Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Σεπτέμβριος 2023¶
Μεταγραφή της φωτογραφίας IMG_20230913_205928.jpg (6 ασκήσεις).
IMG_20230913_205928.jpg¶
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΡΧΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Σεπτέμβριος 2023
Άσκηση 1 (1.0). Έστω \(X\) μια συνεχής τ.μ. που είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο \([0,10]\). α) Να υπολογίσετε ακριβώς την \(P\{1 < X < 9\}\). β) Να δώσετε ένα κάτω φράγμα για την παραπάνω πιθανότητα χρησιμοποιώντας την ισχυρότερη ανισότητα που έχετε διδαχθεί.
Άσκηση 2 (1.5). Υποθέτουμε ότι ο πληθυσμός κάποιας πόλης αποτελείται κατά 40% από άνδρες και κατά 60% από γυναίκες. Υποθέτουμε επίσης ότι 50% του αρσενικού πληθυσμού και 30% του θηλυκού πληθυσμού είναι καπνιστές. Να βρεθεί η πιθανότητα ένας καπνιστής να είναι φύλου αρσενικού.
Άσκηση 3 (2.5). Το κόστος εκτέλεσης ενός μεγάλου πειράματος είναι 100.000€. Εάν το πείραμα αποτύχει, ένα επιπλέον κόστος 30.000€ επιβαρύνει την επόμενη εκτέλεση του πειράματος (δηλαδή το κόστος γίνεται 130.000€). Εάν το πείραμα εκτελείται μέχρι να επιτύχει και εάν η κάθε εκτέλεση έχει σταθερή πιθανότητα επιτυχίας 0.4, ποιο το αναμενόμενο κόστος της συνολικής διαδικασίας αν υπάρχει στατιστική ανεξαρτησία μεταξύ των εκτελέσεων του πειράματος;
Άσκηση 4 (2.0). Η μετακίνηση των φοιτητών από την Αθήνα για τα Χανιά γίνεται είτε με πλοίο είτε με αεροπλάνο. Το 40% των φοιτητών χρησιμοποιούν για την μετακίνησή τους αεροπλάνο. Εάν επιλέξουμε 150 φοιτητές που μετακινούνται από την Αθήνα για τα Χανιά: α) βρείτε τύπο που δίνει ακριβώς την πιθανότητα περισσότεροι από 70 από αυτούς να χρησιμοποιούν για την μετακίνησή τους αεροπλάνο. β) υπολογίστε προσεγγιστικά την πιθανότητα του προηγούμενου ερωτήματος.
Άσκηση 5 (2.0). Για να προσδιοριστεί η μέση ποσότητα, \(\mu\), μιας ουσίας σε ένα νέο προϊόν δειγματοληπτούνται τυχαία 36 προϊόντα. α) Αν η μέση ποσότητα της ουσίας σε αυτό το δείγμα είναι 1.74g, να βρεθεί το 90% διάστημα εμπιστοσύνης για την \(\mu\). β) Πόσο μεγάλο δείγμα πρέπει να πάρουμε για να είμαστε 95% βέβαιοι ότι το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης θα είναι το πολύ 0.2g; Υποθέτουμε ότι η κατανομή της ποσότητας της ουσίας στο προϊόν είναι κανονική με διασπορά \(0.49\text{g}^2\). Χρησιμοποιήστε κάποια από τα: \(z_{0.05} = 1.645\), \(z_{0.025} = 1.96\), \(z_{0.005} = 2.576\)
Άσκηση 6 (2.0). Να βρεθεί η εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας της παραμέτρου \(\theta\) της κατανομής της τ.μ. \(X\), που έχει πυκνότητα πιθανότητας \(f(x) = \left(\frac{1}{\theta}\right) x^{\frac{1-\theta}{\theta}}\), \(0 < x < 1\), \(\theta > 0\).
Καλή Επιτυχία !
Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις →
2023-09.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας):IMG_6998.jpg,ask6.PNG,Capture.PNG
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2023-09¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
α) \(X\sim U[0,10]\): \(P(1<X<9)=\frac{8}{10}=\mathbf{0.8}\).
β) Chebyshev (\(\mu=5\), \(\sigma^2=100/12=25/3\)): \(P(1<X<9)=P(|X-5|<4)\ge1-\dfrac{25/3}{16}=\mathbf{\dfrac{23}{48}\approx0.479}\). (Η Markov δίνει ασθενέστερο φράγμα.)
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Bayes: \(P(\text{άνδρας}\mid\text{καπνιστής})=\dfrac{0.4\cdot0.5}{0.4\cdot0.5+0.6\cdot0.3}=\dfrac{0.20}{0.38}=\mathbf{\dfrac{10}{19}\approx0.526}\).
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε) · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Έστω \(N\) ο αριθμός των εκτελέσεων του πειράματος μέχρι την πρώτη επιτυχία. Επειδή οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες με σταθερή πιθανότητα επιτυχίας \(p = 0.4\), η τυχαία μεταβλητή \(N\) ακολουθεί γεωμετρική κατανομή με παράμετρο \(p = 0.4\): $\(P(N = k) = (1 - p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \dots\)$
Οι ροπές της \(N\) είναι: $\(E[N] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.4} = 2.5\)$ $\(\operatorname{Var}(N) = \frac{1 - p}{p^2} = \frac{0.6}{0.16} = 3.75\)$ $\(E[N^2] = \operatorname{Var}(N) + (E[N])^2 = 3.75 + 2.5^2 = 3.75 + 6.25 = 10\)$
Το κόστος της \(j\)-οστής εκτέλεσης είναι: $\(c_j = 100.000 + (j - 1) \cdot 30.000\)$
Εάν χρειαστούν \(N\) εκτελέσεις, το συνολικό κόστος \(C\) είναι: $\(C = \sum_{j=1}^{N} c_j = \sum_{j=1}^{N} [100.000 + 30.000(j - 1)] = 100.000 N + 30.000 \sum_{j=1}^{N}(j-1)\)$ Επειδή \(\sum_{j=1}^{N}(j-1) = \frac{(N-1)N}{2} = \frac{N^2 - N}{2}\), έχουμε: $\(C = 100.000 N + 15.000(N^2 - N) = 85.000 N + 15.000 N^2\)$
Παίρνοντας τη μέση τιμή του συνολικού κόστους: $\(E[C] = 85.000 \, E[N] + 15.000 \, E[N^2]\)$ $\(E[C] = 85.000 \cdot 2.5 + 15.000 \cdot 10 = 212.500 + 150.000 = 362.500\text{ €}\)$
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(X\sim\mathrm{Bin}(150,0.4)\).
α) Ακριβώς: \(P(X>70)=\sum_{k=71}^{150}\binom{150}{k}0.4^k0.6^{150-k}\approx0.0409\).
β) \(\mu=60\), \(\sigma^2=36\). Με διόρθωση συνέχειας: \(P(X\ge71)\approx1-\Phi\!\left(\frac{70.5-60}{6}\right)=1-\Phi(1.75)\approx\mathbf{0.040}\).
Θέμα 5¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(\sigma=0.7\), \(n=36\), \(\sigma/\sqrt n=0.7/6\).
α) 90% ΔΕ: \(\bar x\pm z_{0.05}\sigma/\sqrt n=1.74\pm1.645\cdot\frac{0.7}{6}=1.74\pm0.192\) ⇒ \([1.548,\ 1.932]\) g.
β) Εύρος \(=2z_{0.025}\sigma/\sqrt n\le0.2\) ⇒ \(n\ge\left(\frac{2\cdot1.96\cdot0.7}{0.2}\right)^2=188.24\) ⇒ \(n=189\).
Θέμα 6¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Πυκνότητα \(f(x)=\frac1\theta x^{(1-\theta)/\theta}\). Πιθανοφάνεια: \(\ln L=-n\ln\theta+\left(\frac1\theta-1\right)\sum\ln x_i\). Θέτω \(S=\sum\ln x_i<0\). \(\dfrac{d\ln L}{d\theta}=-\dfrac n\theta-\dfrac{S}{\theta^2}=0\Rightarrow\theta=-\dfrac Sn\). Η δεύτερη παράγωγος στο σημείο αυτό είναι \(-n/\theta^2<0\) (μέγιστο). $\(\boxed{\hat\theta=-\frac1n\sum_{i=1}^n\ln X_i}\)$