Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Σεπτέμβριος 2021 (αποσπάσματα)¶
Μεταγραφή των φωτογραφιών 2021-09-24_212954.png και 2021-09-24_193005.png.
2021-09-24_212954.png¶
- Έστω δύο κουτιά που το πρώτο περιέχει μία λευκή και μία μαύρη μπάλα ενώ το δεύτερο περιέχει δύο μαύρες μπάλες και μία λευκή. Επιλέγεται τυχαία ένα από τα δύο κουτιά και από αυτό βγάζουμε τυχαία μία μπάλα. (α) Ποια η πιθανότητα η μπάλα που βγήκε να είναι μαύρη; (β) Αν η μπάλα που βγήκε είναι λευκή, ποια η πιθανότητα να την τραβήξαμε από το πρώτο κουτί;
2021-09-24_193005.png¶
- Έστω ότι ρίχνουμε ένα δίκαιο νόμισμα 40 φορές. Υπολογίστε α) ακριβώς και β) προσεγγιστικά την πιθανότητα ο αριθμός των κεφαλών να είναι 20.
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2021-09¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Κουτί 1: 1 λευκή, 1 μαύρη. Κουτί 2: 2 μαύρες, 1 λευκή. Κάθε κουτί με πιθανότητα 1/2.
α) \(P(\text{μαύρη})=\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac23=\frac7{12}\approx\mathbf{0.583}\).
β) \(P(\text{λευκή})=\frac5{12}\). Bayes: \(P(K_1\mid\text{λ})=\dfrac{\frac12\cdot\frac12}{5/12}=\mathbf{\dfrac35}\).
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(X\sim\mathrm{Bin}(40,\tfrac12)\).
α) \(P(X=20)=\binom{40}{20}2^{-40}\approx\mathbf{0.1254}\).
β) Κανονική προσέγγιση με διόρθωση συνέχειας: \(\mu=20\), \(\sigma=\sqrt{10}\approx3.162\). \(P(19.5<X<20.5)\approx\Phi(0.158)-\Phi(-0.158)\approx\mathbf{0.1256}\).