Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Φεβρουάριος 2018¶
Μεταγραφή της φωτογραφίας 2018.jpeg (Φεβρουάριος 2018, 6 ασκήσεις).
2018.jpeg¶
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής¶
Φεβρουάριος 2018
1. (1.5) Στο παρακάτω κύκλωμα καθένας από τους διακόπτες μπορεί να είναι ανοικτός (διακοπή) με πιθανότητα \(p\). Πόση είναι η πιθανότητα διακοπής ρεύματος μεταξύ των Α και Β, αν γνωρίζουμε ότι η διακοπή στον διακόπτη 2 διπλασιάζει την πιθανότητα διακοπής στον διακόπτη 3;
[Σχήμα: Κύκλωμα μεταξύ σημείων A και B με διακόπτη 1 σε σειρά με παράλληλο συνδυασμό διακοπτών 2 και 3. Στους διακόπτες σημειώνονται ερωτηματικά (?) για τις πιθανότητες διακοπής.]
2. (2.0) Έστω ένα πείραμα που επιτυγχάνει με πιθανότητα \(p=0.4\) και το κόστος εκτέλεσής του κάθε φορά είναι 100.000€. Αν αποτύχει το πείραμα, τότε η επόμενη εκτέλεση του πειράματος επιβαρύνεται με επιπλέον κόστος 30.000€. Αν το πείραμα εκτελείται μέχρι να επιτύχει και οι επαναλήψεις του είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, βρείτε το αναμενόμενο κόστος της συνολικής διαδικασίας.
3. (1.5) Ένα σύνθετο σύστημα αποτελείται από 15.000 ηλεκτρικά εξαρτήματα. Κάθε εξάρτημα μπορεί να παρουσιάσει βλάβη μέσα σε ένα μήνα με πιθανότητα \(p=0.0001\). Αν δύο ή περισσότερα εξαρτήματα παρουσιάσουν βλάβη το σύστημα διακόπτει την λειτουργία του. Ποια η πιθανότητα α) ακριβώς και β) προσεγγιστικά, το σύστημα να λειτουργήσει τον επόμενο μήνα χωρίς διακοπή;
4. (2.0) Ένα robot κινείται στην ευθεία των πραγματικών αριθμών, ξεκινώντας από το 0 και κινείται κάθε διακριτή χρονική στιγμή ισοπίθανα μία θέση δεξιά ή αριστερά (ανεξάρτητα από το παρελθόν).
(a) Πόση είναι η πιθανότητα το robot να βρίσκεται τη χρονική στιγμή \(2n\) πάλι στο 0;
(b) Πόση γίνεται αυτή η πιθανότητα όταν το \(n\) τείνει στο άπειρο;
5. (1.5) Έστω τ.μ. \(X\) που ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή \(U(a,b)\) με μέση τιμή 2 και διασπορά \(\frac{1}{3}\).
(a) Να υπολογίσετε ακριβώς την πιθανότητα \(\Pr\{1.2 < X < 2.8\}\).
(b) Να δώσετε κάτω φράγμα για την πιθανότητα του ερωτήματος α.
6. (1.5) Έστω τυχαίο δείγμα \(X_1, X_2, \dots, X_n\) από πληθυσμό που ακολουθεί την κατανομή Poisson με άγνωστη παράμετρο \(\lambda\).
(a) Να δειχθεί ότι οι εκτιμήτριες \(\hat{\theta}_1 = \frac{X_1+2X_2+3X_3}{6}\) και \(\hat{\theta}_2 = \frac{X_1+X_2+X_3}{3}\) είναι αμερόληπτες για την παράμετρο \(\lambda\).
(b) Ποια είναι περισσότερο αποτελεσματική;
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: migrated from previous_exams.md (Antigravity, 2026-10)
Προσοχή
Θέμα 2: η λύση δίνει αναμενόμενο κόστος 145.000 €, θεωρώντας ότι η δαπάνη των 100.000 € καταβάλλεται μία φορά για ολόκληρη τη διαδικασία. Η εκφώνηση δίνει κόστος 100.000 € σε κάθε εκτέλεση και επιβάρυνση 30.000 € μόνο στην επόμενη εκτέλεση μετά από αποτυχία. Με αυτή την ερμηνεία ο αναμενόμενος αριθμός εκτελέσεων είναι 2,5 και το αναμενόμενο κόστος 100.000 · 2,5 + 30.000 · 1,5 = 295.000 €. Απαιτείται έλεγχος της ερμηνείας.
Λύσεις — Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής — Φεβρουάριος 2018¶
Μεταφέρθηκαν μόνο οι λύσεις των Θεμάτων 2 έως 5 από το παλιό αρχείο. Η περιγραφή του Θέματος 1 εκεί δεν είναι λύση και δεν μεταφέρεται· για το Θέμα 6 δεν υπάρχει λύση στο παλιό αρχείο.
- Θέμα 2: Γεωμετρική διαδικασία με κλιμακούμενο κόστος: \(E[C] = \sum_{k=1}^\infty [100000 + (k-1)30000] (0.6)^{k-1}(0.4) = 100000 + 30000 \frac{q}{p} = 100000 + 30000 \frac{0.6}{0.4} = \mathbf{145.000€}\).
- Θέμα 3: \(n = 15000, p = 0.0001 \implies \lambda = 1.5\). Πιθανότητα το πολύ 1 βλάβης: \(e^{-1.5}(1 + 1.5) = 2.5 e^{-1.5} \approx \mathbf{0.5578}\).
- Θέμα 4 (1D Random Walk): \(P(S_{2n} = 0) = \binom{2n}{n} (1/2)^{2n}\). Με προσέγγιση Stirling: \(\binom{2n}{n} \approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} \implies P(S_{2n} = 0) \approx \mathbf{\frac{1}{\sqrt{\pi n}}} \xrightarrow{n \to \infty} \mathbf{0}\).
- Θέμα 5: \(U(a, b)\) με \(\mu = 2, \sigma^2 = 1/3 \implies \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{1}{3} \implies b - a = 2 \implies U(1, 3)\). \(P(1.2 < X < 2.8) = \frac{2.8 - 1.2}{3 - 1} = \mathbf{0.80}\). Chebyshev: \(|X - 2| < 0.8 \implies k\sigma = 0.8 \implies k = 0.8\sqrt{3} \implies 1 - \frac{1}{k^2} = 1 - \frac{1}{1.92} = \mathbf{0.479}\).