Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Δεκέμβριος 2024 — Ομάδα Β (δεύτερο δελτίο)

Μεταγραφή της φωτογραφίας IMG-da8ceb56cbe08b6c14e1ba5c80ccf560-V.jpg.

IMG-da8ceb56cbe08b6c14e1ba5c80ccf560-V.jpg

Ομάδα Β

1. (1.5) Για γεγονότα Α και Β δίνεται ότι το Α συμβαίνει με πιθανότητα 0.7, ενώ η πιθανότητα να συμβεί μόνο το Α είναι 0.25 και η πιθανότητα να συμβεί μόνο το Β είναι 0.10. α) Πόση είναι η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα γεγονός; β) Είναι τα γεγονότα ανεξάρτητα;

2. (1.5) Ένα σύστημα τεχνητής νοημοσύνης εντοπίζει μια ασθένεια, σωστά ή λανθασμένα, με βάση αναπνευστικούς ήχους που συλλέγονται από ένα κινητό τηλέφωνο. Στην κλινική μελέτη, οι ήχοι που εισάγονται στο σύστημα προέρχονται από δύο διαφορετικούς τύπους κινητών: υψηλής ποιότητας και χαμηλής ποιότητας. Από στατιστικά στοιχεία γνωρίζουμε ότι το 35% των ήχων προέρχεται από υψηλής ποιότητας κινητά. Το σύστημα αυτό έχει πιθανότητα 0.95 να κάνει σωστή διάγνωση όταν ο ήχος προέρχεται από υψηλής ποιότητας κινητό, ενώ έχει 0.7 πιθανότητα σωστής διάγνωσης όταν ο ήχος προέρχεται από χαμηλής ποιότητας κινητό. Ποια είναι η πιθανότητα ένας συγκεκριμένος ήχος να προέρχεται από υψηλής ποιότητας κινητό, δεδομένου ότι το σύστημα έκανε σωστή διάγνωση για αυτόν τον ήχο;

3. (2.0) Σε ένα ερευνητικό εργαστήριο μελέτης της ποιότητας του αέρα σε εσωτερικούς χώρους, κάθε μέρα ελέγχεται μια συστοιχία 5 ασύρματων μικροαισθητήρων εντοπισμού \(CO_2\). Κάθε αισθητήρας έχει πιθανότητα 0.05 να είναι ελαττωματικός, ανεξάρτητα από τους άλλους. Η συστοιχία θεωρείται «αποτυχημένη» αν βρεθούν σε αυτήν τουλάχιστον 3 ελαττωματικοί αισθητήρες. Κάθε μέρα εξετάζεται μια νέα συστοιχία, και οι συστοιχίες αυτές θεωρούνται ανεξάρτητες. Ποια είναι η πιθανότητα να χρειαστούν περισσότερες από 8 ημέρες μέχρι να εμφανιστεί για πρώτη φορά μια αποτυχημένη συστοιχία;

4. (2.5) Σε έναν αυτοκινητόδρομο συμβαίνουν κατά μέση τιμή 2 ατυχήματα μηνιαίως. Πόση η πιθανότητα στο επόμενο έτος να υπάρξουν το πολύ 3 μήνες στους οποίους να συμβούν το πολύ 2 ατυχήματα στον καθένα; Θεωρούμε ότι οι αριθμοί των ατυχημάτων σε διαφορετικούς μήνες είναι ανεξάρτητοι.

5. (2.5) Ρίχνουμε ένα ζάρι 60 φορές. Ποια η πιθανότητα το άθροισμα των αποτελεσμάτων να είναι περισσότερο από 240;

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2024-12-c

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα 1

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

\(P(A\cap B')=0.25\Rightarrow P(A\cap B)=0.7-0.25=0.45\). \(P(B)=0.45+0.10=0.55\). α) \(P(A\cup B)=0.7+0.10=\mathbf{0.8}\). β) \(P(A)P(B)=0.385\ne0.45\) ⇒ δεν είναι ανεξάρτητα.

Θέμα 2

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

\(P(\text{σωστή})=0.35\cdot0.95+0.65\cdot0.7=0.3325+0.455=0.7875\). \(P(\text{υψηλής}\mid\text{σωστή})=\dfrac{0.3325}{0.7875}=\mathbf{0.4222}\) (\(=19/45\)).

Θέμα 3

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

\(p=P(\text{Bin}(5,0.05)\ge3)=10(0.05)^3(0.95)^2+5(0.05)^4(0.95)+(0.05)^5\approx0.001158\). Οι μέρες μέχρι την 1η αποτυχία είναι γεωμετρικές: \(P(N>8)=(1-p)^8\approx\mathbf{0.9908}\).

Θέμα 4

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Ανά μήνα Poisson(2): \(q=P(\le2)=e^{-2}(1+2+2)=5e^{-2}\approx0.6767\). Ο αριθμός των μηνών (από 12) με το πολύ 2 ατυχήματα \(Y\sim\mathrm{Bin}(12,q)\): $\(P(Y\le3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{12}{k}q^k(1-q)^{12-k}\approx\mathbf{0.0030}.\)$

Θέμα 5

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

\(E[S]=210\), \(\mathrm{Var}(S)=60\cdot\frac{35}{12}=175\), \(\sigma=13.23\). ΚΟΘ με διόρθωση συνέχειας: \(P(S>240)=P(S\ge241)\approx1-\Phi\!\left(\frac{240.5-210}{13.23}\right)=1-\Phi(2.31)\approx\mathbf{0.0106}\). (Χωρίς διόρθωση: \(1-\Phi(2.27)\approx0.0117\). Ακριβής τιμή με συνέλιξη: \(0.0104\).)

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

---

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή