Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Σεπτέμβριος 2026¶
Μεταγραφή της φωτογραφίας PXL_20260828_161312422.jpg.
PXL_20260828_161312422.jpg¶
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΡΧΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Σεπτέμβριος 2026
1) (2.0) Υπάρχουν τρία κουτιά. Το \(A\) περιέχει 4 κόκκινες και 2 μαύρες μπάλες, το \(B\) περιέχει 3 κόκκινες και 3 μαύρες μπάλες και το \(C\) περιέχει 2 κόκκινες και 4 μαύρες μπάλες. Επιλέγουμε τυχαία ένα κουτί με πιθανότητες \(P(A) = \frac{1}{2}\), \(P(B) = \frac{1}{3}\), \(P(C) = \frac{1}{6}\). Από το κουτί που επιλέχθηκε αφαιρούμε δύο μπάλες χωρίς επανατοποθέτηση και διαπιστώνουμε ότι οι δύο μπάλες έχουν το ίδιο χρώμα. Ποια είναι η πιθανότητα να είχε επιλεγεί το κουτί \(A\);
2) (1.5) Ένα σύστημα μεταδίδει διαδοχικά πακέτα. Κάθε μετάδοση είναι ανεξάρτητη και επιτυγχάνει με πιθανότητα 0.7. Η διαδικασία σταματά είτε όταν πραγματοποιηθούν δύο επιτυχείς μεταδόσεις είτε όταν γίνουν συνολικά τρεις προσπάθειες, όποιο συμβεί πρώτο. Να υπολογιστεί η αναμενόμενη τιμή επιτυχών μεταδόσεων μέχρι να σταματήσει η διαδικασία.
3) (1.5) Ο μέσος χρόνος ζωής κάθε μιας από 8 ανεξάρτητες συσκευές είναι 5 έτη. Ποια είναι η πιθανότητα, μετά από 4 έτη, το πολύ 2 από τις συσκευές να εξακολουθούν να λειτουργούν;
4) (2.0) Ο χρόνος εξυπηρέτησης ενός πελάτη σε ένα κέντρο εξυπηρέτησης έχει μέση τιμή 12 λεπτά και τυπική απόκλιση 4 λεπτά. Η ακριβής κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης δεν είναι γνωστή. Θεωρούμε ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης διαφορετικών πελατών είναι ανεξάρτητοι. Να βρεθεί προσεγγιστικά η πιθανότητα ο συνολικός χρόνος εξυπηρέτησης 100 πελατών να βρίσκεται μεταξύ 1140 και 1280 λεπτών.
5) (1.5) Έστω \(X_1, X_2, \dots, X_n\) τυχαίο δείγμα από κατανομή άγνωστης μέσης τιμής \(\mu\) και θεωρούμε την εκτιμήτρια $\(T = a(X_1 + X_2) + \frac{1}{3n} \sum_{i=1}^n X_i\)$ όπου \(a\) είναι πραγματική σταθερά. Τι θα πρέπει να ισχύει έτσι ώστε η \(T\) να είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της \(\mu\);
6) (2.0) Ο χρόνος αναμονής των πελατών σε ένα κέντρο εξυπηρέτησης θεωρείται ότι ακολουθεί κανονική κατανομή με διασπορά 4 λεπτά\(^2\). Ο υπεύθυνος του κέντρου ισχυρίζεται ότι ο μέσος χρόνος αναμονής είναι ίσος με 10 λεπτά. Για να ελεγχθεί ο ισχυρισμός αυτός, λαμβάνεται τυχαίο δείγμα 25 πελατών, για το οποίο ο μέσος χρόνος αναμονής είναι 10.8 λεπτά. Αποτελούν τα δεδομένα αυτά επαρκή ένδειξη για την απόρριψη του ισχυρισμού του υπευθύνου; α) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. β) Σε επίπεδο σημαντικότητας 1%. γ) Ποια είναι η p-value του ελέγχου;
Δίνονται: \(z_{0.025} = 1.96\), \(z_{0.005} = 2.57\), \(\Phi(2) = 0.9772\)
Καλή Επιτυχία!
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες σημειώσεις φοιτητή.
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2026-09¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
P(ίδιο χρώμα) ανά κουτί (15 ζεύγη από 6 μπάλες): Α: \(\frac{\binom42+\binom22}{15}=\frac7{15}\), Β: \(\frac{3+3}{15}=\frac6{15}\), Γ: \(\frac{1+6}{15}=\frac7{15}\). $\(P(A\mid\text{ίδιο})=\frac{\frac12\cdot\frac7{15}}{\frac12\cdot\frac7{15}+\frac13\cdot\frac6{15}+\frac16\cdot\frac7{15}}=\frac{21/90}{(21+12+7)/90}=\mathbf{\frac{21}{40}=0.525}.\)$
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Η διαδικασία σταματά με 2 επιτυχίες ή σε 3 προσπάθειες. Έστω \(X\) = επιτυχίες: - \(X=2\): ΕΕ (\(0.49\)) ή ΕΑΕ, ΑΕΕ (\(2\cdot0.147=0.294\)) ⇒ \(0.784\). - \(X=1\): ΕΑΑ, ΑΕΑ, ΑΑΕ ⇒ \(3\cdot0.7\cdot0.09=0.189\). - \(X=0\): ΑΑΑ ⇒ \(0.027\). \(E[X]=2\cdot0.784+0.189=\mathbf{1.757}\).
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Υπόθεση (δεν δίνεται ρητά): εκθετικός χρόνος ζωής με μέση τιμή 5 έτη. Πιθανότητα να λειτουργεί μετά από 4 έτη: \(r=e^{-4/5}\approx0.4493\). \(Y\sim\mathrm{Bin}(8,r)\): $\(P(Y\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom8kr^k(1-r)^{8-k}\approx\mathbf{0.221}.\)$
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Άθροισμα 100 ανεξάρτητων: \(E=1200\), \(\sigma=4\sqrt{100}=40\). ΚΟΘ: \(P(1140\le S\le1280)\approx\Phi(2)-\Phi(-1.5)=0.9772-0.0668=\mathbf{0.910}\) (το \(\Phi(1.5)=0.9332\) δεν δίνεται στην εκφώνηση).
Θέμα 5¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(E[T]=2a\mu+\frac1{3n}\cdot n\mu=\left(2a+\frac13\right)\mu\). Αμεροληψία: \(2a+\frac13=1\Rightarrow\mathbf{a=\dfrac13}\).
Θέμα 6¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(H_0:\mu=10\), \(\sigma=2\), \(n=25\): \(z=\dfrac{10.8-10}{2/5}=2\). α) 5%: \(|z|=2>z_{0.025}=1.96\) ⇒ απορρίπτουμε. β) 1%: \(|z|=2<z_{0.005}=2.57\) ⇒ δεν απορρίπτουμε. γ) \(p=2[1-\Phi(2)]=2(1-0.9772)=\mathbf{0.0456}\) (συμφωνεί: \(<0.05\), \(>0.01\)).