Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές — Ιανουάριος 2026¶
Μεταγραφή από τη φωτογραφία PXL_20260119_0926020072.jpg. Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
PXL_20260119_0926020072.jpg¶
Θεωρία Γραφημάτων & Εφαρμογές - Διακριτά Μαθ/κά ΙΙ 2025 - 2026 Όλες οι απαντήσεις πρέπει να είναι σαφείς και να εξηγούνται επαρκώς με βάση τη θεωρία, εκτός από το θέμα 9 όπου απαντάτε 'σωστό' ή 'λάθος'.
Συμπληρώστε τα στοιχεία σας και επιστρέψτε τα θέματα μαζί με την κόλλα σας
1 Βρείτε άν το κατευθυνόμενο γράφημα G1 είναι ισχυρά συνεκτικό 1 μονάδα
[Σχήμα: Κατευθυνόμενο γράφημα G1 με κορυφές 1, 2, 3, 4] [Σχήμα: Μη-κατευθυνόμενο γράφημα G2 με κορυφές a, b, c, d, e]
2 Στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα G2 βρείτε ένα δέντρο επικάλυψης ως προς το οποίο ο κύκλος \((a, \_ , b, \_ , e, \_ , d, \_ a)\) να μην είναι στοιχειώδης. 1 μονάδα
3 Στο κατευθυνόμενο γράφημα G1 βρείτε όλα τα μη-επεκτάσιμα μονοπάτια με άκρο την κορυφή 3. 1 μονάδα
4 Βρείτε μία παράσταση που να είναι ίση με την \((B \oplus A) \oplus B \oplus (A \oplus A) \oplus (B \oplus A)\) , και όπου κάθε ένα από τα σύνολα A, B να εμφανίζεται το πολύ μία φορά. 1 μονάδα
5 Στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα G3 βρείτε τις δισυνεκτικές συνιστώσες ως προς ακμές που δεν περιέχουν την κορυφή a. 1 μονάδα
[Σχήμα: Μη-κατευθυνόμενο γράφημα G3 με κορυφές a, b, c, d, e, f]
6 Αποδείξτε ότι: ένα γράφημα που είναι δισυνεκτικό ως προς ακμές δεν μπορεί να έχει γέφυρα. 1 μονάδα
7 Στο κατευθυνόμενο γράφημα G1: \(\alpha\) βρείτε μία κλειστή διαδρομή που να μην είναι κλειστό ίχνος. \(\beta\) βρείτε ένα κλειστό ίχνος που να μην είναι κύκλος. 1.5 μονάδα
8 Έστω η σχέση \(P = \{ (0, 0), (2, 0), (0, 2), (2, 2) \}\) πάνω στο σύνολο των ακέραιων αριθμών. 1,5 μονάδα \(\alpha\) Βρείτε άν η P είναι συμμετρική. \(\beta\) Βρείτε άν η P είναι μεταβατική.
9 Για κάθε μία από τις παρακάτω υποθετικές ιδιότητες, βρείτε άν είναι σωστή ή λάθος. Οι ερωτήσεις είναι ισοβαρείς. Δεν χρειάζεται να εξηγήσετε τις απαντήσεις σας. Το \(\Gamma\) είναι πάντα ένα τυχαίο μη-κατευθυνόμενο γράφημα. 1 μονάδα
a Μια δισυνεκτική συνιστώσα του \(\Gamma\) ως προς κορυφές θα είναι και δισυνεκτική συνιστώσα του \(\Gamma\) ως προς ακμές . b Άν το \(\Gamma\) είναι συνεκτικό, θα υπάρχει μονοπάτι που θα περιέχει όλες τις κορυφές του \(\Gamma\) .
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2026-01¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Στο κατευθυνόμενο γράφημα \(G_1\) με κορυφές \(V=\{1, 2, 3, 4\}\), οι τυπωμένες κατευθυνόμενες ακμές είναι: - \((1, 2)\) και \((2, 1)\) (2-κύκλος μεταξύ 1 και 2) - \((3, 2)\) (ακμή από 3 προς 2) - \((3, 4)\) και \((4, 3)\) (2-κύκλος μεταξύ 3 και 4)
Απάντηση: Το κατευθυνόμενο γράφημα \(G_1\) δεν είναι ισχυρά συνεκτικό. Αιτιολόγηση: Από το υποσύνολο κορυφών \(\{1, 2\}\) δεν ξεκινά καμία κατευθυνόμενη ακμή προς τις κορυφές \(\{3, 4\}\) (η μόνη ακμή μεταξύ των συνόλων είναι η \((3, 2)\) που κατευθύνεται προς το 2). Επομένως, δεν υπάρχει κατευθυνόμενο μονοπάτι από την κορυφή 1 (ή 2) προς την κορυφή 3 (ή 4).
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα \(G_2\), οι κορυφές είναι \(V = \{a, b, c, d, e\}\) (\(n=5\)) και οι ακμές είναι \(m=6\): \(\{\{a, b\}, \{a, d\}, \{d, e\}, \{b, e\}, \{b, c\}, \{c, e\}\}\). Ο κύκλος \(C = (a, b, e, d, a)\) έχει ακμές \(E(C) = \{\{a, b\}, \{b, e\}, \{d, e\}, \{a, d\}\}\).
Ένας κύκλος είναι στοιχειώδης ως προς ένα δέντρο επικάλυψης \(T\) αν και μόνο αν περιέχει ακριβώς μία χορδή (ακμή εκτός \(T\)). Για να μην είναι στοιχειώδης ο \(C\), πρέπει να περιέχει τουλάχιστον δύο χορδές ως προς το \(T\).
Επιλέγουμε ως χορδές τις ακμές \(\{a, d\}\) και \(\{b, e\}\) του \(C\). Οι υπόλοιπες 4 ακμές του \(G_2\) σχηματίζουν το δέντρο επικάλυψης: $\(E(T) = \{\{a, b\}, \{b, c\}, \{c, e\}, \{d, e\}\}\)$ Το \(T\) είναι δέντρο επικάλυψης διότι αποτελείται από \(n-1=4\) ακμές που σχηματίζουν το απλό μονοπάτι \(a - b - c - e - d\), καλύπτοντας όλες τις κορυφές χωρίς κύκλο. Ως προς αυτό το \(T\), ο κύκλος \(C = (a, b, e, d, a)\) περιέχει δύο χορδές (\(\{a, d\}\) και \(\{b, e\}\)), επομένως δεν είναι στοιχειώδης κύκλος (είναι το άθροισμα των στοιχειωδών κύκλων \((b, c, e, b)\) και \((a, b, c, e, d, a)\)).
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Ένα κατευθυνόμενο μονοπάτι είναι μη-επεκτάσιμο αν δεν μπορεί να επεκταθεί από τα άκρα του (όλοι οι εξερχόμενοι γείτονες του τέλους και όλοι οι εισερχόμενοι γείτονες της αρχής ανήκουν ήδη στο μονοπάτι).
Στο \(G_1\), οι προσπίπτουσες ακμές στην κορυφή 3 είναι: - Εισερχόμενη: \((4, 3)\) - Εξερχόμενες: \((3, 4)\) και \((3, 2)\)
Αν η κορυφή 3 είναι άκρο του μονοπατιού: 1. Με αρχή την κορυφή 3: - Το μονοπάτι \((3, 4)\) έχει άκρα τα 3 και 4. - Στο τέλος 4, ο μόνος εξερχόμενος γείτονας είναι το 3 (\(N_{out}(4) = \{3\}\)), που ανήκει ήδη στο μονοπάτι, άρα δεν επεκτείνεται προς τα εμπρός. - Στην αρχή 3, ο μόνος εισερχόμενος γείτονας είναι το 4 (\(N_{in}(3) = \{4\}\)), που ανήκει ήδη στο μονοπάτι, άρα δεν επεκτείνεται προς τα πίσω. Συνεπώς, το \((3, 4)\) είναι μη-επεκτάσιμο μονοπάτι με άκρο το 3. 2. Με τέλος την κορυφή 3: - Κάθε μονοπάτι που καταλήγει στο 3 πρέπει να χρησιμοποιεί ως τελευταία ακμή την \((4, 3)\). Για να μην επεκτείνεται προς τα εμπρός από το 3, θα έπρεπε όλοι οι εξερχόμενοι γείτονες του 3 (\(\{4, 2\}\)) να περιέχονται ήδη στο μονοπάτι. Όμως το 2 δεν είναι προσβάσιμο από το 4 χωρίς να περάσει από το 3, άρα ένα απλό μονοπάτι που καταλήγει στο 3 δεν μπορεί να περιέχει το 2. Επομένως οποιοδήποτε μονοπάτι καταλήγει στο 3 μπορεί πάντα να επεκταθεί προς το 2. Άρα δεν υπάρχει μη-επεκτάσιμο μονοπάτι με τέλος το 3.
Απάντηση: Το μονοπάτι \((3, 4)\) (αποτελούμενο από τις κορυφές 3, 4 και την ακμή \((3,4)\)).
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\((B\oplus A)\oplus B\oplus(A\oplus A)\oplus(B\oplus A)\): Το \(B\) εμφανίζεται 3 φορές (στα δύο \((B\oplus A)\) και μόνο του): \(B\oplus B\oplus B=B\). Το \(A\) εμφανίζεται 4 φορές (δύο στο \(A\oplus A\), μία σε κάθε \((B\oplus A)\)): \(A\oplus A\oplus A\oplus A=\varnothing\).
Απάντηση: \(B\).
Θέμα 5¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα \(G_3\), οι κορυφές είναι \(\{a, b, c, d, e, f\}\) και οι ακμές σχηματίζουν τους κύκλους: - \((a, b, d, a)\) (τρίγωνο \(\{a, b, d\}\)) - \((b, c, e, b)\) (τρίγωνο \(\{b, c, e\}\)) - \((c, e, f, c)\) (τρίγωνο \(\{c, e, f\}\))
Κάθε ακμή του \(G_3\) περιέχεται σε τουλάχιστον έναν κύκλο, επομένως το \(G_3\) δεν έχει καμία γέφυρα. Κατά συνέπεια, ολόκληρο το γράφημα \(G_3\) είναι δισυνεκτικό ως προς ακμές (2-edge-connected) και αποτελεί τη μοναδική δισυνεκτική συνιστώσα ως προς ακμές, η οποία έχει σύνολο κορυφών \(\{a, b, c, d, e, f\}\) και περιέχει την κορυφή \(a\).
Απάντηση: Δεν υπάρχει καμία δισυνεκτική συνιστώσα ως προς ακμές που να μην περιέχει την κορυφή \(a\). (Σημείωση: Αν το ερώτημα εννοούσε εκ παραδρομής δισυνεκτικές συνιστώσες ως προς κορυφές — blocks —, τότε επειδή η κορυφή \(b\) είναι κομβικό σημείο, το υπογράφημα στις κορυφές \(\{b, c, e, f\}\) είναι η μοναδική δισυνεκτική συνιστώσα ως προς κορυφές που δεν περιέχει την κορυφή \(a\)).
Θέμα 6¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Ένα γράφημα είναι δισυνεκτικό ως προς ακμές όταν είναι συνεκτικό και δύο κορυφές του συνδέονται με δύο ακμοξένα μονοπάτια (ισοδύναμα: δεν έχει γέφυρα). Έστω ότι έχει γέφυρα \(e=\{u,v\}\). Στο \(\Gamma-e\) τα \(u,v\) ανήκουν σε διαφορετικές συνιστώσες, άρα κάθε μονοπάτι \(u\)–\(v\) του Γ περιέχει την \(e\). Δύο ακμοξένα μονοπάτια \(u\)–\(v\) θα έπρεπε να περιέχουν και τα δύο την \(e\) — αντίφαση. (Αν ο ορισμός είναι «χωρίς γέφυρες», η πρόταση είναι άμεση.)
Θέμα 7¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
\(\alpha)\) Κλειστή διαδρομή που να μην είναι κλειστό ίχνος: Μία κλειστή διαδρομή που επαναλαμβάνει τουλάχιστον μία ακμή: Χρησιμοποιούμε τον 2-κύκλο μεταξύ των κορυφών 3 και 4 δύο φορές: $\((3, 4, 3, 4, 3)\)$ (ή αντίστοιχα \((1, 2, 1, 2, 1)\)). Εδώ η ακμή \((3, 4)\) επαναλαμβάνεται, άρα είναι κλειστή διαδρομή αλλά όχι ίχνος.
\(\beta)\) Κλειστό ίχνος που να μην είναι κύκλος: Ένα κλειστό ίχνος που δεν είναι κύκλος απαιτεί να μην επαναλαμβάνεται καμία ακμή, αλλά να επαναλαμβάνεται τουλάχιστον μία ενδιάμεση κορυφή. Αυτό είναι εφικτό μόνο αν υπάρχουν δύο ή περισσότεροι κύκλοι ξένοι ως προς τις ακμές που μοιράζονται τουλάχιστον μία κορυφή. Στο γράφημα \(G_1\), οι μόνοι κύκλοι είναι ο 2-κύκλος \(\{1, 2\}\) και ο 2-κύκλος \(\{3, 4\}\), οι οποίοι είναι πλήρως ξένοι μεταξύ τους ως προς τις κορυφές (δεν τέμνονται). Επομένως: Δεν υπάρχει κλειστό ίχνος που να μην είναι κύκλος στο \(G_1\), καθώς κάθε κλειστό ίχνος αναλύεται σε κύκλους και δεν υπάρχουν κύκλοι με κοινή κορυφή ώστε να συντεθούν σε μη απλό ίχνος χωρίς επανάληψη ακμής. (Η διαπίστωση αυτή είναι συμβατή με την πάγια οδηγία των θεμάτων: «Σε ερωτήματα που ζητείται να βρεθούν ορισμένα στοιχεία, ενδέχεται να μην υπάρχουν»).
Θέμα 8¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(P=\{(0,0),(2,0),(0,2),(2,2)\}=\{0,2\}\times\{0,2\}\). - (α) Συμμετρική: τα \((0,0)\), \((2,2)\) είναι τα ίδια τους αντίστροφα και \((2,0)\leftrightarrow(0,2)\) ανήκουν και τα δύο. - (β) Μεταβατική: αν \((x,y),(y,z)\in P\) τότε \(x,z\in\{0,2\}\), άρα \((x,z)\in P\).
Θέμα 9¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
- (a) Λάθος: δύο τρίγωνα που μοιράζονται μία κορυφή. Κάθε τρίγωνο είναι δισυνεκτική συνιστώσα ως προς κορυφές, αλλά όχι ως προς ακμές, διότι όλο το γράφημα είναι δισυνεκτικό ως προς ακμές (δεν έχει γέφυρα) και το τρίγωνο δεν είναι μεγιστικό.
- (b) Λάθος: το αστέρι \(K_{1,3}\) είναι συνεκτικό αλλά κανένα μονοπάτι του δεν περνά από όλες τις κορυφές.