Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Δεκέμβριος 2024 — Εξέταση Προόδου — Ομάδα Β¶
Μεταγραφή της φωτογραφίας IMG_5198.jpg.
IMG_5198.jpg¶
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΡΧΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εξέταση Προόδου 2024-2025 Ομάδα Β
Άσκηση 1 (2.5). Σε ένα γεύμα, το μενού 1 αρέσει στον Νίκο με πιθανότητα 0.6, το μενού 2 του αρέσει με πιθανότητα 0.5, ενώ η πιθανότητα να του αρέσουν και τα δύο είναι 0.4. α) Ποια η πιθανότητα να μην του άρεσε κανένα από τα δύο μενού; β) Ποια η πιθανότητα να του άρεσε τελικά το μενού 2, δεδομένου ότι δεν του άρεσε το μενού 1;
Άσκηση 2 (2.5). Για μία συγκεκριμένη σταθερά c, η τ.μ. \(X\) έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας:
Βρείτε: α) την αθροιστική συνάρτηση κατανομής \(F(x)\) β) μέσω της \(F\), την \(P\{1 < X < 2\}\) γ) την διασπορά της \(X\)
Άσκηση 3 (2.5). Η βαθμολογία σε ένα μάθημα (με άριστα το 100) είναι κανονικά κατανεμημένη με μέση τιμή 65 και διασπορά 25. Ποια η πιθανότητα μεταξύ 3 φοιτητών που εξετάζονται στο μάθημα να πάρουν 2 φοιτητές βαθμολογία μεγαλύτερη από 70;
Άσκηση 4 (2.5). Ρίχνουμε ένα ζάρι μέχρι να εμφανιστούν όλοι οι αριθμοί τουλάχιστον από μία φορά ο καθένας. Να βρεθεί ο μέσος αριθμός απαιτούμενων ρίψεων.
Καλή Επιτυχία !
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες σημειώσεις φοιτητή.
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2024-12-b¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
α) \(P(\text{κανένα})=1-(0.6+0.5-0.4)=\mathbf{0.3}\). β) \(P(M_2\mid M_1')=\dfrac{P(M_2)-P(M_1\cap M_2)}{P(M_1')}=\dfrac{0.5-0.4}{0.4}=\mathbf{0.25}\).
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Κανονικοποίηση: \(\int_0^2cx^4dx=\frac{32c}5=1\Rightarrow c=\frac5{32}\). α) \(F(x)=0\) για \(x\le0\), \(F(x)=\dfrac{x^5}{32}\) για \(0<x<2\), \(F(x)=1\) για \(x\ge2\). β) \(P(1<X<2)=F(2)-F(1)=1-\frac1{32}=\mathbf{\dfrac{31}{32}}\). γ) \(E[X]=\frac5{32}\cdot\frac{2^6}{6}=\frac53\), \(E[X^2]=\frac5{32}\cdot\frac{2^7}{7}=\frac{20}{7}\) ⇒ \(\mathrm{Var}(X)=\frac{20}{7}-\frac{25}{9}=\mathbf{\dfrac5{63}\approx0.0794}\).
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(\sigma=5\): \(p=P(X>70)=1-\Phi(1)\approx0.1587\). Αριθμός από 3 φοιτητές \(\sim\mathrm{Bin}(3,p)\): \(P(Y=2)=3p^2(1-p)\approx\mathbf{0.0635}\). (Ερμηνεία: «ακριβώς 2».)
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Συλλέκτης κουπονιών, \(n=6\): \(E=6\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16\right)=6\cdot2.45=\mathbf{14.7}\).