Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Δεκέμβριος 2020 (online εξέταση)¶

Μεταγραφή των 7 στιγμιότυπων Pr__1 έως Pr__7 (μία άσκηση ανά στιγμιότυπο). Αφαιρέθηκαν τα στοιχεία διεπαφής της πλατφόρμας (τίτλος γραμμής, «Υπολειπόμενος χρόνος», κουμπί πλοήγησης ερωτήσεων)· δεν έχουν σχέση με την εκφώνηση.

Pr__1.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 1 Έστω ένα κουτί με 10 διακεκριμένες σφαίρες και δύο άτομα Α και Β. Πρώτα τραβάει ο Α τυχαία 3 σφαίρες από τις 10 σφαίρες και τις επιστρέφει στο κουτί. Έπειτα, τραβάει και ο Β τυχαία 3 σφαίρες από τις 10 σφαίρες. Να βρεθεί η μέση τιμή του αριθμού των σφαιρών που τραβήχθηκαν και από τον Α και από τον Β.

[ ] 0.7
[ ] 1.4
[ ] 0.6
[ ] 0.8
[ ] 0.9
[ ] 1.2

Pr__2.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 2 Αν $X$ συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής $F_X$ και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας $f_X$, να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της $Y = 2X$.

[ ] $f_Y(y) = 1/2 * f_X(y/2)$
[ ] $f_Y(y) = 1/2 * f_X(y)$
[ ] $f_Y(y) = 2 * f_X(y)$
[ ] $f_Y(y) = 1/2 * f_X^2(y/2)$
[ ] $f_Y(y) = f_X^2(y)$
[ ] $f_Y(y) = 1/4 * f_X(y/2) - 1$

Pr__3.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 3 Έστω ότι σε ένα βιβλίο υπάρχουν κατά μέσο όρο 0.5 τυπογραφικά λάθη ανά σελίδα. Πόση είναι η πιθανότητα σε 3 τυχαίες σελίδες του βιβλίου, ακριβώς 2 να έχουν τουλάχιστον 1 λάθος;

[ ] 0.75
[ ] 0.44
[ ] 0.15
[ ] 0.37
[ ] 0.28
[ ] 0.82

Pr__4.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 4 Ένας άνθρωπος διαθέτει ένα φωτιστικό και 100 λαμπτήρες των οποίων οι χρόνοι ζωής (σε ώρες) είναι στοχαστικά ανεξάρτητοι και ακολουθούν εκθετική κατανομή με παράμετρο 0.2. Το φωτιστικό δέχεται μόνο μια λάμπα. Έτσι, ο άνθρωπος χρησιμοποιεί μια λάμπα μέχρι να χαλάσει και κάθε φορά (χωρίς καμία καθυστέρηση) την αντικαθιστά με μια από τις λειτουργικές. Να προσεγγιστεί η πιθανότητα μετά από 525 ώρες να υπάρχει ακόμη λειτουργικός λαμπτήρας στο φωτιστικό.

[ ] 0.12
[ ] 0.30
[ ] 0.77
[ ] 0.42
[ ] 0.65
[ ] 0.23

Pr__5.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 5 Έστω τυχαία μεταβλητή X που ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 20 και διασπορά 9. Για την πιθανότητα P( 14 $\le$ X $\le$ 26 ) έστω Α η ακριβής τιμή και Β το κάτω φράγμα από την εφαρμογή της ανισότητας Chebyshev για την πιθανότητα αυτή. Να βρεθεί η διαφορά A-B.

[ ] 0.89
[ ] 0.50
[ ] 0.11
[ ] 0.42
[ ] 0.33
[ ] 0.20

Pr__6.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Άσκηση 6 Η πιθανογεννήτρια μιας διακριτής τ.μ. X είναι $\Pi_X(z) = (1+z)^3 / 8$. Να βρεθεί η πιθανότητα $P(1 \le X \le 2)$.

[ ] 0.94
[ ] 0.75
[ ] 0.32
[ ] 0.17
[ ] 0.45
[ ] 0.62

Pr__7.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1.50 βαθμοί)

Άσκηση 7 Δύο παίκτες ρίχνουν διαδοχικά ένα ζάρι μέχρι ένας από τους δύο να φέρει 5, οπότε και αναδεικνύεται νικητής. Πόση η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης που ρίχνει πρώτος;

[ ] 0.555
[ ] 0.535
[ ] 0.525
[ ] 0.545
[ ] 0.565
[ ] 0.515

Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις → 2020-12.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας): 2h_proodos/2h proodos/1.jpg, 2h_proodos/2h proodos/2.jpg, 2h_proodos/2h proodos/4.jpg, 2h_proodos/2h proodos/5.jpg, 2h_proodos/2h proodos/6.jpg, 2h_proodos/2h proodos/7.jpg, 2h_proodos.zip

Λύσεις (🟡 community)

Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: χειρόγραφες λύσεις φοιτητή (φωτογραφίες 2h_proodos, Discord, Φεβρουάριος 2021)

Προσοχή

Άσκηση 3 (Pr__3): δεν υπάρχει λύση στις φωτογραφίες.

Λύσεις — Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Δεκέμβριος 2020¶

Χειρόγραφες λύσεις φοιτητή για τις ασκήσεις 1, 2, 4, 5, 6 και 7 της δεύτερης προόδου. Τα τελικά αποτελέσματα των ασκήσεων συμφωνούν με μία από τις επιλογές της εκφώνησης.

1.jpg¶

(1) Έστω $X$ τυχαία μεταβλητή που συμβολίζει τον αριθμό των κοινών σφαιρών με σύνολο τιμών $\Omega_X = \{1, 2, 3\}$

Τότε $E(X) = \sum_{i=1}^3 x_i P(X = x_i)$

Υπάρχουν 120 πιθανές τριάδες που κάθε παίχτης μπορεί να διαλέξει: $$\binom{10}{3} = 120$$

\[P(X=3) = \frac{1}{120}\]

• Για $X=1$: - Ο παίκτης Α μπορεί να διαλέξει 3 μπάλες, έστω $k_1, k_2, k_3$ (όπου $k_i \in \{1 \dots 10\}$) - Θέλουμε να έχει ακριβώς μία κοινή μπάλα με το Β - Έστω ότι έχουν κοινή την $k_1$ Τότε οι πιθανοί συνδυασμοί με μοναδική κοινή σφαίρα την $k_1$ είναι $\binom{7}{2} = 21$ Αλλά οποιαδήποτε από τις $k_1, k_2, k_3$ μπορεί να είναι κοινή άρα: $$P(X=1) = \frac{3 \cdot 21}{120} = \frac{63}{120}$$

• Για $X=2$: - Και πάλι ο παίκτης Α μπορεί να διαλέξει 3 μπάλες, έστω $k_1, k_2, k_3$ - Θέλουμε να έχει ακριβώς δύο κοινές με τον Β - Έστω ότι έχουν κοινές τις $k_1, k_2$ Τότε οι πιθανοί συνδυασμοί με κοινές μπάλες τις $k_1, k_2$ είναι 7 Αλλά οποιοδήποτε ζευγάρι από τις $k_1, k_2, k_3$ μπορεί να είναι κοινό άρα: $$P(X=2) = \frac{\binom{3}{2} \cdot 7}{120} = \frac{3 \cdot 7}{120} = \frac{21}{120}$$

Άρα $E(X) = 1 \cdot \frac{63}{120} + 2 \cdot \frac{21}{120} + 3 \cdot \frac{1}{120} = \frac{63 + 42 + 3}{120} = \frac{108}{120} = 0{,}9$

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

2.jpg¶

(2) $Y = 2X \Leftrightarrow X = \frac{Y}{2}$ (1)

$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left|\frac{dx}{dy}\right| = \frac{1}{2}$

οπότε $f_Y(y) = f_X(x) \cdot \left|\frac{dx}{dy}\right| = \frac{1}{2} f_X(x)$

όμως λόγω της (1) $\Rightarrow f_Y(y) = \frac{1}{2} f_X(y/2)$

Σωστή απάντηση το πρώτο

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

4.jpg¶

(4) Οι χρόνοι ζωής των λαμπτήρων ακολουθούν την εκθετική κατανομή με παράμετρο $\lambda = 0.2$

Οπότε έχουμε: $\operatorname{Var}(x_i) = 25$

• $\Lambda_{100} = \sum_{i=1}^{100} x_i$

Οπότε θέλουμε να ισχύει $P(\Lambda_{100} > 525)$

• Από το θεώρημα κεντρικού ορίου έχουμε:

\[k = \frac{\Lambda_{100} - 100/0.2}{\sqrt{100 \cdot 25}} > \frac{525 - 500}{\sqrt{100 \cdot 25}} = \frac{25}{\sqrt{2500}} = \frac{1}{2}\]

Άρα τελικά $P(S_{100} > 525) \approx P(k > 0.5) = 1 - \Phi(0.5) \approx 0.30$

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

5.jpg¶

(5) Έχουμε: $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = 9$
$\mu = 20$

• $P\{|X - \mu| \ge k\} \le \frac{\sigma^2}{k^2}$

• Για μεταβλητή X που ακολουθεί κανονική κατανομή ισχύει:
$P(a \le X \le b) = P\left(\frac{a-\mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b-\mu}{\sigma}\right) \Rightarrow$
$P(14 \le X \le 26) = P\left(\frac{14-20}{3} \le Z \le \frac{26-20}{3}\right) \Rightarrow$
$P(14 \le X \le 26) = P(-2 \le Z \le 2) \Rightarrow$
$P(14 \le X \le 26) = -0{,}02275 + 0{,}97725 = 0{,}9545 = A$ (από πίνακες)

Από την ανισότητα Chebyshev ισχύει:
$$P\{|X - \mu| \le k\} \ge 1 - \frac{\sigma^2}{k^2} \Rightarrow P\{|X - 20| \le k\} \ge 1 - \frac{9}{k^2} \xrightarrow{k=6}$$
$$P\{14 \le X \le 26\} \ge 1 - \frac{9}{36} \Rightarrow P\{14 \le X \le 26\} \ge \frac{27}{36} = 0{,}75 = B$$

Άρα $A - B \approx 0{,}2$

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

6.jpg¶

(6) Είναι $\Pi_X(z) = \frac{(1+z)^3}{8}$

Ισχύει ότι $P(k) = P(X=k) = \frac{\Pi_X^{(k)}(0)}{k!}$

Άρα $\Pi_X'(z) = \frac{1}{8} \cdot 3(z+1)^2$

$\Pi_X''(z) = \frac{1}{8} \cdot 3 \cdot 2(z+1)$

\[P(1 \le X \le 2) = \frac{\Pi_X''(0)}{2!} + \frac{\Pi_X'(0)}{1!} = \frac{6/8}{2} + 3/8 = \dots = 0{,}75\]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

7.jpg¶

(7) Έχουμε τους παίκτες Α και Β οι οποίοι ρίχνουν διαδοχικά ένα ζάρι. Το παιχνίδι σταματά όταν ένας φέρει 5 με τον παίκτη Α να παίζει πρώτος. Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα να κερδίσει ο Α.
Έχουμε:
$P(A) = \text{πιθανότητα να φέρει } 5 \text{ ο } A$
$P(B) = \text{πιθανότητα να φέρει } 5 \text{ ο } B$
$P(K) = \text{πιθανότητα να μην έρθει } 5$

Αρχικά ο Α ρίχνει το ζάρι και έχουμε:
$$P(A) = \frac{1}{6} \qquad P(K) = \frac{5}{6}$$

Αν δεν έρθει 5, ρίχνει ο Β και έχουμε:
$$P(A) = \frac{1}{6} = \frac{6}{36} \qquad P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36} \qquad P(K) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$

Παρατηρούμε ότι από εδώ και πέρα το παιχνίδι επαναλαμβάνεται.
Ενώ η πιθανότητα να έχει τελειώσει είναι $P(T) = P(A) + P(B) = \frac{11}{36}$

Με βάση αυτό, υπολογίζουμε την πιθανότητα να κερδίσει ο Α ως εξής:

\[P(A') = \frac{P(A)}{P(T)} = \frac{\frac{6}{36}}{\frac{11}{36}} = \frac{6}{11} \approx 0{,}545\]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή