Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Φεβρουάριος 2026 (σελίδα 5)¶
Μεταγραφή της φωτογραφίας PXL_20260206_083747415.jpg.
PXL_20260206_083747415.jpg¶
Σελίδα 5.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΡΧΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Φεβρουάριος 2026
-
(1.5) Το 60% των μαθητών ενός σχολείου έχουν κινητό τηλέφωνο. Από αυτούς που έχουν κινητό τηλέφωνο το 45% έχουν φορητό υπολογιστή, ενώ από εκείνους που δεν έχουν κινητό τηλέφωνο το 40% έχουν φορητό υπολογιστή. Είναι η κατοχή κινητού τηλεφώνου στατιστικώς ανεξάρτητη από την κατοχή φορητού υπολογιστή;
-
(2.0) Ένας τοξότης σημαδεύει τον στόχο και έστω ότι η απόκλιση (σε εκατοστά) των βολών του από το κέντρο του στόχου είναι μια τ.μ. με πυκνότητα πιθανότητας: $\(f(x)=2xe^{-x^2}, x>0\)$ Κάθε βολή θεωρείται ότι «πετυχαίνει τον στόχο» εάν η απόκλισή της από το κέντρο του δεν είναι μεγαλύτερη από 0.4 εκατοστά α) πόση είναι η πιθανότητα να χρειαστούν 4 βολές μέχρι να πετύχει τον στόχο β) στην συνέχεια (δηλαδή μετά από αυτές τις 4 βολές), πόσες κατά μέσο όρο βολές θα χρειαστούν ακόμη μέχρι να πετύχει άλλες 2 φορές τον στόχο;
-
(1.5) Ένα εμβόλιο για την γρίπη είναι αποτελεσματικό στο 90% των ατόμων που το κάνουν. Αν υποθέσουμε ότι το έκαναν 300 άτομα, ποια η πιθανότητα να μην προσβληθούν από την ασθένεια περισσότερα από 270 άτομα; α) δώστε τον ακριβή τύπο β) δώστε προσέγγιση.
-
(2.0) Ο μέσος αριθμός τυπογραφικών λαθών ανά σελίδα στο προσχέδιο ενός βιβλίου 300 σελίδων είναι 3 λάθη. Ποια είναι, προσεγγιστικά, η πιθανότητα να υπάρχουν το πολύ 850 λάθη στο βιβλίο;
-
(2.0) Οι αξιολογήσεις (στην κλίμακα 0 έως 10) μιας συγκεκριμένης ταινίας στο σινεμά αναμένεται να ακολουθούν κανονική κατανομή με διασπορά 4. Για να εκτιμήσουμε την άγνωστη μέση τιμή \(\mu\) των αξιολογήσεων διαλέγουμε τυχαία κάποιους θεατές μετά την προβολή και βλέπουμε ότι οι αξιολογήσεις τους είναι: 10, 7, 4, 5, 6, 6, 3, 7, 9 α) Να βρεθεί 99% διάστημα εμπιστοσύνης για την \(\mu\). β) Πόσους θεατές, κατ' ελάχιστον, θα έπρεπε να ρωτήσουμε ώστε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης να έχει εύρος το πολύ 1,5; Δίνεται ότι \(z_{0,005}=2,576\), \(z_{0,01}=2,33\), \(z_{0,025}=1,96\), \(z_{0,05}=1,645\).
-
(2.0) Θεωρείται ότι η συγκέντρωση ενός ρύπου στην ατμόσφαιρα μιας πόλης ακολουθεί κανονική κατανομή με διασπορά 25. Θέλοντας να ελέγξουν την (μηδενική) υπόθεση ότι η μέση συγκέντρωση του ρύπου είναι 105 μονάδες, οι ερευνητές ενός εργαστηρίου έλαβαν τις εξής μετρήσεις: 92, 103, 101, 92, 103, 93, 103, 109, 104 α) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5% θα έπρεπε να απορρίψουν την μηδενική υπόθεση; β) Να υπολογιστεί η p-value.
Δίνεται ότι: \(z_{0.05}=1.645\), \(z_{0.025}=1.96\), \(z_{0.005}=2.576\), \(\Phi(3)=0.99865\), \(\Phi(2)=0.97725\), \(\Phi(1)=0.84134\).
(οι βαθμοί αθροίζουν σε 11 μονάδες)
Καλή επιτυχία!
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες σημειώσεις φοιτητή.
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2026-02¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(K\) = κινητό, \(L\) = laptop. \(P(L)=0.6\cdot0.45+0.4\cdot0.4=0.43\), \(P(K\cap L)=0.27\). \(P(K)P(L)=0.258\ne0.27\) (ισοδύναμα \(P(L\mid K)=0.45\ne P(L)=0.43\)). Δεν είναι ανεξάρτητα.
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(p=P(X\le0.4)=\int_0^{0.4}2xe^{-x^2}dx=1-e^{-0.16}\approx0.1479\). α) Γεωμετρική: \(P(\text{4 βολές μέχρι την 1η επιτυχία})=(1-p)^3p=e^{-0.48}(1-e^{-0.16})\approx\mathbf{0.0915}\). β) Οι βολές μέχρι 2 επιτυχίες είναι αρνητική διωνυμική με μέση τιμή \(2/p=\mathbf{13.53}\) βολές (οι προηγούμενες βολές δεν επηρεάζουν, ανεξαρτησία).
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Έστω \(Y\) = αριθμός ατόμων που δεν προσβλήθηκαν, \(Y\sim\mathrm{Bin}(300,0.9)\) (ερμηνεία: «το εμβόλιο αποτελεσματικό» = δεν προσβάλλεται). Ζητείται «περισσότερα από 270 να μην προσβληθούν»: \(P(Y>270)\). α) Ακριβής τύπος: \(P(Y\ge271)=\sum_{k=271}^{300}\binom{300}{k}0.9^k0.1^{300-k}\approx0.4719\). β) \(\mu=270\), \(\sigma^2=27\), \(\sigma=5.196\). Με διόρθωση συνέχειας: \(1-\Phi\!\left(\frac{270.5-270}{5.196}\right)=1-\Phi(0.096)\approx\mathbf{0.46}\). (Αν ζητείται η αντίθετη ανάγνωση, δηλ. \(P(Y\le270)\), η απάντηση είναι το συμπλήρωμα \(\approx0.54\).)
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Υπόθεση: τα λάθη κάθε σελίδας είναι ανεξάρτητα με μέση τιμή 3 και (Poisson) διασπορά 3. Σύνολο \(S\) 300 σελίδων: \(E[S]=900\), \(\mathrm{Var}(S)=900\), \(\sigma=30\). ΚΟΘ: \(P(S\le850)\approx\Phi\!\left(\frac{850.5-900}{30}\right)=\Phi(-1.65)\approx\mathbf{0.0495}\). (Χωρίς διόρθωση: \(\Phi(-1.667)\approx0.048\).) Η διασπορά = μέση τιμή προκύπτει από την παραδοχή Poisson, που δεν δίνεται ρητά.
Θέμα 5¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(\sigma=2\), \(n=9\), \(\bar x=57/9=6.333\). α) 99% ΔΕ: \(\bar x\pm z_{0.005}\frac{\sigma}{\sqrt n}=6.333\pm2.576\cdot\frac23=6.333\pm1.717\) ⇒ \([4.62,\ 8.05]\). β) \(2\cdot1.96\cdot\frac{2}{\sqrt n}\le1.5\Rightarrow\sqrt n\ge5.227\Rightarrow n\ge27.3\) ⇒ \(n=28\) θεατές.
Θέμα 6¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(\sigma=5\), \(n=9\), \(\sum x_i=900\), \(\bar x=100\), \(z=\dfrac{100-105}{5/3}=-3\). α) Αμφίπλευρος έλεγχος: \(|z|=3>1.96\) ⇒ απόρριψη της \(H_0\) (5%). β) \(p=2[1-\Phi(3)]=2(0.00135)=\mathbf{0.0027}\).