Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Δεκέμβριος 2024 — Εξέταση Προόδου — Ομάδα Α¶
Μεταγραφή της φωτογραφίας 20241206_091804.jpg.
20241206_091804.jpg¶
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΡΧΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εξέταση Προόδου 2024-2025 Ομάδα Α
Άσκηση 1 (2.5). Φεύγοντας για διακοπές ζητάτε από τον γείτονά σας να ποτίσει το φυτό σας. Αν μείνει χωρίς νερό, το φυτό μαραίνεται με πιθανότητα 0.8, ενώ αν ποτιστεί, μαραίνεται με πιθανότητα 0.15. Είστε 90% σίγουρος ότι ο γείτονάς σας θα ποτίσει το φυτό. α) Ποια η πιθανότητα όταν επιστρέψετε το φυτό να έχει επιβιώσει; β) Αν το βρείτε μαραμένο, ποια η πιθανότητα ο γείτονάς σας να μην το πότισε;
Άσκηση 2 (2.5). Σε μια κωμόπολη 620 κατοίκων να βρεθεί: α) ακριβώς β) προσεγγιστικά η πιθανότητα τουλάχιστον 3 κάτοικοι να έχουν γεννηθεί Πρωτοχρονιά. Υποθέτουμε έτη 365 ημερών.
Άσκηση 3 (2.5). Η διόρθωση ενός γραπτού απαιτεί χρόνο που είναι κανονικά κατανεμημένος με μέση τιμή 10 λεπτά και τυπική απόκλιση 3 λεπτά. Να βρεθεί προσεγγιστικά η πιθανότητα να χρειαστεί χρόνος τουλάχιστον 420 λεπτών για τη διόρθωση 40 γραπτών.
Άσκηση 4 (2.5). Δύο ασύρματοι αισθητήρες επιλέγουν τυχαία μία από δέκα συχνότητες ο καθένας. Να βρεθεί ο μέσος αριθμός των συχνοτήτων που επιλέγονται και από τους δύο αισθητήρες ταυτόχρονα.
Καλή Επιτυχία !
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2024-12-a¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(W\) = μαράθηκε, \(N\) = ποτίστηκε (\(P(N)=0.9\)). α) \(P(W)=0.9\cdot0.15+0.1\cdot0.8=0.215\) ⇒ επιβίωση \(=1-0.215=\mathbf{0.785}\). β) \(P(\text{δεν ποτίστηκε}\mid W)=\dfrac{0.1\cdot0.8}{0.215}=\mathbf{\dfrac{16}{43}\approx0.372}\).
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(X\sim\mathrm{Bin}(620,p=1/365)\). α) Ακριβώς: \(P(X\ge3)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{620}{k}p^k(1-p)^{620-k}\approx\mathbf{0.2423}\). β) Poisson με \(\lambda=620/365\approx1.6986\): \(P(X\ge3)=1-e^{-\lambda}\left(1+\lambda+\frac{\lambda^2}{2}\right)\approx\mathbf{0.2424}\).
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(S\) = συνολικός χρόνος 40 γραπτών: \(E[S]=400\), \(\sigma_S=3\sqrt{40}\approx18.97\) (ακριβώς κανονική, ως άθροισμα κανονικών). \(P(S\ge420)=1-\Phi\!\left(\frac{20}{18.97}\right)=1-\Phi(1.054)\approx\mathbf{0.146}\).
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Για κάθε συχνότητα \(j\): P(την επιλέγουν και οι δύο) \(=\frac1{10}\cdot\frac1{10}=\frac1{100}\). Με γραμμικότητα της μέσης τιμής (δείκτριες): \(E=10\cdot\frac1{100}=\mathbf{0.1}\).