Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Δεκέμβριος 2023 — Εξέταση Προόδου — Ομάδα Α¶
Μεταγραφή της φωτογραφίας IMG_4456.jpg.
IMG_4456.jpg¶
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΡΧΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εξέταση Προόδου 2023-2024 Ομάδα Α
Άσκηση 1 (1.5). Έστω γεγονότα Α και Β με πιθανότητα εμφάνισης 0.6 και 0.5 αντίστοιχα. Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από αυτά είναι 0.9, να ελεγχθεί αν τα Α και Β είναι ανεξάρτητα.
Άσκηση 2 (1.5). Μία ζυθοποιία προμηθεύεται εξαρτήματα για την παραγωγή μπύρας από 3 κατασκευαστές, τους Α, Β και Γ, σε ποσοστό 60%, 20% και 20% αντίστοιχα. Το ποσοστό των ελαττωματικών εξαρτημάτων που δίνει ο κάθε κατασκευαστής είναι 1% για τον Α και από 2% για τους Β και Γ. Αν ένα εξάρτημα βρέθηκε ελαττωματικό, ποια η πιθανότητα να προέρχεται από τον κατασκευαστή Α;
Άσκηση 3 (2.5). Ρίχνουμε ένα νόμισμα μέχρι να εμφανιστεί κεφαλή ή να συμπληρωθούν τρεις ρίψεις. Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός ρίψεων και η αντίστοιχη διασπορά;
Άσκηση 4 (2.0). Αν για τον αριθμό των αυτοκινητιστικών ατυχημάτων που συμβαίνουν σε έναν τυχαία επιλεγμένο οδηγό σε ένα χρόνο ισχύει ότι η πιθανότητα να μην έχει κανένα ατύχημα είναι ίση με την πιθανότητα να έχει τουλάχιστον ένα ατύχημα, να υπολογιστεί η πιθανότητα την επόμενη χρονιά ο οδηγός να έχει δύο ακριβώς ατυχήματα.
Άσκηση 5 (2.5). Αν ρίξουμε ένα νόμισμα 200 φορές, να υπολογιστεί η πιθανότητα να έχουμε τουλάχιστον 10% περισσότερες κεφαλές από το αναμενόμενο. α) βρείτε τύπο που δίνει ακριβώς την πιθανότητα. β) υπολογίστε προσεγγιστικά την πιθανότητα του προηγούμενου ερωτήματος.
Καλή Επιτυχία !
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2023-12-a¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0.6+0.5-0.9=0.2\). Ενώ \(P(A)P(B)=0.3\ne0.2\). Τα Α, Β ΔΕΝ είναι ανεξάρτητα.
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(P(\text{ελ.})=0.6\cdot0.01+0.2\cdot0.02+0.2\cdot0.02=0.014\). Bayes: \(P(A\mid\text{ελ.})=\dfrac{0.006}{0.014}=\mathbf{\dfrac37\approx0.4286}\).
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(N\) = αριθμός ρίψεων: \(P(N=1)=\frac12\), \(P(N=2)=\frac14\), \(P(N=3)=\frac14\) (η 3η ρίψη γίνεται αν οι δύο πρώτες είναι γράμματα, και τότε σταματάμε ό,τι κι αν έρθει). \(E[N]=\frac12+\frac24+\frac34=\mathbf{1.75}\). \(E[N^2]=\frac12+1+\frac94=3.75\). \(\mathrm{Var}(N)=3.75-1.75^2=\mathbf{\dfrac{11}{16}=0.6875}\).
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Poisson(\(\lambda\)): \(P(0)=P(\ge1)\Rightarrow e^{-\lambda}=\frac12\Rightarrow\lambda=\ln2\). Τότε $\(P(2)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^2}{2}=\frac{(\ln2)^2}{4}\approx\mathbf{0.1201}.\)$
Θέμα 5¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
\(X\sim\mathrm{Bin}(200,0.5)\), αναμενόμενο 100. «Τουλάχιστον 10% περισσότερες» ⇒ \(X\ge110\). α) \(P(X\ge110)=\sum_{k=110}^{200}\binom{200}{k}2^{-200}\approx0.0895\). β) \(\sigma=\sqrt{50}=7.071\): \(P\approx1-\Phi\!\left(\frac{109.5-100}{7.071}\right)=1-\Phi(1.34)\approx\mathbf{0.090}\).