Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Ιούνιος 2020¶
Η εκφώνηση από τη σελίδα 1 του iounios_2020_lyseis.pdf.
iounios_2020_lyseis.pdf (σελ. 1)¶
Πιθανότητες¶
Ιούνιος 2020
-
(α) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε τουλάχιστον μια φορά άσσο σε 3 ζαριές με ένα ζάρι;
(β) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε τουλάχιστον μια φορά άσσο σε 12 ζαριές με δύο ζάρια; -
Έστω τ.μ. \(X\) τέτοια ώστε: $\(P\{X = 1\} = p = 1 - P\{X = -1\}\)$ Βρείτε μία \(c \ne 1\) (ως συνάρτηση της \(p\)) τέτοια ώστε \(E[c^X] = 1\).
-
Σε ένα ψηφιακό κανάλι επικοινωνίας, υποθέτουμε ότι η πιθανότητα να λάβουμε λανθασμένο ένα bit είναι \(10^{-5}\), και ότι τα λάθη λήψης είναι ανεξάρτητα για τα διάφορα bits. Εάν μεταδίδονται 16 εκατομμύρια bits ποια η πιθανότητα να συμβούν περισσότερα από 150 λάθη; Δώστε α) ακριβή τύπο β) προσέγγιση.
Λύσεις (🟡 community)
Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: χειρόγραφη λύση φοιτητή (iounios_2020_lyseis.pdf, σελ. 2–4)
Προσοχή
Θέμα 1(α): η λύση γράφει P(A) = 0,413, ενώ 1 − (5/6)³ = 91/216 ≈ 0,421. Αριθμητική ασυμφωνία. Θέμα 1(β): η λύση σταματά στον τύπο 1 − (35/36)^12, χωρίς αριθμητικό αποτέλεσμα. Θέμα 3: η λύση σταματά πριν από τον αριθμητικό υπολογισμό της προσέγγισης Poisson (λ = 160) και δεν δίνει τελικό αποτέλεσμα.
Λύσεις — Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Ιούνιος 2020¶
Οι σελίδες 2 έως 4 του αρχείου είναι χειρόγραφες λύσεις φοιτητή, μεταγραμμένες με Gemini. Η σελίδα 1 (η εκφώνηση) δεν μεταφέρεται.
iounios_2020_lyseis.pdf (σελ. 2-4)¶
\(\downarrow\) βιβλίου σελ 32 Παρ 1.1.6
ΙΟΥΝΙΟΣ 2020,
α) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ 1 φορά ΑΣΣΟ σε 3 ζαριές με ένα ζάρι;
Α: τουλάχιστον μια φορά άσσο σε 3 ζαριές
Στη ρίψη ενός ζαριού, το απλό ενδεχόμενο μπορεί να παρασταθεί όπου κάθε συνιστώσα συμβολίζει το αποτέλεσμα στην αντίστοιχη ρίψη ζαριού:
\(\Omega = \{(\alpha, \beta, \gamma) : \alpha, \beta, \gamma = 1, 2, \dots, 6\}\)
άρα \(6^3\) ισοπίθανα στοιχεία.
Α': όταν καμία από τις συνιστώσα του απλού ενδεχομένου ΔΕΝ ισούται με άσσο.
Άρα \(A' = \{(\alpha, \beta, \gamma) : \alpha, \beta, \gamma = 2, 3, 4, 5, 6\} : 5^3 \text{ ισοπίθ. στοιχ.}\)
Στην ρίψη 2 ζαριών: \(36^{12}\) ισοπίθανα στοιχεία
\(B'\): σε 12 ζαριές με 2 ζάρια καμία φορά άσσο: \(35^{12}\)
Έχω
$\(P(B) = 1 - P(B)' = 1 - \frac{35^{12}}{36^{12}} = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{12}\)$
Έχουμε: \(P(x=1) = p\), \(P(x=-1) = 1-p\)
\(E(x) = \sum_k p_k x_k \rightarrow E(c^x) = \sum_k p_k c^{x_k}\) ①
\(E(c^x) = 1 \xrightarrow[\text{για } k=1,-1]{①} E(c^x) = p_1 c^1 + p_{-1} c^{-1} = 1 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow p \cdot c + (1-p) \frac{1}{c} = 1 \Rightarrow \frac{c^2 p + 1 - p}{c} = 1 \Rightarrow\)
\(\begin{pmatrix} p_1 = p \\ p_{-1} = 1-p \end{pmatrix} \Rightarrow c^2 p - c + (1-p) = 0\) ②
Κλασικός τρόπος: \(\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot p \cdot (1-p) = 1 - (4p - 4p^2) = 4p^2 - 4p + 1 = (2p-1)^2 \ge 0\)
\(2^{\text{ος}}\) τρόπος:
② \(\Rightarrow c^2 p - p - c + 1 = 0 \Rightarrow p(c^2 - 1) = c - 1 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow p = \frac{c-1}{c^2-1} \Rightarrow p = \frac{1}{c+1} \Rightarrow c+1 = 1/p \Rightarrow\)
\(\Rightarrow c = \frac{1}{p} - 1 \Rightarrow c = \frac{1-p}{p}\)
3) Έστω \(X\) τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) που δείχνει τον αριθμό των λανθασμένων bit που λαμβάνουμε. Η \(X\) ακολουθεί διωνυμική κατανομή με \(p = 10^{-5}\) και \(n = 16 \cdot 10^6\). Η πιθανότητα που θέλουμε είναι:
\(\Pr\{X > 150\} = 1 - \Pr\{X \le 150\} = 1 - (\Pr\{X=0\} + \Pr\{X=1\} + \dots + \Pr\{X=150\}) =\)
$\(= 1 - \sum_{i=0}^{150} \Pr\{X=i\} = 1 - \sum_{i=0}^{150} \binom{16 \cdot 10^6}{i} (10^{-5})^i \cdot (1-10^{-5})^{16 \cdot 10^6 - i}\)$
Επειδή αυτή η πιθανότητα είναι δύσκολο να υπολογιστεί προσεγγίζουμε τη διωνυμική με την Poisson με \(\lambda = p \cdot n = 160\) και έχουμε:
\(\Pr\{X > 150\} = 1 - \Pr\{X \le 150\} = 1 - (\Pr\{X=0\} + \Pr\{X=1\} + \dots + \Pr\{X=150\}) =\)
$\(= 1 - \sum_{i=0}^{150} \Pr\{X=i\} = 1 - \sum_{i=0}^{150} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!} = 1 - e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{150} \frac{\lambda^i}{i!}\)$
Το τελευταίο άθροισμα μπορεί να προσεγγιστεί πολύ καλά από το \(e^\lambda \dots\)
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.