Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Φεβρουάριος 2023¶
Μεταγραφή της φωτογραφίας 2023.jpg (το πλήρες δελτίο).
2023.jpg¶
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής¶
Εξέταση Φεβρουαρίου 2023
1. (1.5) Το κουτί Ι περιέχει 3 κόκκινες και 2 μπλε σφαίρες, ενώ το κουτί ΙΙ περιέχει 2 κόκκινες και 8 μπλε σφαίρες. Ρίχνουμε ένα νόμισμα και αν έρθει αποτέλεσμα «Κεφαλή» βγάζουμε μια τυχαία σφαίρα από το πρώτο κουτί, αλλιώς βγάζουμε μια τυχαία σφαίρα από το δεύτερο κουτί.
α) Πόση είναι η πιθανότητα η μπάλα που βγάλαμε να είναι μπλε;
β) Αν η μπάλα που βγάλαμε είναι κόκκινη, πόση είναι η πιθανότητα να την βγάλαμε από το κουτί Ι;
2. (2.0) Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (pdf):
Να βρεθούν α) η σταθερά c β) η \(E(X^2)\) γ) η \(E[(X-1)^2]\) δ) η διασπορά της Χ.
3. (1.5) Η πιθανότητα μιας παρενέργειας σε ένα φάρμακο είναι 0,001. Να υπολογίσετε την πιθανότητα, μεταξύ 2.000 ασθενών που λαμβάνουν το φάρμακο, να εμφανίσουν την παρενέργεια περισσότεροι από 2 ασθενείς α) ακριβώς β) προσεγγιστικά μέσω της κατανομής Poisson.
4. (2.0) Ρίχνουμε ένα ζάρι 120 φορές. Πόση η πιθανότητα να έρθει αποτέλεσμα 4 τουλάχιστον 15 και το πολύ 23 φορές α) ακριβώς β) προσεγγιστικά;
Δίνεται ότι \(\Phi(-2{,}3) \approx 0{,}01, \Phi(0{,}85) \approx 0{,}80, \Phi(1{,}16) \approx 0{,}87, \Phi(-1.34) \approx 0{,}09\)
5. (2.0) Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (pdf):
Έστω τυχαίο δείγμα \(X_1, X_2, \dots, X_n\) από πληθυσμό που ακολουθεί αυτήν την κατανομή.
α) Να εκτιμηθεί η παράμετρος k με τη μέθοδο των ροπών. Να εξηγηθεί το σκεπτικό αυτής της μεθόδου. β) Να βρεθεί εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας για την παράμετρο k. Να εξηγηθεί το σκεπτικό της μεθόδου μέγιστης πιθανοφάνειας.
6. (2.0) Θεωρούμε ότι οι βαθμοί της τελικής εξέτασης ενός μαθήματος ακολουθούν κανονική κατανομή με διασπορά 4. Για να εκτιμήσουμε την άγνωστη μέση τιμή \(\mu\) των βαθμών διαλέγουμε τυχαία κάποια γραπτά και βλέπουμε ότι οι βαθμοί τους είναι:
8, 9, 3, 5, 6, 7, 6, 3, 10
α) Να βρεθεί 99% διάστημα εμπιστοσύνης για την \(\mu\).
β) Πόσα γραπτά, κατ' ελάχιστον, θα έπρεπε να δούμε ώστε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης να έχει εύρος το πολύ 1,5;
Δίνεται ότι \(z_{0{,}005} = 2{,}58\), \(z_{0{,}01} = 2{,}33\), \(z_{0{,}025} = 1{,}96\), \(z_{0{,}05} = 1{,}645\)
Οι βαθμοί των θεμάτων αθροίζουν σε 11 και υπάρχει δυνατότητα επιλογής.
Καλή Επιτυχία!
Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις →
2023-02.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας):IMG_20230201_204521.jpg,IMG_6676.png,a440f8e8a6505085.png
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: migrated from previous_exams.md (Antigravity, 2026-10)
Προσοχή
Θέμα 4: η λύση δίνει μόνο την προσέγγιση με την κανονική κατανομή (≈ 0,71)· το ερώτημα (α) για την ακριβή πιθανότητα δεν απαντάται.
Λύσεις — Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Φεβρουάριος 2023¶
Λύσεις των Θεμάτων 1 έως 6 από το παλιό αρχείο, μεταφερμένες ως έχουν (χωρίς τις εκφωνήσεις).
- Θέμα 1: \(P(\text{Μπλε}) = \frac{1}{2}\frac{2}{5} + \frac{1}{2}\frac{8}{10} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \mathbf{\frac{3}{5} = 0.60}\). \(P(I \mid \text{Κόκκινη}) = \frac{\frac{1}{2}\frac{3}{5}}{\frac{1}{2}\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\frac{2}{10}} = \frac{3/10}{3/10 + 1/10} = \mathbf{\frac{3}{4} = 0.75}\).
- Θέμα 2: \(\int_0^1 c x^2 dx = 1 \implies c/3 = 1 \implies \mathbf{c = 3}\). \(E[X^2] = \int_0^1 x^2 (3x^2) dx = \frac{3}{5}\). \(E[X] = \int_0^1 x (3x^2) dx = \frac{3}{4}\). \(\operatorname{Var}(X) = \frac{3}{5} - \frac{9}{16} = \frac{3}{80}\). \(E[(X-1)^2] = E[X^2] - 2E[X] + 1 = \frac{3}{5} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{10}\).
- Θέμα 3: \(n = 2000, p = 0.001 \implies \lambda = np = 2\). α) Ακριβώς: \(1 - \sum_{k=0}^2 \binom{2000}{k} (0.001)^k (0.999)^{2000-k}\). β) Poisson: \(1 - e^{-2}(1 + 2 + 2) = 1 - 5e^{-2} \approx \mathbf{0.3233}\).
- Θέμα 4: \(n = 120, p = 1/6 \implies \mu = 20, \sigma = \sqrt{120 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}} \approx 4.08\). \(P(14.5 \le X \le 23.5) = \Phi\left(\frac{23.5-20}{4.08}\right) - \Phi\left(\frac{14.5-20}{4.08}\right) = \Phi(0.85) - \Phi(-1.34) = 0.80 - 0.09 = \mathbf{0.71}\).
- Θέμα 5: \(k\) εκτιμητής: \(\hat{k}_{\text{MM}} = \frac{2\bar{X}-1}{1-\bar{X}}\), \(\hat{k}_{\text{MLE}} = -\frac{n}{\sum \ln X_i} - 1\).
- Θέμα 6: \(\sigma = 2, n = 9, \bar{x} = \frac{57}{9} = 6.33\). \(99\%\) Δ.Ε. (\(z_{0.005} = 2.58\)): \(6.33 \pm 2.58 \frac{2}{3} = [4.61, 8.05]\). Ελάχιστο μέγεθος για εύρος \(1.5\): \(2 \cdot 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} \le 1.5 \implies \sqrt{n} \ge 5.227 \implies n \ge 27.3 \implies \mathbf{n = 28}\).