 3.2740

A3 Υπολειπόμενος χρόνος: 57:19

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Έστω ότι εκτελούνται οι ακόλουθες εντολές Matlab:

\[\text{n} = 1:4; \quad \text{G} = \text{diag}(\text{n}) + \text{eye}(4);$$ $$\text{s1} = \text{sum}(\text{sum}(\text{G})); \quad \text{s2} = \text{sum}(\text{diag}(\text{G}));$$ $$\text{f} = (\text{s1} \sim= \text{s2});\]

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

[ ] Η μεταβλητή f θα περιέχει την τιμή 0 logical.
[ ] Η μεταβλητή f θα περιέχει την τιμή 1 logical.
[ ] Η μεταβλητή s1 θα περιέχει την τιμή 10.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

received_707143693341831.jpeg¶

Α4

ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ Η ΥΠΟΒΟΛΗ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ στην αντίστοιχη ΕΡΓΑΣΙΑ

1

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Ερ4 Στον αριθμητικό υπολογισμό του

\[ \int_{0}^{1} (e^{3x}) dx, \]

το καλύτερο άνω φράγμα στο σφάλμα της μεθόδου μέσου σημείου είναι

[ ] $ \frac{3e^3}{8} $
[ ] $ \frac{3}{4} $
[ ] $ \frac{3e^3}{4} $
[ ] $ \frac{e^3}{4} $

sdfsdf.jpg¶

Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης Προβολή Άσκησης

Α1 Υπολειπόμενος χρόνος: 4:55

1

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μονή Απάντηση)) — 10 βαθμοί

Ερ1 Αν το $y = 0.1094$ χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση του ακριβούς $x = 0.1090$. Επιλέξτε την τιμή που είναι πλησιέστερη στο σχετικό σφάλμα στο $y$.

[ ] 0.0031
[ ] 0.0041
[ ] 0.0028
[ ] 0.0034

Ακύρωση Υποβολή

unknown.png¶

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 10 βαθμοί)

Ερ2

Έστω η συνάρτηση $p(x) = (1.0000)x^3 + (-7.3523)x^2 + (18.1138)x + (-13.5230)$ Διαλέξτε α) το καλύτερο από τα παρακάτω διαστήματα για την εκτίμηση της μεθόδου διχοτόμησης, και β) το μητρώο μέσω του οποίου μπορείτε να βρείτε τις ρίζες του πολυωνύμου καλώντας την eig

[ ] $\begin{bmatrix} 0.0000 & 0.0000 & 13.5230 \\ 1.0000 & 0.0000 & -18.1138 \\ 0.0000 & 1.0000 & 7.3523 \end{bmatrix}$
[ ] $\begin{bmatrix} 0.0000 & -1.0000 & 0.0000 \\ 0.0000 & 0.0000 & -1.0000 \\ 7.3523 & -18.1138 & 13.5230 \end{bmatrix}$
[ ] $\begin{bmatrix} 0.0000 & 0.0000 & 13.5230 \\ -1.0000 & 0.0000 & -18.1138 \\ 0.0000 & -1.0000 & 7.3523 \end{bmatrix}$
[ ] $\begin{bmatrix} -0.0000 & 1.0000 & -0.0000 \\ -0.0000 & -0.0000 & 1.0000 \\ 7.3523 & -18.1138 & 13.5230 \end{bmatrix}$
[ ] $[-6.00, -4.00]$
[ ] $[-4.00, 1.00]$
[ ] $[-1.00, 1.00]$
[ ] $[-3.00, 0.00$

Ακύρωση Υποβολή

Λύσεις (🟡 community)

Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: φωτογραφίες/PDF λύσεων που ανέβασαν φοιτητές στο Discord (μεταγραφή με AI)

Λύσεις — Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης — Σεπτέμβριος 2020¶

119986283_1213461875697789_2528638488229179923_n.jpg¶

\[\int_{0}^{0.5} (4t^2 + t + 2) dt\]

Ανισότητα τεβεδου:

\[\left| \int_{0}^{0.5} f(t) dt - M(f) \right| \le \frac{f''(t)}{24} (0.5-0)^3\]

όπου $f(t) = 4t^2 + t + 2$

\[M(f) = f\left(\frac{0+0.5}{2}\right) (0.5-0) = 20 \cdot \frac{10}{16} = \frac{10}{8}\]

\[f'(t) = 8t + 1\]

\[f''(t) = 8\]

Άρα

\[\left| \int_{0}^{0.5} f(t) dt - \frac{10}{8} \right| \le \frac{8}{24} \cdot \frac{1}{8} \Rightarrow\]

\[\left| \int_{0}^{0.5} f(t) dt - \frac{10}{8} \right| \le \frac{1}{24}\]

Άρα το (δ)

20200922_165455.jpg¶

0.5 $$ \int_{0}^{0.5} (4t^2 + t + 2) \, dt $$ $$ f(0.5) = 4 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2 = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} $$ Ποιο το καλύτερο άνω φράγμα του σφάλματος της μεθόδου μέσου σημείου;

\[ T(f) = \left( \frac{0.5 - 0}{2} \right) \cdot (f(0) + f(0.5)) = \frac{1}{4} \cdot \left( 2 + \frac{7}{2} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{11}{2} = \frac{11}{8} \]

\[ \left| \int_{0}^{0.5} f(x) dx - T(f) \right| \le \frac{K}{12} (x_1 - x_0)^3 $$ $$ \le \frac{K}{12} (x_1 - x_0)^3 + T(f) $$ $$ \le \frac{K}{12} \cdot \frac{1}{8} + \frac{11}{8} , K=8 $$ $$ \le \frac{1}{12} + \frac{11}{8} $$ $$ \le \frac{8}{96} + \frac{132}{96} = \frac{140}{96} \]

6eb425308ca87770.jpg¶

\[(0,1) , (1,-1) , (2,4)\]

\[ \begin{array}{cc} x & y \\ 0 & 1 \\ 1 & -1 \quad > \quad \frac{-1-1}{1} = -2 \quad > \quad \frac{5+2}{2-0} = \frac{7}{2} = 3,5 \\ 2 & 4 \quad > \quad \frac{4+1}{1} = 5 \end{array} \]

\[f(x) = b_0 + b_1(x-x_0) + b_2(x-x_0)(x-x_1) =$$ $$= 1 + (-2)(x-0) + 3,5(x-0)(x-1) =$$ $$= 1 - 2x + 3,5x(x-1)\]

Άρα σωστή απάντηση η Β

REDMI NOTE 9 AI QUAD CAMERA

IMG_20200927_150806.jpg¶

Ερώτηση 1. Α μητρώο συντελεστών : $A = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Επέλεξε σωστή επιλογή

α] Η μέθοδος Gauss Seidel θα συγκλίνει καθώς το A είναι συμμετρικό και θετικά ορισμένο ^{που πολλά είναι αυτός} ^{είναι θετικά ορισμένο} ^{άρα Α.Δ.Κ}

× β] Η μέθοδος Jacobi θα συγκλίνει καθώς το A είναι μη-αναγώγιμα διαγώνια κυρίαρχο

Λάθος. είναι αναγωγίσιμο.

× γ] Η Gauss Seidel ΔΕΝ θα συγκλίνει καθώς το A δεν είναι αυστηρά διαγώνια κυρίαρχο. [Λάθος] Η Gauss Seidel συγκλίνει γιατί είναι αυστηρά διαγώνια κυρίαρχο ( $|4| > |-1|+|0|$ ) ( $|2| > |-1|+|0|$ ) ( $|1| > |0|+|0|$ )

δ] Κανένα από τα παραπάνω.

$A = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ ^Α1 ^Α2 Αναγωγίσιμο

Screenshot_2020-09-28_at_7.38.23_PM.png¶

δ) Ο ελάχιστος κανονικοποιημένος αριθμός αν διαιρεθεί με το 2 γίνεται υποκανονικοποιημένος και περιέχει στην ουρά την τιμή :10....0. Το μήκος της ουράς είναι 52, επομένως μετά από 55 διαιρέσεις με το 2, η ουρά θα περιέχει 0 και η τιμή του αριθμού θα είναι μηδέν.

received_366561941180857.jpeg¶

\[ \boxed{A_2} \]

\[ \begin{aligned} x_0 = -3 &\rightarrow \boxed{12} \\ x_1 = 1 &\rightarrow 0 \\ x_2 = 2 &\rightarrow -8 \\ x_3 = 3 &\rightarrow -30 \end{aligned} \quad \begin{aligned} &f(x_0, x_1) \\ &\frac{0 - 12}{1 - (-3)} = \boxed{-3} \\ &\frac{-8 - 0}{2 - 1} = -8 \\ &\frac{-30 - (-8)}{3 - 2} = -22 \end{aligned} \quad \begin{aligned} &f(x_0, x_1, x_2) \\ &\frac{-8 - (-3)}{2 - (-3)} = \boxed{-1} \\ &\frac{-22 - (-8)}{3 - 1} = -7 \end{aligned} \]

\[ f(x_0, x_1, x_2, x_3) \rightarrow \frac{-7 - (-1)}{3 - (-3)} = \boxed{-\frac{7}{6}} \]

Άρα, $ d = \left[ 12, -3, -1, -\frac{7}{6} \right]^T $

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & x & 0 \\ 1 & 6 & 12 & 12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 12 \\ -3 \\ -1 \\ -\frac{7}{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 0 \\ -8 \\ -30 \end{bmatrix} \]

\[ \Rightarrow 1 \cdot 12 + 5(-3) - x = -8 \Rightarrow \boxed{x = 5} \]

Από τις πράξεις της υπόλοιπης γεωμάρ 20 αποτέλεσμα.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή