Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Δεκέμβριος 2023 — Εξέταση Προόδου — Ομάδα Β¶
Μεταγραφή της φωτογραφίας IMG_20231215_131028.jpg.
IMG_20231215_131028.jpg¶
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΡΧΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εξέταση Προόδου 2023-2024 Ομάδα Β
Άσκηση 1 (1.5). Έστω \(A\) και \(B\) γεγονότα του ίδιου δειγματοχώρου. Αν \(P(A)=1/2\), \(P(B)=1/3\) και \(P(A \cup B)=3/4\), να υπολογιστεί η πιθανότητα \(P(A' \cap B)\).
Άσκηση 2 (1.5). Ένα ερευνητικό ινστιτούτο χρησιμοποιεί ένα μοντέλο πρόβλεψης μεγάλων σεισμών. Αν το μοντέλο προβλέπει έναν σεισμό τότε αυτός συμβαίνει σε ποσοστό 80%, ενώ προβλέπει λανθασμένα έναν σεισμό (που τελικά δεν συμβαίνει) σε ποσοστό 10%. Αν η πιθανότητα να συμβεί πραγματικά ένας μεγάλος σεισμός σε βάθος δεκαετίας έχει στατιστικά υπολογιστεί σε 20%, ποια η πιθανότητα μια πρόβλεψη για μεγάλο σεισμό να αποδειχθεί αληθής;
Άσκηση 3 (2.5). Ρίχνουμε ένα νόμισμα μέχρι να εμφανιστούν για πρώτη φορά γράμματα ή μέχρι να εμφανιστούν τέσσερις κεφαλές. Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός ρίψεων και η αντίστοιχη διασπορά;
Άσκηση 4 (2.0). Το 60% των κατοίκων μιας πόλης μένει στο κέντρο, ενώ οι υπόλοιποι μένουν στα προάστια. Εάν επιλέξουμε τυχαία 150 κατοίκους, ποια η πιθανότητα ο αριθμός των κατοίκων που διαμένουν στα προάστια να είναι μεταξύ 50 και 70; α) βρείτε τύπο που δίνει ακριβώς την πιθανότητα. β) υπολογίστε προσεγγιστικά την πιθανότητα του προηγούμενου ερωτήματος.
Άσκηση 5 (2.5). Έχει παρατηρηθεί ότι κατά τη δακτυλογράφηση κειμένων που περιέχουν μαθηματικούς τύπους σ' ένα συγκεκριμένο εκδοτικό οίκο, γίνονται κατά μέσο όρο 2 λάθη ανά σελίδα. Το παράρτημα ενός οικονομικού βιβλίου υπό έκδοση περιέχει δέκα σελίδες με μαθηματικούς τύπους. Να υπολογιστεί η πιθανότητα τουλάχιστον δύο σελίδες να έχουν 2 λάθη.
Καλή Επιτυχία !
Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις →
2023-12-b.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας):34FFA364-DB66-4A59-B009-5FF18C5B4681.jpg
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2023-12-b¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(P(A'\cap B)=P(A\cup B)-P(A)=\frac34-\frac12=\mathbf{\dfrac14}\).
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Έστω \(S\) = σεισμός, \(T\) = πρόβλεψη: \(P(T)=0.2\cdot0.8+0.8\cdot0.1=0.24\). \(P(S\mid T)=\dfrac{0.16}{0.24}=\mathbf{\dfrac23}\).
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(N\): \(P(N=1)=\frac12\) (Γ), \(P(N=2)=\frac14\) (ΚΓ), \(P(N=3)=\frac18\) (ΚΚΓ), \(P(N=4)=\frac1{16}+\frac1{16}=\frac18\) (ΚΚΚΓ ή ΚΚΚΚ). Άθροισμα 1. \(E[N]=\frac12+\frac12+\frac38+\frac12=\mathbf{1.875}\). \(E[N^2]=\frac12+1+\frac98+2=4.625\). \(\mathrm{Var}=4.625-1.875^2=\mathbf{\dfrac{71}{64}\approx1.109}\).
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(X\) = κάτοικοι προαστίων \(\sim\mathrm{Bin}(150,0.4)\), \(\mu=60\), \(\sigma=6\). α) \(P(50\le X\le70)=\sum_{k=50}^{70}\binom{150}{k}0.4^k0.6^{150-k}\approx0.9203\). β) Με διόρθωση συνέχειας: \(\Phi\!\left(\frac{70.5-60}{6}\right)-\Phi\!\left(\frac{49.5-60}{6}\right)=2\Phi(1.75)-1\approx\mathbf{0.920}\).
Θέμα 5¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Λάθη ανά σελίδα \(\sim\mathrm{Poisson}(2)\): \(p=P(\text{ακριβώς 2 λάθη})=2e^{-2}\approx0.2707\). Αριθμός σελίδων από 10 με ακριβώς 2 λάθη \(Y\sim\mathrm{Bin}(10,p)\): $\(P(Y\ge2)=1-(1-p)^{10}-10p(1-p)^9\approx\mathbf{0.799}.\)$ (Ερμηνεία: «2 λάθη» = ακριβώς 2.)