Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Τελική εξέταση χειμερινού εξαμήνου 2024-2025¶

Μεταγραφή της φωτογραφίας 20250203_091506.jpg.

20250203_091506.jpg¶

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΡΧΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Τελική Εξέταση Χειμερινού Εξαμήνου 2024-2025

Άσκηση 1 (2 μονάδες). Το κουτί Α περιέχει 2 λευκές μπάλες και 1 μαύρη μπάλα, ενώ το κουτί Β περιέχει 1 λευκή μπάλα και 5 μαύρες μπάλες. Αρχικά, αφαιρούμε τυχαία μία μπάλα από το κουτί Α και την μεταφέρουμε στο κουτί Β. Έπειτα, αφαιρούμε τυχαία μία μπάλα από το κουτί Β, η οποία τυχαίνει να είναι λευκή. Ποια η πιθανότητα να ήταν λευκή η μπάλα που μεταφέρθηκε από το Α στο Β;

Άσκηση 2 (2 μονάδες). Ρίχνουμε ένα τίμιο τετράπλευρο ζάρι, με πλευρές 1,2,3 και 4. 1. Να βρεθούν η μέση τιμή και η διασπορά του αποτελέσματος μιας ρίψης. 2. Αν ρίξουμε το ζάρι 100 φορές, να βρεθεί κάτω φράγμα για την πιθανότητα "το άθροισμα των αποτελεσμάτων των 100 ρίψεων να είναι από 230 έως και 270". 3. Να βρεθεί προσεγγιστικά η πιθανότητα του ερωτήματος 2. (Οι τιμές $\Phi(z)$ θεωρούνται γνωστές)

Άσκηση 3 (2 μονάδες). Το σκορ IQ ενός τυχαία επιλεγμένου ατόμου θεωρείται ότι ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 100 και διασπορά 225. Ποια η πιθανότητα σε μία ομάδα 8 ατόμων το πολύ 2 άτομα να έχουν σκορ τουλάχιστον 125;

Δίνονται: $\Phi(1.32) \approx 0.91$, $\Phi(1.67) \approx 0.95$, $\Phi(1.92) \approx 0.97$

Άσκηση 4 (1.5 μονάδες). Η μετρούμενη συγκέντρωση μιας τοξικής ουσίας στο νερό θεωρείται ότι ακολουθεί κανονική κατανομή με διασπορά 0.0064. Αν πρόσφατες ανεξάρτητες μεταξύ τους μετρήσεις έδειξαν τις ακόλουθες τιμές συγκέντρωσης:

\[11.2 \quad 12.4 \quad 10.8 \quad 11.6 \quad 12.5 \quad 10.1 \quad 11.0 \quad 12.2 \quad 12.4\]

να βρεθεί 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση συγκέντρωση της τοξικής ουσίας.

Δίνονται: $z_{0.05} = 1.645$, $z_{0.025} = 1.96$, $z_{0.005} = 2.576$

Άσκηση 5 (2 μονάδες). Έχουμε 3 νομίσματα τα οποία έχουν πιθανότητα να έρθει κεφαλή $p_1$, $p_2$ και $p_3$ αντίστοιχα. Επιλέγουμε τυχαία ένα νόμισμα και το ρίχνουμε συνέχεια. Ποια η πιθανότητα να φέρουμε πρώτη φορά κεφαλή στην 5η ρίψη;

Άσκηση 6 (1.5 μονάδες). Θέλοντας να ελέγξουμε την (μηδενική) υπόθεση ότι το μέσο σκορ IQ των μαθητών ενός σχολείου είναι 105 παρατηρούμε τα εξής σκορ σε τυχαία επιλεγμένους μαθητές:

\[93 \quad 102 \quad 103 \quad 90 \quad 101 \quad 95 \quad 106 \quad 108 \quad 102\]

Υποθέτουμε ότι το σκορ IQ ακολουθεί κανονική κατανομή με διασπορά 25. 1. Είναι σωστό να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση για επίπεδο σημαντικότητας 5%; 2. Να υπολογίσετε την p-value και με τη χρήση της να αιτιολογήσετε την απάντηση σας στο ερώτημα 1.

Δίνονται: $z_{0.05} = 1.645$, $z_{0.025} = 1.96$, $z_{0.005} = 2.576$, $\Phi(3) = 0.99865$, $\Phi(2) = 0.97725$, $\Phi(1) = 0.84134$

Καλή Επιτυχία !

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2025-02¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.