Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Φεβρουάριος 2021 (online εξέταση)¶

Μεταγραφή των αντιγράφων της ίδιας online εξέτασης από τον φάκελο themata/ και από τα στιγμιότυπα 20210211_021922.jpg, 2_.png, 4_2020.png, 5_2020.png, 7_2020.png.

stask1.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Άσκηση 1

Ένας φοιτητής έχει τρείς διαφορετικούς λογαριασμούς e-mail. Το 40% των συνολικών μηνυμάτων που λαμβάνει, φτάνουν στον 1ο λογαριασμό, το 40% έρχεται στο 2ο λογαριασμό, ενώ ο 3ος λογαριασμός λαμβάνει το 20% των μηνυμάτων. Το 1% των μηνυμάτων που έρχονται στον 1ο λογαριασμό είναι ανεπιθύμητα, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για τον 2ο και τον 3ο λογαριασμό είναι 2% και 5% αντίστοιχα. Ποιά είναι η πιθανότητα ένα τυχαία επιλεγμένο e-mail που λαμβάνει ο φοιτητής να είναι ανεπιθύμητο;

[ ] 0.001
[ ] 0.022
[ ] 0.048
[ ] 0.016
[ ] 0.241
[ ] 0.031

stask1j.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Άσκηση 1

Ένας φοιτητής έχει τρείς διαφορετικούς λογαριασμούς e-mail. Το 50% των συνολικών μηνυμάτων που λαμβάνει, φτάνουν στον 1ο λογαριασμό, το 30% έρχεται στο 2ο λογαριασμό, ενώ ο 3ος λογαριασμός λαμβάνει το 20% των μηνυμάτων. Το 1% των μηνυμάτων που έρχονται στον 1ο λογαριασμό είναι ανεπιθύμητα, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για τον 2ο και τον 3ο λογαριασμό είναι 2% και 5% αντίστοιχα. Ποιά είναι η πιθανότητα ένα τυχαία επιλεγμένο e-mail που λαμβάνει ο φοιτητής να είναι ανεπιθύμητο;

[ ] 0.001
[ ] 0.032
[ ] 0.048
[ ] 0.016
[ ] 0.241
[ ] 0.021

stask1jj.jpeg¶

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Άσκηση 1

Ένας φοιτητής έχει τρείς διαφορετικούς λογαριασμούς e-mail. Το 40% των συνολικών μηνυμάτων που λαμβάνει, φτάνουν στον 1ο λογαριασμό, το 40% έρχεται στο 2ο λογαριασμό, ενώ ο 3ος λογαριασμός λαμβάνει το 20% των μηνυμάτων. Το 1% των μηνυμάτων που έρχονται στον 1ο λογαριασμό είναι ανεπιθύμητα, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για τον 2ο και τον 3ο λογαριασμό είναι 2% και 5% αντίστοιχα. Ποιά είναι η πιθανότητα ένα τυχαία επιλεγμένο e-mail που λαμβάνει ο φοιτητής να είναι ανεπιθύμητο;

[ ] 0.001
[ ] 0.022
[ ] 0.048
[ ] 0.016
[ ] 0.241
[ ] 0.031

stask1jjj.jpeg¶

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

Άσκηση 1

Ένας φοιτητής έχει τρείς διαφορετικούς λογαριασμούς e-mail. Το 70% των συνολικών μηνυμάτων που λαμβάνει, φτάνουν στον 1ο λογαριασμό, το 20% έρχεται στο 2ο λογαριασμό, ενώ ο 3ος λογαριασμός λαμβάνει το 10% των μηνυμάτων. Το 1% των μηνυμάτων που έρχονται στον 1ο λογαριασμό είναι ανεπιθύμητα, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για τον 2ο και τον 3ο λογαριασμό είναι 2% και 5% αντίστοιχα. Ποιά είναι η πιθανότητα ένα τυχαία επιλεγμένο e-mail που λαμβάνει ο φοιτητής να είναι ανεπιθύμητο;

[ ] 0.031
[ ] 0.022
[ ] 0.048
[ ] 0.016
[ ] 0.241
[ ] 0.941

20210211_021922.jpg¶

Άσκηση 2

1

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 2 Αν \(X\) συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής \(F_X\) και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας \(f_X\), να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της \(Y = 2X\).

[ ] \(f_Y(y) = 1/2 * f_X(y/2)\)
[ ] \(f_Y(y) = 1/2 * f_X(y)\)
[ ] \(f_Y(y) = 2 * f_X(y)\)
[ ] \(f_Y(y) = 1/2 * f_X^2(y/2)\)
[ ] \(f_Y(y) = f_X^2(y)\)
[ ] \(f_Y(y) = 1/4 * f_X(y/2) - 1\)

2_.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Άσκηση 2

[Σχήμα: Σύστημα με δύο παράλληλους κλάδους. Ο επάνω κλάδος περιλαμβάνει τα στοιχεία 1, 2, 3 σε σειρά και ο κάτω κλάδος τα στοιχεία 4, 5, 6 σε σειρά.]

Έστω ένα σύστημα αποτελούμενο από 2 υποσυστήματα συνδεδεμένα παράλληλα όπως φαίνεται στην εικόνα. Κάθε υποσύστημα αποτελείται από 3 μηχανήματα συνδεδεμένα σε σειρά. Για να λειτουργήσει το σύστημα πρέπει να λειτουργεί τουλάχιστον ένα από τα δύο υποσυστήματα. Ένα υποσύστημα λειτουργεί αν λειτουργούν όλα τα μηχανήματα σε αυτό. Έστω \(A_i\) το γεγονός να λειτουργεί το μηχάνημα \(i\). Αν \(P(A_i) = 0.8\) για κάθε \(i\), να βρεθεί η πιθανότητα να λειτουργεί το σύστημα.

[ ] 0.761
[ ] 0.968
[ ] 0.798
[ ] 0.994
[ ] 0.701
[ ] 0.927

stask2.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Άσκηση 2

[Σχήμα: Σύστημα με δύο παράλληλα υποσυστήματα. Το πάνω αποτελείται από τα μπλοκ 1, 2, 3 σε σειρά και το κάτω από τα μπλοκ 4, 5, 6 σε σειρά]

Έστω ένα σύστημα αποτελούμενο από 2 υποσυστήματα συνδεδεμένα παράλληλα όπως φαίνεται στην εικόνα. Κάθε υποσύστημα αποτελείται από 3 μηχανήματα συνδεδεμένα σε σειρά. Για να λειτουργήσει το σύστημα πρέπει να λειτουργεί τουλάχιστον ένα από τα δύο υποσυστήματα. Ένα υποσύστημα λειτουργεί αν λειτουργούν όλα τα μηχανήματα σε αυτό. Έστω \(A_i\) το γεγονός να λειτουργεί το μηχάνημα \(i\). Αν \(P(A_i) = 0.5\) για κάθε \(i\), να βρεθεί η πιθανότητα να λειτουργεί το σύστημα.

[ ] 0.387
[ ] 0.268
[ ] 0.299
[ ] 0.234
[ ] 0.323
[ ] 0.201

stask2j.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Άσκηση 2

[Σχήμα: Σύστημα με δύο παράλληλα υποσυστήματα. Το πάνω αποτελείται από τα μπλοκ 1, 2, 3 σε σειρά και το κάτω από τα μπλοκ 4, 5, 6 σε σειρά]

Έστω ένα σύστημα αποτελούμενο από 2 υποσυστήματα συνδεδεμένα παράλληλα όπως φαίνεται στην εικόνα. Κάθε υποσύστημα αποτελείται από 3 μηχανήματα συνδεδεμένα σε σειρά. Για να λειτουργήσει το σύστημα πρέπει να λειτουργεί τουλάχιστον ένα από τα δύο υποσυστήματα. Ένα υποσύστημα λειτουργεί αν λειτουργούν όλα τα μηχανήματα σε αυτό. Έστω \(A_i\) το γεγονός να λειτουργεί το μηχάνημα \(i\). Αν \(P(A_i) = 0.7\) για κάθε \(i\), να βρεθεί η πιθανότητα να λειτουργεί το σύστημα.

[ ] 0.501
[ ] 0.568
[ ] 0.422
[ ] 0.590
[ ] 0.483
[ ] 0.402

stask3.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Άσκηση 3

Ένας άνθρωπος πηγαίνει στη δουλειά του και επιστρέφει από αυτήν 6 φορές την εβδομάδα, χρησιμοποιώντας το λεωφορείο. Οι χρόνοι αναμονής στη στάση του λεωφορείου για μετάβαση και για επιστροφή είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο διάστημα 0 έως 4 λεπτά και είναι όλοι μεταξύ τους ανεξάρτητοι. Προσεγγίστε την πιθανότητα ο συνολικός χρόνος αναμονής για μια ολόκληρη εβδομάδα να είναι το πολύ 34 λεπτά.

[ ] 0.3454
[ ] 0.6789
[ ] 0.8779
[ ] 0.1274
[ ] 0.5543
[ ] 0.9938

stask3j.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Άσκηση 3

Ένας άνθρωπος πηγαίνει στη δουλειά του και επιστρέφει από αυτήν 6 φορές την εβδομάδα, χρησιμοποιώντας το λεωφορείο. Οι χρόνοι αναμονής στη στάση του λεωφορείου για μετάβαση και για επιστροφή είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο διάστημα 0 έως 5 λεπτά και είναι όλοι μεταξύ τους ανεξάρτητοι. Προσεγγίστε την πιθανότητα ο συνολικός χρόνος αναμονής για μια ολόκληρη εβδομάδα να είναι το πολύ 40 λεπτά.

[ ] 0.2332
[ ] 0.6789
[ ] 0.7779
[ ] 0.1274
[ ] 0.9772
[ ] 0.8908

stask3jj.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Άσκηση 3

Ένας άνθρωπος πηγαίνει στη δουλειά του και επιστρέφει από αυτήν 6 φορές την εβδομάδα, χρησιμοποιώντας το λεωφορείο. Οι χρόνοι αναμονής στη στάση του λεωφορείου για μετάβαση και για επιστροφή είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο διάστημα 0 έως 8 λεπτά και είναι όλοι μεταξύ τους ανεξάρτητοι. Προσεγγίστε την πιθανότητα ο συνολικός χρόνος αναμονής για μια ολόκληρη εβδομάδα να είναι το πολύ 56 λεπτά.

[ ] 0.9332
[ ] 0.6789
[ ] 0.7779
[ ] 0.1274
[ ] 0.8413
[ ] 0.396

4_2020.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 4 Έστω τυχαίο δείγμα \(X_1, ..., X_n\) το οποίο προέρχεται από κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: \(f(x; \theta) = (1+\theta x) / 6\), \(-3 \le x \le 3\), όπου \(-1/3 \le \theta \le 1/3\). Ποιά από τις παρακάτω εκτιμήτριες είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου \(\theta\);

[ ] \(\vartheta = 4 \bar{X}\)
[ ] \(\vartheta = (1 + \theta) 1/2\)
[ ] \(\vartheta = 3 \bar{X}\)
[ ] \(\vartheta = (1 + \theta) 1/5\)
[ ] \(\vartheta = 4 \bar{X} / 27\)
[ ] \(\vartheta = \bar{X} / 3\)

stask4.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 4¶

Έστω τυχαίο δείγμα \(X_1,\dots, X_n\) το οποίο προέρχεται από κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας:

\(f(x; \theta) = (1+\theta x) / 4, \quad -2 \le x \le 2,\)

όπου \(-1/2 \le \theta \le 1/2\). Ποιά από τις παρακάτω εκτιμήτριες είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου \(\theta\);

[ ] \(\vartheta = 4\bar{X}\)
[ ] \(\vartheta = (1 + \theta) / 2\)
[ ] \(\vartheta = 3/4\,\bar{X}\)
[ ] \(\vartheta = 2\bar{X} / 13\)
[ ] \(\vartheta = 4\bar{X} / 27\)
[ ] \(\vartheta = (1 + \theta) / 4\)

stask4j.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 4¶

Έστω τυχαίο δείγμα \(X_1,\dots, X_n\) το οποίο προέρχεται από κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας:

\(f(x; \theta) = (1+\theta x) / 6, \quad -3 \le x \le 3,\)

όπου \(-1/3 \le \theta \le 1/3\). Ποιά από τις παρακάτω εκτιμήτριες είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου \(\theta\);

[ ] \(\vartheta = 4\bar{X}\)
[ ] \(\vartheta = (1 + \theta) 1/2\)
[ ] \(\vartheta = 3\bar{X}\)
[ ] \(\vartheta = (1 + \theta) 1/5\)
[ ] \(\vartheta = 4\bar{X} / 27\)
[ ] \(\vartheta = \bar{X} / 3\)

stask4jj.jpeg¶

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 4¶

Έστω τυχαίο δείγμα \(X_1,\dots, X_n\) το οποίο προέρχεται από κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας:

\(f(x; \theta) = (1+\theta x) / 8, \quad -4 \le x \le 4,\)

όπου \(-1/4 \le \theta \le 1/4\). Ποιά από τις παρακάτω εκτιμήτριες είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου \(\theta\);

[ ] \(\vartheta = 4\bar{X}\)
[ ] \(\vartheta = (1 + \theta) 1/2\)
[ ] \(\vartheta = 3\bar{X}\)
[ ] \(\vartheta = 2\bar{X} / 13\)
[ ] \(\vartheta = 3\bar{X} / 16\)
[ ] \(\vartheta = (1 + \theta) / 6\)

5_2020.png¶

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Άσκηση 5 Έστω μία ομάδα από 10 σκοπευτές οι οποίοι προσπαθούν να πετύχουν στόχους. Μέσω ενός ειδικού μηχανήματος την ίδια στιγμή εκτοξεύονται 10 στόχοι στον αέρα. Οι σκοπευτές πυροβολούν ταυτόχρονα, σημαδεύοντας ο καθένας τυχαία ένα στόχο, ανεξάρτητα από τον ποιον στόχο σημαδεύουν οι υπόλοιποι. Αν κάθε σκοπευτής πετυχαίνει το στόχο του ανεξάρτητα με πιθανότητα 0.5, να υπολογιστεί ο μέσος αριθμός στόχων τους οποίους δεν πετυχαίνει κανένας σκοπευτής.

[ ] 5.22
[ ] 9.04
[ ] 5.99
[ ] 7.37
[ ] 6.26
[ ] 7.88

stask5.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Άσκηση 5¶

Έστω μία ομάδα από 10 σκοπευτές οι οποίοι προσπαθούν να πετύχουν στόχους. Μέσω ενός ειδικού μηχανήματος την ίδια στιγμή εκτοξεύονται 10 στόχοι στον αέρα. Οι σκοπευτές πυροβολούν ταυτόχρονα, σημαδεύοντας ο καθένας τυχαία ένα στόχο, ανεξάρτητα από τον ποιον στόχο σημαδεύουν οι υπόλοιποι. Αν κάθε σκοπευτής πετυχαίνει το στόχο του ανεξάρτητα με πιθανότητα 0.5, να υπολογιστεί ο μέσος αριθμός στόχων τους οποίους δεν πετυχαίνει κανένας σκοπευτής.

[ ] 5.22
[ ] 9.04
[ ] 5.99
[ ] 7.37
[ ] 6.26
[ ] 7.88

stask5j.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Άσκηση 5¶

Έστω μία ομάδα από 10 σκοπευτές οι οποίοι προσπαθούν να πετύχουν στόχους. Μέσω ενός ειδικού μηχανήματος την ίδια στιγμή εκτοξεύονται 10 στόχοι στον αέρα. Οι σκοπευτές πυροβολούν ταυτόχρονα, σημαδεύοντας ο καθένας τυχαία ένα στόχο, ανεξάρτητα από τον ποιον στόχο σημαδεύουν οι υπόλοιποι. Αν κάθε σκοπευτής πετυχαίνει το στόχο του ανεξάρτητα με πιθανότητα 0.1, να υπολογιστεί ο μέσος αριθμός στόχων τους οποίους δεν πετυχαίνει κανένας σκοπευτής.

[ ] 8.22
[ ] 9.04
[ ] 5.99
[ ] 7.37
[ ] 2.26
[ ] 0.88

stask5jj.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Άσκηση 5¶

Έστω μία ομάδα από 10 σκοπευτές οι οποίοι προσπαθούν να πετύχουν στόχους. Μέσω ενός ειδικού μηχανήματος την ίδια στιγμή εκτοξεύονται 10 στόχοι στον αέρα. Οι σκοπευτές πυροβολούν ταυτόχρονα, σημαδεύοντας ο καθένας τυχαία ένα στόχο, ανεξάρτητα από τον ποιον στόχο σημαδεύουν οι υπόλοιποι. Αν κάθε σκοπευτής πετυχαίνει το στόχο του ανεξάρτητα με πιθανότητα 0.8, να υπολογιστεί ο μέσος αριθμός στόχων τους οποίους δεν πετυχαίνει κανένας σκοπευτής.

[ ] 3.22
[ ] 9.04
[ ] 5.99
[ ] 7.37
[ ] 2.26
[ ] 4.34

stask6.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 6¶

Για τον υπολογισμό της μέσης ποσότητας νικοτίνης σε ένα νέο τύπο τσιγάρου, επιλέχθηκαν τυχαία 44 τσιγάρα και έγινε μέτρηση της ποσότητας νικοτίνης σε αυτά.

Από προηγούμενες μετρήσεις είναι γνωστό ότι η ποσότητα αυτή ακολουθεί κανονική κατανομή με διασπορά 0.49.

Τι μέγεθος πρέπει να έχει το δείγμα, ώστε το εύρος του 95% διαστήματος εμπιστοσύνης να είναι μικρότερο ή ίσο από 0.2 mg;

[ ] 753
[ ] 243
[ ] 48
[ ] 156
[ ] 84
[ ] 189

stask6j.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 6¶

Για τον υπολογισμό της μέσης ποσότητας νικοτίνης σε ένα νέο τύπο τσιγάρου, επιλέχθηκαν τυχαία 44 τσιγάρα και έγινε μέτρηση της ποσότητας νικοτίνης σε αυτά.

Από προηγούμενες μετρήσεις είναι γνωστό ότι η ποσότητα αυτή ακολουθεί κανονική κατανομή με διασπορά 0.49.

Τι μέγεθος πρέπει να έχει το δείγμα, ώστε το εύρος του 95% διαστήματος εμπιστοσύνης να είναι μικρότερο ή ίσο από 0.1 mg;

[ ] 753
[ ] 543
[ ] 48
[ ] 156
[ ] 84
[ ] 189

7_2020.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 7 Δύο αθλητικές ομάδες, Α και Β, παίζουν μια σειρά από παιχνίδια. Η ομάδα που θα συμπληρώσει πρώτη 4 νίκες αναδεικνύεται νικήτρια. Έστω ότι η ομάδα Α νικάει κάθε παιχνίδι με πιθανότητα 0.3, ανεξάρτητα για τα διάφορα παιχνίδια. Να βρεθεί η πιθανότητα να αναδειχθεί νικήτρια της σειράς η ομάδα Α.

[ ] 0.126
[ ] 0.181
[ ] 0.273
[ ] 0.323
[ ] 0.256
[ ] 0.299

stask7.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 7¶

Δύο αθλητικές ομάδες, Α και Β, παίζουν μια σειρά από παιχνίδια. Η ομάδα που θα συμπληρώσει πρώτη 4 νίκες αναδεικνύεται νικήτρια. Έστω ότι η ομάδα Α νικάει κάθε παιχνίδι με πιθανότητα 0.6, ανεξάρτητα για τα διάφορα παιχνίδια. Να βρεθεί η πιθανότητα να αναδειχθεί νικήτρια της σειράς η ομάδα Α.

[ ] 0.430
[ ] 0.385
[ ] 0.244
[ ] 0.792
[ ] 0.541
[ ] 0.710

stask7j.jpeg¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 7¶

Δύο αθλητικές ομάδες, Α και Β, παίζουν μια σειρά από παιχνίδια. Η ομάδα που θα συμπληρώσει πρώτη 4 νίκες αναδεικνύεται νικήτρια. Έστω ότι η ομάδα Α νικάει κάθε παιχνίδι με πιθανότητα 0.7, ανεξάρτητα για τα διάφορα παιχνίδια. Να βρεθεί η πιθανότητα να αναδειχθεί νικήτρια της σειράς η ομάδα Α.

[ ] 0.961
[ ] 0.688
[ ] 0.241
[ ] 0.792
[ ] 0.873
[ ] 0.713

stask7jj.jpeg¶

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 7¶

Δύο αθλητικές ομάδες, Α και Β, παίζουν μια σειρά από παιχνίδια. Η ομάδα που θα συμπληρώσει πρώτη 4 νίκες αναδεικνύεται νικήτρια. Έστω ότι η ομάδα Α νικάει κάθε παιχνίδι με πιθανότητα 0.4, ανεξάρτητα για τα διάφορα παιχνίδια. Να βρεθεί η πιθανότητα να αναδειχθεί νικήτρια της σειράς η ομάδα Α.

[ ] 0.226
[ ] 0.351
[ ] 0.289
[ ] 0.194
[ ] 0.449
[ ] 0.714

Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις → 2021-02.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας): themata.rar

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2021-02¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα 1 (e-mail, ανεπιθύμητα)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Ολική πιθανότητα: \(P=\sum_i P(\text{λογ. }i)\,P(\text{ανεπ.}\mid i)\). - (40%,40%,20%): \(0.004+0.008+0.010=\mathbf{0.022}\). - (50%,30%,20%): \(0.005+0.006+0.010=\mathbf{0.021}\). - (70%,20%,10%): \(0.007+0.004+0.005=\mathbf{0.016}\).

Θέμα 2 (α: πυκνότητα της \(Y=2X\))¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

\(F_Y(y)=P(2X\le y)=F_X(y/2)\) ⇒ \(f_Y(y)=\tfrac12 f_X(y/2)\). Απάντηση: \(f_Y(y)=\frac12 f_X(y/2)\) (1η επιλογή).

Θέμα 2 (β: σύστημα δύο παράλληλων κλάδων των 3 σε σειρά)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Κλάδος λειτουργεί με \(p^3\)· σύστημα: \(1-(1-p^3)^2\). - \(p=0.8\): \(1-(0.488)^2=0.7619\). ≈0.761 (πλησιέστερη επιλογή· η ακριβής τιμή στρογγυλοποιείται σε 0.762). - \(p=0.5\): \(1-(0.875)^2=\mathbf{0.234}\). - \(p=0.7\): \(1-(0.657)^2=\mathbf{0.568}\).

Θέμα 3 (λεωφορείο, ΚΟΘ)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

6 φορές εβδομάδα × (μετάβαση + επιστροφή) = 12 ανεξάρτητοι χρόνοι \(U(0,a)\): \(E[T]=12\cdot a/2=6a\), \(\mathrm{Var}(T)=12\cdot a^2/12=a^2\), \(\sigma=a\). ΚΟΘ: \(P(T\le t)\approx\Phi\big((t-6a)/a\big)\). - \(a=4,\ t=34\): \(\Phi(2.5)=\mathbf{0.9938}\). - \(a=5,\ t=40\): \(\Phi(2)=\mathbf{0.9772}\). - \(a=8,\ t=56\): \(\Phi(1)=\mathbf{0.8413}\) (η επιλογή «0.8413»).

Θέμα 4 (αμερόληπτη εκτιμήτρια)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Για \(f(x;\theta)=\frac{1+\theta x}{2c}\) στο \([-c,c]\): \(E[X]=\frac1{2c}\int_{-c}^{c}(x+\theta x^2)\,dx=\frac{\theta c^2}{3}\). Άρα \(\hat\theta=\dfrac{3\bar X}{c^2}\) είναι αμερόληπτη (\(E[\bar X]=E[X]\)). - \(c=3\): \(\hat\theta=\bar X/3\). - \(c=2\): \(\hat\theta=\frac34\bar X\). - \(c=4\): \(\hat\theta=\frac{3\bar X}{16}\).

Θέμα 5 (σκοπευτές)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Για συγκεκριμένο στόχο και ένα σκοπευτή: P(τον σημαδεύει και τον πετυχαίνει) \(=p/10\). Ο στόχος μένει άθικτος με πιθανότητα \((1-p/10)^{10}\). Με γραμμικότητα: \(E=10(1-p/10)^{10}\). - \(p=0.5\): \(10\cdot0.95^{10}=\mathbf{5.99}\). - \(p=0.1\): \(10\cdot0.99^{10}=\mathbf{9.04}\). - \(p=0.8\): \(10\cdot0.92^{10}=\mathbf{4.34}\).

Θέμα 6 (μέγεθος δείγματος)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Εύρος \(=2z_{0.025}\sigma/\sqrt n\le w\) ⇒ \(n\ge(2\cdot1.96\cdot0.7/w)^2\) (\(\sigma=0.7\)). Το «44» είναι άσχετο με την ερώτηση. - \(w=0.2\): \(n\ge188.24\) ⇒ \(n=189\). - \(w=0.1\): \(n\ge752.95\) ⇒ \(n=753\).

Θέμα 7 (σειρά αγώνων, πρώτη στις 4 νίκες)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Η Α κερδίζει με \(k=0,1,2,3\) ήττες πριν την 4η νίκη: \(P=\sum_{k=0}^{3}\binom{3+k}{k}p^4(1-p)^k\). - \(p=0.3\): 0.126. - \(p=0.6\): 0.710. - \(p=0.7\): 0.874 (πλησιέστερη επιλογή 0.873· ακριβής τιμή 0.87396). - \(p=0.4\): 0.290 (πλησιέστερη επιλογή 0.289).

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή